从矢量到张量

总  序
    
早在20世纪60年代，笔者为了学习物理科学，有幸接触了很多数学好书.比如：为了研读拉卡（G. Racah）的《群论和核谱》
梅向明译，高等教育出版社，1959.
，研读了弥永昌吉、杉浦光夫的《代数学》
熊全淹译，上海科学技术出版社，1962.
；为了翻译卡密里（M. Carmeli）和马林（S. Malin）的《转动群和洛仑兹群表现论引论》
栾德怀，张民生，冯承天译，华中工学院，1978.
、密勒（W. Miller. Jr）的《对称性群及其应用》
栾德怀，冯承天，张民生译，科学出版社，1981.
及怀邦（B. G. Wybourne）的《典型群及其在物理学上的应用》
冯承天，金元望，张民生，栾德怀译，科学出版社，1982.
等，仔细研读了岩堀长庆的《李群论》
孙泽瀛译，上海科学技术出版社，1962.
……
    在学习的过程中，我深深地感到数学工具的重要性.许多物理科学领域的概念和计算，均需要数学工具的支撑.然而，很可惜：关于群的起源的读物很少，且大部分科普读物只有结论而无实质性内容，专业的伽罗瓦理论则更是令普通读者望文生“畏”；如今，时间已过去半个多世纪，我也年逾古稀，得抓紧时机提笔，同广大数学爱好者们重温、分享这些重要的数学知识，一起体验数学之美，享受数学之乐.
    深入浅出地阐明伽罗瓦理论是一个很好的切入点，不过，近世代数理论比较抽象，普通读者很难理解并入门.这就要求写作者必须尽可能考虑普通读者的阅读基础，体会到初学者感到困难的地方，尽量讲清楚每一个数学推导的细节.其实，群的概念正是从数学家对根式求解的探索中诞生的，于是，我想就从历史上数学家们对多项式方程的根式求解如何求索讲起，顺势引出群的概念，帮助读者了解不仅在物理学领域，而且在化学、晶体学等学科中的应用也十分广泛的群论的起源.
    2012年，我的本书——《从一元一次方程到伽罗瓦理论》出版.该书从一元一次方程说起，一步步由浅入深、循序渐进，直至伽罗瓦——一位极年轻的天才数学家，详述他是如何初创群与域的数学概念，如何完美地得出一般多项式方程根式求解的判据.图书付梓之后，承蒙读者抬爱，多次加印，这让笔者受到很大鼓舞.
    于是，我写了第二本书——《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理——细说五次方程无求根公式》.这本书的起点稍微高一些，需要读者具备高中数学的基础.这本书仍从多项式方程说起，但是，期望换一个角度，在“不用群论”的情况下，介绍数学家得出“一般五次多项式方程不可根式求解”结论（也即“阿贝尔不可能性定理”）的过程.在这本书里，我把初等数论、高等代数中的一些重要概念与理论串在一起详细介绍.比如：为了更好地诠释阿贝尔理论，使之可读性更强一些，我用克罗内克定理来推导出阿贝尔不可能性定理等；为了向读者讲清楚克罗内克方法，引入了复共轭封闭域等新的概念，同时期望以一些不同的处理方法，对本书《从一元一次方程到伽罗瓦理论》所涉及的内容作进一步的阐述.
    写作本书的过程中，我接触到一份重要的文献——H. Drrie的Triumph
der Mathematik: hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kulture, PhysicaVerlag,Würzburg,Germany, 1958.其中的一篇，论述了阿贝尔理论.该书的初版本为德文，而该文的内容则过于简略，晦涩难懂，加上中译本系在英译本的基础上译成，等于是在英译德产生的错误的基础上又添了中译英的错误，这就使得该文成了实实在在的“天书”.在笔者的努力下，阿贝尔理论终于有了一份可读性较强的诠释.衷心期望广大数学爱好者，除了学好数学，也多学一点外语，这样，碰到重要的文献，能够直接查询原版，读懂弄通，此为题外话.
    写成以上两本书之后，仍感觉需要进一步补充和提高，于是写了第三本书——《从代数基本定理到超越数——一段经典数学的奇幻之旅》.本书在写作上，继续沿用前两本的思路，从普通读者知晓的基本的代数知识出发，循序渐进地阐明数学史上的一系列重要课题，比如：数学家们如何证明代数基本定理，如何证明π和e是无理数，并继而证明它们是超越数，期望读者在阅读本书的过程中，掌握多项式理论、域论、尺规作图理论等；也期望在这本书里，对本、第二本未讲清楚的地方继续进行补充.
    借这三本书再版的机会，我对初版存在的印刷错误进行了修改，对正文的内容进行了补充与完善，使之可读性更强，力求自成体系.
    另外，借“总序”作一个小小的新书预告.关于本系列，笔者期望再补充两本：第四本是《从矢量到张量》，第五本是《从空间曲线到黎曼几何》.作者在新书撰写的过程中，已经将“黎曼几何”的内容纳入《从矢量到张量：细说矢量与矢量分析，张量与张量分析》一书，另一册新书中，对该内容不再赘述，书名修改为《从空间曲线到高斯-博内定理》；两册新书出版的顺序可能亦有变化.——出版者注笔者认为“矢量与张量”“空间曲线与黎曼几何”都是优美而且有重大应用的数学理论，都应该而且能够被简洁明了地介绍给广大数学爱好者.
    衷心期望数学——这一在自然科学和人文科学中都有重大应用的工具，能得到更大程度的普及，期望借本系列图书出版的机会，与更多的数学、物理学工作者，数学、物理学爱好者，普通读者分享数学的知识、方法及学习数学的意义，期望大家在学习数学的同时，能体会到数学之美，享受数学！
    冯承天            
    2019年4月4日于上海师范大学  

