数学物理方法与仿真(第3版)

序

将数学思想方法应用于现代高新技术专业领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和研究目标。建立数学物理模型并给出解决方法，尤其是计算机仿真解法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。
在这里，不妨引用柯朗在《数学物理方法》一书（德文版）序言中的一段话加以描述，“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面，甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体性。而且在许多情况下，物理学家也不再体会数学家的观点，这种分裂无疑对于整个科学界是一个严重的威胁。科学发展的洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠，以至于干涸，因此有必要引导我们的努力转向于将许多有特点的和各式各样的科学事实的共同点，将其相互关联加以阐明，以重新统一这种分离的趋向”(译文引自该书中译本)。或许我们今天所应做的正是柯朗所指出的。数学物理方法也正是将这种分裂进行重新统一并实现有机结合的具体体现。
本书系统阐述了复变函数论、数学物理方程、特殊函数以及计算机仿真编程实践四篇内容，精妙的数学思想与深刻的物理内涵在浅显的文字和系统的逻辑思维下，显得易于理解并颇具趣味性。本书既加强了数学理论和物理模型的联系，又加强了数学物理问题中典型实例的计算机仿真方法。计算机仿真编程篇中详细给出了计算机仿真编程思想和实践方法，这对于加强计算机仿真求解数学物理典型问题具有积极的理论意义和实际意义。使用计算机仿真软件解决专业技术问题（建立物理模型）是科学工作者进行科学研究为重要的辅助设计方法。这无论对于培养大学本科生、研究生的理论知识水平和思维能力以及实践编程能力都具有积极的意义。
数学物理方法在高等数学和大学物理（包括力学、热学、声学、光学和电磁学）的基础上，既拓深了高等数学的内容，又给出了各个专业技术领域里具有普遍意义的典型物理模型的数学解法，同时为四大力学（理论力学、电动力学、统计力学和量子力学）和其他专业课程有关的数学物理问题做了准备，起到了承上启下的作用。本书既是数学理论的延续，又是物理模型的解决方法，是数学理论方法在专业理论中典型应用的系统性的产物，是数学和物理学系统理论的结晶。
本书不仅可以使读者学习到系统的基础理论，而且能引导读者通过对具体物理过程的分析，抓住主要因素，对物理现象建立系统的数学模型（即用数学理论来分析、模拟物理现象），并对数学模型（如微分方程）进行分析、求解（包括计算机仿真求解和动态演示），以达到对物理现象的深入了解。本书将引导读者从纯数学的学习转入将数学和物理紧密结合，将抽象的数学理论应用于实际物理问题的具体方法的学习，有利于培养读者分析问题和解决问题的能力。
读者在学习本书中所获得的数理知识的提高以及思维能力的训练，将使他们终身受益。

刘盛纲
中国科学院院士2020年1月

前言

为适应21世纪“数学物理方法”课程教学改革发展的需要，并加强理、工科专业本科生（研究生）的计算机编程实践能力的培养，作者本着将系统的数学物理方法理论知识与计算机仿真编程实践相结合的愿望编写了本书。全书包括复变函数、数学物理方程、特殊函数、计算机仿真与实践共4篇，系统而全面地阐述了数学物理方法的内容，加强了典型实例分析和理论总结。
复变函数篇系统阐述了复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数定理、保角变换，利用复变函数系统理论中的各种基本定理或公式求解一个典型的环路积分，从而将各章节的内容联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体。本篇加强了对发散思维的培养、创新思维的启发和计算机仿真编程实践能力的训练。
数学物理方程篇讨论了线性和非线性数学物理问题，主要对满足线性叠加原理的数学物理方程进行了详细讨论，包括数学模型的建立、数学物理方程的分类（双曲型、抛物型和椭圆型方程）和标准化，并详细讨论了线性方程的求解方法。求解方法具体包括：① 行波法（又称达朗贝尔解法）；② 分离变量法（数学物理方程的主要解法）；③ 幂级数解法；④ 格林函数法；⑤ 积分变换法；⑥ 保角变换法；⑦ 变分法；⑧ 计算机仿真解法（利用MATLAB中的偏微分方程工具箱PTEtool求解）。该篇后对数学物理方程的解法进行了综述，对典型的非线性KdV方程给出了孤立波解，对典型的非线性Burgers方程给出了冲击波解。
特殊函数篇通过对勒让德方程、连带勒让德方程以及球谐函数方程解的讨论，分别引出了勒让德多项式、连带勒让德函数以及球函数，介绍了其基本性质及本征值问题，讨论了在定解问题中的应用；对贝塞尔方程解的讨论引出了、第二、第三类贝塞尔函数，介绍了贝塞尔函数的基本性质、本征值问题及其在定解问题中的应用；初步讨论了虚宗量贝塞尔方程、球贝塞尔方程的解及其对应的特殊函数性质。
计算机仿真与实践篇主要介绍利用数学工具软件和常用计算机语言实现对复变函数、数学物理方程以及特殊函数的计算或求解进行计算机仿真。计算机仿真方法可以广泛应用于科学研究中，并能对研究结果进行直观的显示（对随时间变化的波动方程和热传导方程能动态演示解的图形分布）。
本书还有配套的丰富的网络资源，主要包括：① 数学物理基础篇（包括矢量基础和矢量场论部分）；② 全书习题答案，难题的详细解答，计算机仿真程序；③ 几类特殊函数（如埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等）的引入及其基本理论介绍；④ 典型的数学问题、物理问题、数学物理问题的讨论与计算机仿真，以及数学定理的仿真验证，从而加强创新思维的启发以及计算机仿真能力的训练；⑤ 电子课件。读者可从http://www.hxedu.com.cn（华信教育资源网）或http://www.uestc.edu.cn电子科技大学精品课程“数学物理方法”中下载。
本书中的部分理论、典型实例和计算机仿真源于作者在美国加州大学（圣巴巴拉分校）研究访问期间所查询的大量外国原版书籍内容，同时也参阅了大量国内同行专家们的文献资料，谨此对他们的辛勤劳动表示由衷的谢意！作者衷心感谢刘盛纲院士在百忙之中阅读了本书并提出了宝贵意见和建议。作者向本书的责任编辑和电子工业出版社的热情支持表示由衷的谢意！作者也向为本书的编写付出过劳动的博士生、硕士生们表示感谢！他们是伍振海、何修军、刘长久、蔡杨伟男、赵晓云等。
在本书落笔时，作者油然感悟到对浩瀚宇宙中科学知识的渴望和自身认知科学的肤浅。在荏苒的时光中，作者所想表达的愿望和读者的期望未必能达到和谐一致。限于作者水平，未能尽意的文字只能起到抛砖引玉的作用，谨此诚挚地希望广大读者提出宝贵意见和建议（Email：yanghj@uestc.edu.cn），疏漏之处恳请专家和读者不吝指正。

