通识教育，在当下是一个热门话题。今天，中国人经过几代人的努力，已经解决了温饱问题，很多人也都步入了中产阶层。他们接下来就希望自己能更上一层楼，或者自己的下一代能够超越自己。但是他们普遍遇到了困境，就是在职业发展上有所谓的天花板，在社会地位提升上有所谓的阶层壁垒。通常人们在35~40岁就会遇到这样的困境，然后在接下来的大半辈子里能做的，除了享受生活、教育孩子超越自己，就是在工作中维持现状，即便这个人很努力。

为什么简单的努力破不了局呢？这就和教育、培养有关了。我们大部分人所接受的教育，只是让我们掌握了单一的或者过于专业化的技能。社会需要这种技能，我们在物质和荣誉方面获得的酬劳，就是这种技能的市场价格。有人可能会想，我多掌握一种技能，就比别人本事大了，机会就多了。这种思维方式，依然是简单工匠式的，因为一个人即便掌握了五种技能，谋生时使用的通常也只有一种。

比如在硅谷，很多工程师觉得单靠在公司的工作很难买得起好学区的房子，于是考了房地产经纪人和保险中介人的执照，从拥有一种技能变成了三种，下班和周末加班加点地做本职工作之外的事情。虽然这样收入看似多了一些，但后他们是否能比一心在公司工作的人走得更远呢？真的难说。这样的技能教育，接受得再多，也不过是从一种工匠变成几种工匠。

我在得到App“硅谷来信”等专栏里讲过，即使是做同一件事情，精英水准和普通执行层面水准的差距也可能是几个数量级的。要达到精英水准，就需要提高综合素质，而非获得一个个单一的技能。而提高综合素质这件事，虽然可以通过自己长期的摸索取得一些进步，但毕竟效率太低，进步的速度太慢。更有效的提高综合素质的方法，是接受通识教育。

不仅中国人，世界上不少国家的人都有名校情结。但是，世界上的名校，相比于二流大学，专业课讲得并没有太多的亮点，那为什么大家要上名校呢？除了学生群体素质高、教育资源多，还有很重要的一点是学生能够在那里接受到更好的通识教育。

并非只有哈佛、普林斯顿这些以文理科见长的大学才有通识教育，即便是大家心目中以理工科见长的麻省理工学院，在大学本科教育阶段也非常强调通识教育。麻省理工学院人文学科的水平其实很高，其绝大部分人文学科都能在美国排进前十名，更不用说它还有很好的商学院了。这让它的毕业生成为工业界领袖的比例非常高——占到了校友人数的40%左右。至于那些以文理科见长的名校，更是注重通识教育。普林斯顿大学著名计算机科学家、美国工程院院士李凯教授，总是要求他指导的本科生多选人文类的课程。因为在他看来，对从业者来讲，有一辈子的时间可以学习计算机技能，但是如果一开始通识教育的基础没有打好，人在职业道路上就走不远。

上述道理很多人都懂，但是苦于没有机会补足通识教育的欠缺。因为我们的大学还是严格分专业的，而高中教育则是非常强调分数的。这些做法都和通识教育的理念相违背。因此，即使在中国上了好的大学，也未必就能受到很好的通识教育。那怎么办呢？只有在课堂以外想办法补救了。

当然，在补上通识教育这一环之前，我们要先了解什么是通识教育。

通识教育在中国还有一个更好听的词，叫作博雅教育。其实它们都是从拉丁文里的Liberal Arts一词翻译过来的，“通识教育”这种翻译强调其内容，“博雅教育”则强调其目的。

liberal是“自由”的意思，arts则通常翻译成“艺术”，让人联想到音乐、绘画、摄影、手工等，但它的含义其实更广泛一些，是指那些未必能直接用于谋生技能，包括数学、自然哲学（也就是今天的自然科学）、哲学、历史、艺术、音乐和很多其他的人文学科。那么，为什么把liberal和arts这两个词联系在一起呢？这就要从古希腊的自由民说起了。

liberal初是指古希腊自由民的属性，自由民是希腊半岛上各个城邦的主人，有政治权利、自由意志，能够自己决定自己的生活。同时古希腊也有很多奴隶，但并非所有奴隶都像小说《斯巴达克斯》里描写的那样完全没有人身自由，天天戴着脚镣干繁重的体力活。用我们今天的话来说，古希腊很多奴隶其实属于白领，甚至是合伙人。他们可能是管家、家庭教师、乐师、画匠，甚至是店长——他们经营店铺，和主人分利。但不管奴隶的物质生活水平怎么样，是否有经济收入，他们都不是自由民，即便不少奴隶是有相当的人身自由的。