《从矢量到张量：细说矢量与矢量分析，张量与张量分析》是“高等数学启蒙小丛书”系列中的一本。
张量的概念由 G.Ricci 于19世纪末提出的，研究张量旨在为几何性质和物理规律的表达寻求一种在坐标变换下不变的形式，在相对论中得到广泛应用。它既是物理学概念，又是一个数学的概念，是微分几何研究的一个方向，也是现代机器学习的基础。但是如果直接讲解，读者很难理解。“既有大小又有方向的量（在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。）”则相对容易理解，作者以此为起点，分为六个部分，二十个章节，一步步向读者介绍，直至张量。
如：部分从矢量的袋鼠运算讲起，详述矢量的矢量混合积；第二部分，引入矢量三重系；第三部分，先讲解变矢量的微分运算；第四部分，讨论矢量场的线积分与面积分；第五部分，从曲线坐标入手，讨论曲线坐标下的向量；第六部分，则研究黎曼空间及黎曼空间中的张量等。

冯承天，著有《从一元一次方程到伽罗瓦理论》《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理——细说五次方程无求根公式》《从代数基本定理到超越数——一段经典数学的奇幻之旅》；译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的终极结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

部分  矢量代数理论

章  数、矢量和矢量的加法与数乘运算
§1．1  数与数域
§1．2  矢量及其表示
§1．3  矢量的加法与减法
§1．4  矢量的数乘运算
§1．5  应用：欧拉线

第二章  矢量构成向量空间
§2．1  向量空间
§2．2  向量的线性相关与无关
§2．3  向量空间的基
§2．4  矢量：二维平面，三维空间，以及矢量的分解
§2．5  坐标系与同构
§2．6  直角坐标系
§2．7  右手系与左手系

第三章  矢量的内积和矢量积
§3．1  矢量内积的定义
§3．2  内积与射影
§3．3  矢量的内积满足分配律
§3．4  用坐标来计算矢量的内积
§3．5  矢量的矢量积
§3．6  矢量积的分配律以及矢量积的坐标表达式
§3．7  二类矢量