作者

本书系统地阐述了复变函数论、数学物理方程的各种解法、特殊函数以及计算机仿真编程实践等内容，对培养思维能力和实践编程能力具有指导意义。本书在取材的深度和广度上充分考虑到前沿学科领域知识内容，形成了具有前沿学科特点的数学物理方法与计算机仿真相结合的系统化理论体系。本书结构层次清晰，理论具有系统性和完整性，重点立足于对思维能力的培养，加强计算机仿真能力的训练，分别介绍了复变函数、数学物理方程和特殊函数的计算机仿真求解及其解的仿真图形显示。习题解答和仿真程序等可以通过网络下载。本书可作为物理学、地球物理学、电子信息科学、光通信技术、空间科学、天文学、地质学、海洋科学、材料科学等学科领域的理工科大学本科教材，也可供相关专业的研究生、科技工作者作为参考资料并进行计算机仿真训练。

杨华军，男，电子科技大学教授，中国宇航协会会员，四川省物理学会会员，四川省学术和技术带头人后备人选，电子科技大学中青年学术带头人，光学学科责任教授。长期从事光通信技术、光子晶体器件及应用、激光雷达成像、计算机光学辅助设计等研究方向科研工作。*自然科学奖和科技发明奖评审专家，物理学报、Chinese Optics Letters、中国激光等期刊评审专家。2003年8月至2004年3月，于美国加州大学圣巴巴拉分校和南加州大学光纤通信研究室做高级访问学者，访问期间从事光子晶体光纤通信技术研究工作。主持国家自然科学基金、总装预研基金等科研项目十余项，发表研究论文五十余篇，培养博士、硕士研究生四十余名。 长期从事大学本科“数学物理方法”省级精品课程教学，出版著作《数学物理方法与仿真》,电子工业出版社。获得四川省第七届教学成果二等奖，并长期从事研究生“光学系统CAD”课程教学工作。