古希腊的很多奴隶都不是文盲，他们也接受教育，能识文断字，但是他们所学的都是谋生的技能。因为不是自由民，他们就不具有社会主人的心态，不会去操心那些自由民要操心的事情，当然也不用学习自由民才要学的知识，以及行使社会主人权力所需要的素养。因此，在古希腊，是否接受过通识教育，是区别自由民和奴隶的依据。

那么，接受了通识教育的希腊自由民做什么呢？大家看看苏格拉底的生活就知道了。他每天吃完早饭，和自己的泼妇老婆打个招呼，然后就到广场上去和别人辩论了。当然，遇到战争他也要去打仗，因为那是自由民的义务。

在过去物质不丰富的年代，人虽然是法律上的自由人，但是时间都用来获取谋生的基本物质了，想像苏格拉底那样生活和思考完全是奢望。因此，通识教育便无从谈起，甚至也没有必要。但是今天，中国人已经从法律上的自由人变成了经济上的自由人，接下来应该变成精神上的自由人，此时通识教育就显得特别有必要了。

当然，有人会问，你刚才提到的自由人应有的知识，能帮我多挣钱吗？能让我在单位提升两级吗？或许不能，或者说不能直接实现你的需求，因为它们和挣钱的技能无关。但是，如果你把自己当作这个世界的主人，要享受这个世界，就如同当年古希腊的自由民享受自由一样，就需要有主人的学识。人要想成为社会的精英，首先要在精神上成为精英，这样才能以精英的方式思考，以主人的态度做事，才能超出常人。

今天，中国的大学依然缺乏通识教育这个环节。虽然很多大学老师在为改变这种状态而努力，但是大家不可能等到大环境完全塑造好了才开始对自己进行通识教育。另外，很多教育工作者依然体会不到通识教育对一个人长远发展的重要性，片面地认为教育的目的是培养有知识的劳动者，而不是培养社会的主人。比如说，很多高中为了高考，把原本该有的通识教育省略了。相比之下，那些世界名校在通识教育方面做得要好得多。哈佛大学一直很自豪地讲，它为学生开设了6000多门课程，其中绝大部分课程和谋生没有直接关系，相当多的课程都属于通识课。这样学生可以以自己为中心，把自己当作学校的主人，不管想学习什么知识都能学得到。在美国，开这么多门课的大学并不少。

中国通识教育的另一大问题是知识的结构化缺失。很多人说，我在中学也努力学习过语文、历史，或者数学和科学，但不知道平时有什么用。多年前，我写了《数学之美》一书，很多读者看了之后说：“哦，原来数学可以这么用。”硅谷一些中学生见到马斯克时问他，在大学里学什么才能成为企业家。马斯克总是不假思索地说，像我一样学物理，因为你会因此有一种适合这个世界的思维方式。可见，在马斯克心里，物理学的那些知识并不重要，重要的是物理学的思维方式，然后做到一通百通。这也道出了通识教育的本质，即能够将这些知识用于许多地方，而不仅仅是直接用来做具体的事情。为此，通过通识教育，理解知识的结构化和关联性很重要。

如果你已经认可了通识教育的重要性，恭喜你，也欢迎你阅读得到图书出品的这一系列通识读本。得到的创始人、管理层和为大家提供知识服务的员工，都有帮助中国所有上进的人补上通识教育的缺失这样一种远大的理想。因此，我在和他们谈出版一系列通识教育读本的时候，他们都非常支持。事实上，得到App已经开设了上百门高水平的通识课。当然，出版通识教育读本是一个大工程，哈佛大学的那6000门课也不是一天开出来的，更没有人能够全部学完。因此，在阶段，这个系列的通识读本只集中在基础、每个人都需要了解的知识体系上。在此基础上， 我们会继续推出各个专业的通识读本。后，还会有与个人兴趣、工作性质相关的专题类的通识读本。

在大的通识教育体系中，我就相当于早上了两年课的大师兄。我根据自己在职业生涯中的体会，总结出了师弟师妹们必须学的知识。通过学习这些知识，你的思维方法和做事水平会得到明显的提升。

这套基础通识读本会包括九类核心学科，分别是：

• 数学；
• 逻辑学；
• 语文、文学和写作；
• 文明史；
• 自然科学；
• 经济、金融、管理和投资；
• 信息科学；
• 人文地理；
• 音乐和艺术；
• 政治学、哲学和军事。

上述每一个通识读本的单本，都会包括精选出的每个人都应该了解的知识点，它们的来龙去脉和用途，它们在学科体系中的地位，它们对人类的思维和认知起到过什么作用，以及我们对我们认知升级有什么帮助。