第四章  矢量的矢量混合积和矢量三重积
§4．1  三个矢量的矢量混合积及其几何意义
§4．2  矢量的矢量混合积的坐标计算公式
§4．3  矢量的矢量混合积的一些性质
§4．4  计算［A B C］2
§4．5  矢量混合积给出的几何和代数关系
§4．6  矢量的矢量三重积
§4．7  应用：球面三角形的正弦定理

第二部分  矢量三重系，矢量三重系的变换和张量，以及笛卡儿张量与4维张量

第五章  矢量三重系
§5．1  矢量三重系和爱因斯坦求和规约
§5．2  度规gij
§5．3  度规矩阵及其行列式
§5．4  （gij）的逆矩阵（gij）
§5．5  三重系e1，　e2，　e3的对偶系e1，　e2，　e3
§5．6  三重系与其对偶系之间的一些代数关系
§5．7  三重系与其对偶系之间的一个几何关系
§5．8  矢量在三重系及其对偶系下的分量

第六章  三重系之间的变换
§6．1  三重系之间的变换以及相应的对偶系之间的变换
§6．2  矢量的逆变分量的变换方式
§6．3  矢量的协变分量的变换方式
§6．4  对偶系之间的变换
§6．5  度规gij的变换方式——张量概念的一个模型
§6．6  量gij的变换方式

第七章  三重系变换下的张量
§7．1  三重系变换下张量的定义
§7．2  三重系下张量的加法、减法、张量积和数乘
§7．3  张量的缩并
§7．4  张量的内积运算
§7．5  张量的商法则
§7．6  相伴张量、对称张量、反对称张量
§7．7  从张量的运算看矢量的矢量积

第八章  三维空间正交变换下的张量——笛卡儿张量
§8．1  三维空间中的正交归一基
§8．2  三维空间中的正交变换
§8．3  正交变换的几何意义——保持矢量的内积不变
§8．4  正交变换的一些特殊元：转动、镜面反射、反演变换
§8．5  二维空间中转动的矩阵表示和矢量
§8．6  2阶笛卡儿张量的一个模型
§8．7  三维空间中的转动变换给出的笛卡儿张量
§8．8  2阶张量的矩阵表示
§8．9  （γij）的一个性质
§8．10  A×B在转动下的变换
§8．11  O（3）的两类笛卡儿张量

第九章  闵可夫斯基空间中的张量
§9．1  惯性系之间的洛伦兹变换
§9．2  闵可夫斯基空间
§9．3  庞加莱空间
§9．4  4维张量
§9．5  4维矢量与4维2阶张量的结构
§9．6  4维不变量
§9．7  相对性原理和物理规律的协变性

第三部分  数量场的梯度，矢量场的散度与旋度

第十章  变矢量的微分运算
§10．1  变矢量和导矢量
§10．2  矢量求导运算在三重系下的表达式
§10．3  矢量求导运算的公式
§10．4  弧长作为参数时曲线的切线矢量
§10．5  曲线的曲率与主法线矢量
§10．6  副法线矢量和曲线上的活动坐标系
§10．7  曲线的挠率以及弗雷内—塞雷公式
§10．8  应用：螺旋线
§10．9  应用：空间曲面的法矢量

第十一章  数量场的梯度
§11．1  数量场和矢量场
§11．2  数量场的梯度
§11．3  算子Δ以及梯度的运算性质
§11．4  数量场的方向导数
§11．5  矢量场可能有的势

第十二章  矢量场的散度
§12．1  矢量场散度的定义
§12．2  散度的意义
§12．3  散度的两个公式
§12．4  拉普拉斯算子和调和函数

第十三章  矢量场的旋度
§13．1  矢量场旋度的定义
§13．2  旋度的两个公式
§13．3  从一个特例看旋度的意义
§13．4  有关梯度、散度、旋度的一些重要公式