篇 复变函数 
第1 章 复数与复变函数..................... 3 
1. 1 复数概念及其运算..................... 3 
I. I. 1 复数概念…….................……. 3 
I. 1. 2 复数的基本代数运算............... 4 
1. 2 复数的表示.........….................. 4 
I. 2. 1 复数的几何表示..............…… ·4 
1. 2. 2 复数的三角表示.......…........... 6 
I. 2 3 复数的指数表示….................. 6 
1.2.4 共辄复数…........….........…… ·7 
1.2.5 复球面、元穷远点........….......... 7 
1. 3 复数的乘幕与方根…...... … 8 
I. 3 1 复数的乘罪.......................…. 8 
I. 3. 2 复数的方根..............….......... 9 
I. 3. 3 实践编程：正十七边形的几何作图法.............................. 10 
1. 4 区域…........……................... 11 
I. 4 1 基本概念…......... …… 11 
I. 4. 2 区域的判断方法及实例分析…… 14 
1. 5 复变函数........……………....... 14 
I. 5 1 复变函数概念….................. 14 
I. 5. 2 复变函数的儿何意义一一映射… 15 
1. 6 复变函数的极限........……....... 16 
I. 6. 1 复变函数极限概念.................. 16 
I. 6. 2 复变函数极限的基本定理…… 17 
1. 7 复变函数的连续........……....... 18 
I. 7. 1 复变函数连续的概念............... 18 
I. 7. 2 复变函数连续的基本定理…… 18 
1. 8 典型综合实例……...............… 19 
小结..............…............................ 23 
习题1 …........... ........ …… 25 
计算机仿真编程实践……...............… 26 
第2 章 解析函数........................... 28 
2. 1 复变函数导数与微分….…… 28 
2 1 1 复变函数的导数…..............…. 28 
2. 1. 2 复变函数的微分概念............... 30 
2 1 3 可导的必要条件..................... 30 
2. 1. 4 可导的充分必要条件............... 32 
2 1 5 求导法则…… ........ …. 33 
2. 1. 6 复变函数导数的几何意义......... 34 
2.2 解析函数……… ........ …. 35 
2 2. 1 解析函数的概念……............... 35 
2. 2. 2 解析函数的法则..................... 36 
2.2.3 函数解析的充分必要条件......... 37 
2.2.4 解析函数的几何意义（映射的 
保角性） ….......….............. 39 
2.3 初等解析函数........................ 40 
2. 3. 1 指数函数（单值函数） ............... 40 
2. 3. 2 对数函数一一指数函数的 
反函数（多值函数） .......…........ 41 
2.3.3 三角函数（单值函数） ............... 43 
2. 3.4 反三角函数（多值函数）…......... 45 
2.3.5 双曲函数（单值函数） ............... 46 
2. 3. 6 反双曲函数（多值函数）….…. 47 
2.3. 7 整幕函数z＂（单值函数）…......... 47 
2.3.8 一般辱函数与根式函数w=＇:fi 
（多值函数）………............... 48 
·2. 3. 9 多值函数的基本概念…… …. 49 
2.4 解析函数与调和函数的关系…… 51 
2.4. 1 调和函数与共辄调和函数的概念…........……................ 51 
2.4.2 解析函数与调和函数之间的关系…........……................ 51 
2.4.3 解析函数的构建方法…… …. 52 
2.5 解析函数的物理意义平面矢量场………......... …. 53 
2. 5. 1 用解析函数表述平面矢量场...... 53 
2. 5. 2 静电场的复势..................... 54 
2.6 典型综合实例.............…........ 56 
小结…·........... ........ …… 58 
习题2 ................….............…....... 59 
计算机仿真编程实践......... …… ω 
第3 章 复变函数的积分...............… 61 
3. 1 复变函数积分及性质….........… 61 
3. 1. 1 复变函数积分的概念............... 61 
3. 1. 2 复积分存在的条件及计算方法… 62 
3. 1. 3 复积分的基本性质.................. 62 
3. 1.4 复积分的计算典型实例.......….. 63 
3. 1. s 复变函数环路积分的物理意义... 64 
3.2 柯西积分定理及其应用.........… 65 
3 2 1 柯西积分定理………….. 65 
3.2.2 不定积分…........….........…. 66 
3. 2 3 典型应用实例………….. 68 
3. 2.4 柯西积分定理（柯西古萨定理）的物理意义.................. 68 
3.3 基本定理的推广一一复合闭路定理…................................. 69 
3.4 柯西积分公式........................ 72 
3. 4.1 有界区域的单连通柯西积分公式................….............. 72 
3.4.2 有界区域的复连通柯西积分公式................................. 73 
3.4.3 元界区域的柯西积分公式......... 74 
3.5 柯西积分公式的几个重要推论… 76 
3. 5.1 解析函数的元限次可微性（高阶导数公式）………… …… 76 
3.5.2 解析函数的平均值公式…......... 78 
3.5 3 柯西不等式......... …… 78 
3.5.4 刘维尔定理........................ 79 
3.5 s 莫勒纳定理.......….............. 79 
3.5.6 模原理.......….............. 79 
3.5 7 代数基本定理….................. 80 
3.6 典型综合实例.............…........ 80 
小结............................................. 85 
习题3 …........... ........ …… 86 
计算机仿真编程实践………............... 88 
第4 章 解析函数的幂级数表示…… 89 
4. 1 复数项级数的基本概念…......... 89 
4. 1 1 复数项级数概念….................. 89 
4. I. 2 复数项级数的判断准则和定理… 89 
4.2 复变函数项级数..................... 91 
4.3 幂级数................................. 93 
4 3. 1 幂级数概念........….........…. 93 
4. 3. 2 收敛圆与收敛半径…… …. 94 
4 3 3 收敛半径的求法..................... 95 
4.4 解析函数的泰勒级数展开式…… 98 
4.4. 1 泰勒级数…........................ 98 
4.4.2 将函数展开成泰勒级数的方法… 99 
4.5 罗朗级数及展开方法............... 100 
4. s. 1 罗朗级数…........…….......... 100 
4. s. 2 罗朗级数展开方法实例......... 103 
4.5.3 用级数展开法计算闭合环路积分..............…........….. 105 
4.6 典型综合实例.........…........…. 105 
小结.........….............................. 108 
习题4 ..................……........……. 110 
计算机仿真编程实践................….. 112 
第5 章 留数定理………·…….. 113 
5. 1 解析函数的孤立奇点............... 113 
s. I. 1 孤立奇点概念.................…. 113 
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