如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？

如何在购房贷款时做出*选择？

如何增加简历通过初筛的几率？

如何规划公司的发展曲线？

更重要的是，

如何提升自己的认知水平？

如何改变自己的思维方式？

……

如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本书希望你一定要看。

这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。

吴    军

博士，知名自然语言处理和搜索专家，硅谷风险投资人。他的著作《数学之美》荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华优秀出版物奖，《文明之光》被评为2014年“中国好书”，《浪潮之巅》荣获“蓝狮子2011年十大商业图书”奖。

吴军博士曾经担任谷歌研究员，设计了谷歌中、日、韩文搜索算法以及谷歌的自然语言分析器。2010—2012年担任腾讯负责搜索和搜索广告等业务的副总裁，后回到谷歌负责计算机自动问答项目。

吴军博士自2008年开始从事风险投资，并于2014年作为创始合伙人创立了硅谷丰元资本风险投资基金。他也是上海交通大学客座研究员和约翰•霍普金斯大学工学院董事。

总 序 001

前 言 009

基础篇 

第 1 章 理解数学的线索：从毕达哥拉斯讲起

1.1 勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理 022

1.2 数学的预见性：无理数是毕达哥拉斯定理的推论 030

1.3 数学思维：如何从逻辑出发想问题 036

1.4 黄金分割：数学和美学的桥梁 045

1.5 优选法：华罗庚化繁为简的神来之笔 058

第 2 章 数列与级数：承上启下的关键内容

2.1 数学的关联性：斐波那契数列和黄金分割 070

2.2 数列变化：趋势比当下重要 075

2.3 级数：传销骗局里的数学原理 079

2.4 等比级数：少付一半利息，多获得一倍回报 092

第 3 章 数学边界：数学是的吗

3.1 数学的局限性：从勾定理到费马大定理 104

3.2 探寻数学的边界：从希尔伯特第十问题讲起 108

数字篇 

第 4 章 方程：新方法和新思维

4.1 鸡兔同笼问题：方程这个工具有什么用 116

4.2 一元三次方程的解法：数学史上著名的发明权之争 126

4.3 虚数：虚构的工具有什么用 135

第 5 章 无穷大和无穷小：从数值到趋势

5.1 无穷大：为什么我们难以理解无限大的世界 143

5.2 无穷小：芝诺悖论和它的破解 149

5.3 第二次数学危机：牛顿和贝克莱的争论 156

5.4 极限：重新审视无穷小的世界 163

5.5 动态趋势：无穷大和无穷小能比较大小吗 171

几何篇 

第 6 章 基础几何学：公理化体系的建立

6.1 几何学的起源：为什么几何学是数学中古老的分支 186

6.2 公理化体系：几何学的系统理论从何而来 194

第 7 章 几何学的发展：开创不同数学分支融合的先河

7.1 非欧几何：换一条公理，几何学会崩塌吗 205

7.2 圆周率：数学工具的意义 214 

7.3 解析几何：如何用代数的方法解决几何问题 221

7.4 体系的意义：为什么几何能为法律提供理论基础 232

代数篇 

第 8 章 函数：重要的数学工具

8.1 定义和本质：从静态到动态，从数量到趋势 244

8.2 因果关系：决定性和相关性的差别 253

第 9 章 线性代数：超乎想象的实用工具

9.1 向量：数量的方向与合力的形成 262

9.2 余弦定理：文本分类与简历筛选 278

9.3 矩阵：多元思维的应用 284

微积分篇 

第 10 章 微分：如何理解宏观和微观的关系

10.1 导数：揭示事物变化的新规律 300

10.2 微分：描述微观世界的工具 307

10.3 奇点：变化连续和光滑是稳定性的基础 312

第 11 章 积分：从微观变化了解宏观趋势

11.1 积分：微分的逆运算 323

11.2 积分的意义：从细节了解全局 327

11.3 化问题：用变化的眼光看值和小值 333

11.4 发明权之争：牛顿和莱布尼茨各自的贡献 342

*11.5 体系的完善：微积分公理化的过程 348

概率和数理统计篇 

第 12 章 随机性和概率论：如何看待不确定性

12.1 概率论：一门来自赌徒的学问 364

12.2 古典概率：拉普拉斯对概率的系统性论述 366

12.3 伯努利试验：随机性到底意味着什么 371

12.4 均值与方差：理想与现实的差距 378

第 13 章 小概率和大概率：如何资源共享和消除不确定性

13.1. 泊松分布：为什么保险公司必须有很大的客户群 386

13.2 高斯分布：大概率事件意味着什么 393

*13.3 概率公理化：理论和现实的统一 404

第 14 章 前提条件：度量随机性的新方法

14.1 前提条件：条件对随机性的影响 415