第四部分  矢量场的线积分和面积分

第十四章  矢量场的线积分与面积分
§14．1  变矢的通常积分
§14．2  数量场的线积分
§14．3  矢量场的切线线积分
§14．4  应用：保守矢量场
§14．5  保守矢量场的充要条件是场无旋
§14．6  数量场的面积分
§14．7  矢量场给出的面积分

第十五章  散度定理、斯托克斯定理和格林恒等式
§15．1  一条重要的引理
§15．2  有关梯度的一个积分定理
§15．3  散度定理
§15．4  有关旋度的一个积分定理
§15．5  应用：连续性方程
§15．6  平面中的斯托克斯定理——格林定理
§15．7  斯托克斯定理
§15．8  斯托克斯定理的逆定理
§15．9  格林恒定式和第二恒等式

第五部分  曲线坐标和协变微分

第十六章  曲线坐标
§16．1  一个例子——平面极坐标
§16．2  曲线坐标的概念
§16．3  柱面坐标
§16．4  球面坐标
§16．5  曲线坐标下的矢量三重系
§16．6  基本度量形式以及正交曲线坐标系
§16．7  雅可比矩阵、雅可比行列式，以及体积元
§16．8  拉梅系数
§16．9  应用：柱面坐标
§16．10  应用：球面坐标
§16．11  矢量关于正交曲线坐标系的物理分量
§16．12  矢量关于活动坐标系的几何分量

第十七章  曲线坐标系的变换和基本方程
§17．1  曲线坐标系的变换
§17．2  矢量分量的变换方式
§17．3  度规张量gij
§17．4  曲线坐标系下的基本方程
§17．5  用度规张量表示克氏符号
§17．6  克氏符号的变换性质
§17．7  克氏符号的一个重要性质

第十八章  曲线坐标下的协变微分
§18．1  曲线坐标与协变微分
§18．2  矢量场逆变分量的协变微分和协变导数
§18．3  矢量场协变分量的协变微分和协变导数
§18．4  张量场的协变微分和协变导数
§18．5  gij和gij的协变微分
§18．6  张量的和与张量积的协变微分和协变导数
§18．7  应用：曲线坐标下的梯度
§18．8  应用：曲线坐标下的散度
§18．9  应用：曲线坐标下的旋度
§18．10  应用：曲线坐标下的拉普拉斯算子

第六部分  黎曼空间中的张量

第十九章  n维空间Rn及其中的坐标变换
§19．1  n维空间Rn
§19．2  Rn中的坐标变换
§19．3  一些例子
§19．4  容许变换下的向量
§19．5  容许变换下的张量
§19．6  容许变换下张量的代数运算
§19．7  容许坐标变换的一些特例

第二十章  黎曼空间和张量分析
§20．1  逆变向量沿曲线上的通常导数
§20．2  线元和度量形式
§20．3  黎曼空间
§20．4  欧几里得空间作为黎曼空间
§20．5  gij和gij
§20．6  向量的内积
§20．7  向量的长度、两个向量之间的夹角，以及曲线的弧长
§20．8  相对张量和张量
§20．9  克氏符号
§20．10  克氏符号的变换法则
§20．11  应用：黎曼空间中的测地线
§20．12  数量场和协变向量场的协变微分
§20．13  逆变向量场和张量场的协变微分
§20．14  张量场沿一条曲线的导数
§20．15  张量场在一条曲线上的平行移动
§20．16  曲率张量
§20．17  协变曲率张量
§20．18  协变曲率张量的对称性
§20．19  里奇公式
§20．20  比安基第二恒等式
§20．21  里奇张量和曲率标量
§20．22  爱因斯坦张量及其性质
§20．23  应用：爱因斯坦引力场方程

附录
附录1  证明矢量的矢量积对加法满足分配律
附录2  对于任意三阶矩阵A和B证明AB＝AB
附录3  三个变量的正定二次形式
附录4  群的概念与庞加莱群及其子群
附录5  旋度的物理意义
附录6  &int