14.2 差异：概率、联合概率和条件概率 421

14.3 相关性：条件概率在信息处理中的应用 430

14.4 贝叶斯公式：机器翻译是怎样工作的 433

第 15 章 统计学和数据方法：准确估算概率的前提

15.1 定义：什么是统计学 442

15.2 实践：怎样做好统计 446

15.3 古德 - 图灵折扣估计：如何防范黑天鹅事件 450

15.4 换个眼光看世界：概率是一种世界观，统计是一种方法论 459

终篇 

第 16 章 数学在人类知识体系中的位置

16.1 数学和哲学：一头一尾的两门学科 468

16.2 数学和自然科学：数学如何改造自然科学 474

16.3 数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础 480

16.4 数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具 486

16.5 未来展望：希尔伯特的讲演 493

附录 

附录 1 黄金分割等于多少 497

附录 2 为什么斐波那契数列相邻两项的比值收敛于黄金分割 498

附录 3 等比级数求和算法 500

附录 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501

附录 5 积分的其他两种计算方法 503

附录 6 大数定律 505

附录 7 希尔伯特退休讲演的英文译文 507

终篇 

第 16 章 数学在人类知识体系中的位置

21.1 数学和哲学 /458 

21.2 数学和自然科学 /465 

21.3 数学和逻辑学 /469 

21.4 数学和其他学科 /473

21.5 著名数学家希尔伯特退休前的讲演 /478 

如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？

如何在购房贷款时做出*选择？

如何增加简历通过初筛的几率？

如何规划公司的发展曲线？

更重要的是，

如何提升自己的认知水平？

如何改变自己的思维方式？

……

如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本书希望你一定要看。

这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。

吴    军

博士，知名自然语言处理和搜索专家，硅谷风险投资人。他的著作《数学之美》荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华优秀出版物奖，《文明之光》被评为2014年“中国好书”，《浪潮之巅》荣获“蓝狮子2011年十大商业图书”奖。

吴军博士曾经担任谷歌研究员，设计了谷歌中、日、韩文搜索算法以及谷歌的自然语言分析器。2010—2012年担任腾讯负责搜索和搜索广告等业务的副总裁，后回到谷歌负责计算机自动问答项目。

吴军博士自2008年开始从事风险投资，并于2014年作为创始合伙人创立了硅谷丰元资本风险投资基金。他也是上海交通大学客座研究员和约翰•霍普金斯大学工学院董事。

非数学思维 VS. 数学思维

在讲什么是数学思维之前，先要说说什么不是数学思维。

首先，听众人的意见不是数学思维。数学不是民主决策，赞同的声音越大越正确。事实上很多人凑在一起，智商常常不是增加而是下降，这就是所谓的群体效应。

其次，听专家的意见不是数学思维。很多人在做判断时会相信专家，绝大多数时候，这是一个好的习惯，但是专家也会有漏判和误判的时候。这里我想以一个例子来说明。2008—2009年的金融危机是历史上危害仅次于 1929—1933 年全球大萧条的经济危机，它让很多家庭倾家荡产，包括很多极为富有、受教育程度很高的人。在金融危机之后，英国女王问全世界的经济学家们，这么大的危机，这么明显的问题，你们这么多人怎么没有一个人预测到呢？这让经济学家们很没面子。

其实女王多少有点错怪经济学家这个群体了。整体来看，他们当时确实是过于乐观了，但是也有一些经济学家之前确实做过很多预警。而那些被预警的问题，一旦引起注意后，大多会被防范，之后就不再是问题。因此换一个角度讲，经济学家们已经帮助我们避免了很多次的经济危机了。当然，经济学家们也不是神，总会有误判的时候，当大部分人都出现误判时，真正的危机就来了。但是，在那次金融危机中，还是有一些人利用数学思维避开了风险，而且

赚得盆满钵满，这一点我们在后面会讲到。

后，数学思维不是通过以往的经验或者多次试验得到结论。这种方法更像是自然科学的思维方式，而不是数学的。事实上，很多时候，通过大量试验所得到的结果依然可能是错误的。比如我们要比较 10 000x 和 x²哪一个大，如果从 x=1 开始试验，一直试到 100，都是 10 000x 大。但是如果我们因此而得到结论 10 000x> x²， 那就错了。那么可能有人会问，为什么不直接试试 x=20 000 呢？因为人们能够想象到的例子常常受限于自身的认知。如果一个人平时接触的数量通常都是个位数的，他就很难想到10 000、20 00