阿基米德经典著作集

导读

凌复华

一、 阿基米德是谁?
一提起阿基米德,许多读者会立刻想到关于他的三个故事。
个故事,说的是阿基米德在澡盆里泡澡时,突然悟出了如何解决叙拉古国王希伦(Hieron)交给他的难题:在不损坏王冠的前提下,检验王冠是否为纯金。找到答案后,他激动不已,来不及穿上衣服就光着身子在大街上狂奔,边跑边喊:“尤里卡(Eureka)! 尤里卡(Eureka)!”意思是“找到了! 找到了!”这个故事引出了我们现在熟知的“浮力定律”。
第二个故事,阿基米德声称:给我一个支点,我就能撬动地球。这也是出于希伦国王的要求,阿基米德向他演示如何用很小的力,移动很重的物体。在国王和众多市民的瞩目之下,阿基米德借助一套复杂的曲柄滑轮机械,以一己之力移动了一艘大船,然后就说出了“给我一个支点,我就能撬动地球”这句豪言壮语。
这个故事引出了我们现在熟知的“杠杆原理”。
第三个故事,说的是阿基米德痴迷于几何学。痴迷到什么程度呢? 当叙拉古被罗马大军攻破时,他浑然不觉,仍专注于自己在地面上描画的几何图形。罗马士兵破门而入,他大声呵责:“不要碰坏我的图!”阿基米德因此激怒罗马士兵而被杀害。(关于阿基米德被杀害经过,有多种版本,但大同小异。)
这三个故事,给世人留下了深刻的印象。
阿基米德的一位朋友赫拉克利德斯(Heracleides),曾撰写过阿基米德的生平传记,但该传记未能存留至今。因此,我们对阿基米德的生活细节不甚清楚,例如,他是否结婚? 有无子嗣? 这些都不清楚。不过,比较确切知道的有以下事实:
,阿基米德在他的著作《数沙者》中提到,他父亲是一位天文学家,名为菲迪亚斯(Pheidias)。
第二,阿基米德与叙拉古国王希伦和王子革隆(Gelon)之间的关系十分密切,他们很可能是亲戚。
第三,亚历山大城是当时的希腊文化中心,有一座闻名于世的亚历山大图书馆,云集了各地慕名而来的学者。阿基米德曾在亚历山大城待过一段时间,在那里学习和做研究。这意味着,他曾与大数学家欧几里得的学生一起做过研究工作。在亚历山大城,阿基米德结识了当时的著名学者———来自萨摩斯的科农(Conon)和数学家厄拉多塞。阿基米德习惯于在发表新成果之前与科农沟通,也曾把“牛群问题”的要点寄给厄拉多塞。他还把自己的几部作品题献给另一位朋友,来自佩鲁西乌姆的多西休斯(Dositheus),他是科农的学生,也住在亚历山大。
第四,从繁华的亚历山大城回到故乡叙拉古以后,阿基米德再也没有离开过。他把全部精力用于研究几何学,顺便又发明了许多精巧的机械。但这些机械对他而言只是“几何之余的消遣” ,他并不看重。
第五,阿基米德发明的一些机械,让攻打叙拉古的罗马士兵闻风丧胆,主帅不得不转而围城。三年后,叙拉古因为防务出现漏洞而被攻破。
第六,叙拉古陷落后,陷入一片混乱之中,但阿基米德仍全神贯注于他在沙地上绘制的几何图形。他被一名罗马士兵所杀,但那名士兵并不知道被杀者是谁。
第七,阿基米德曾请求他的朋友和亲戚,在他的墓上放置一个内部有相切圆球的圆柱体,并在其上镌刻圆柱体与圆球的体积之比及面积之比(均为3∶2)。
可见,他把这个比值的发现,看作他一生重要的成就。公元前75年,即他去世137年后,时任西西里岛财务官的罗马政治家、演说家西塞罗(Cicero),找到了被废弃的阿基米德墓,看到了墓碑上镌刻的铭文诗句。西塞罗随后对墓地进行了修缮。
除此之外,还有许多关于阿基米德的传说,如他会忘记食物和其他生活必需品,他会在炉灰或者在抹油的身上勾画几何图形;再如上面提到的测量王冠、杠杆拖动大船,以及后面将要讲到的用镜面和大吊车摧毁罗马战船,等等。虽然有的略显夸张,但很能体现这位伟大科学家的性格和智慧。
……
五、 对阿基米德著作的保存、传播和研究
希腊学者的书初写在纸草上，不易保存，传世很少。约公元前170年，人们发明了羊皮纸，公元3世纪起，羊皮纸在欧洲广泛应用，直到14世纪被中国纸替代。迄今为止，尚未发现阿基米德本人的手稿。
公元5世纪，西罗马帝国灭亡后，西欧进入黑暗时期，懂希腊语的人寥寥无几。6世纪时常见的阿基米德著作，不过两三种而已。那时有少量拉丁语译本，保存于修道院图书馆中。6世纪阿拉伯人崛起后，不少希腊语著作被译为阿拉伯语。10世纪中叶开始，大量希腊语著作被翻译为拉丁语，首先便是借助已有的阿拉伯语译本。
阿基米德著作的希腊语原本被不断转抄，但它们都源自9—10世纪的所谓瓦拉手抄本，遗憾的是它已无迹可寻。瓦拉(Georga Valla)于1486至1499年间执教于威尼斯;他本人翻译了阿基米德和尤托西乌斯的部分著作。我们只知道，瓦拉的阿基米德原本，看起来是根据属于一位精通数学人士的原稿，细心抄写而成的。但原稿从何而来，又是如何编辑而成的，便不得而知了。瓦拉的阿基米德原本，收集了十余本专著，远多于几个世纪前可以找到的，真是十分幸运，但其来源不详，令人猜测。此外，阿基米德著作拉丁语译本的印刷，始于1544年巴塞尔首印版。
丹麦学者海贝格(Johan Heiberg，1854—1928)，在1879年的博士论文《解读阿基米德》中，探讨了阿基米德著作的各种版本。此后不久，他推出一个令人满意、至今沿用的希腊语版本。1906年，海贝格又在君士坦丁堡发现了抄写在阿基米德的书上的一本祈祷书。幸运的是，抄写者未能把原文完全抹去，原来的文字仍然或多或少可以辨认。特别是，书中包含了一直以为佚失的《方法》，还有被称为阿基米德盒子的拼图智力游戏。
读者现在看到的这本《阿基米德经典著作集》，包括了阿基米德所有的存世著作。这些著作包括:
《论球与圆柱》《圆的度量》《论拟圆锥与旋转椭球》《论螺线》《论平面图形的平衡或平面图形的重心》《数沙者》《抛物线弓形求积》《论浮体》《引理汇编》《牛群问题》《阿基米德的方法》。
还有一些阿基米德的著作在文献中有比较确凿的记载，但已佚失。帕普斯(Pappus，约290—约350)描述了阿基米德发现的13种半正多面体，由等边、等角但不相似的多边形面构成;《论平衡或杠杆》;一本内容与算术有关的书，标题为《原理》;一部光学方面的著作;《论球的制作》，描述了如何制作水力驱动的天象仪;《论重心》《论曲面轨迹》。又根据喜帕恰斯所述，阿基米德一定写过关于日历或年的长度的书。
一些阿拉伯学者认为，阿基米德还写了以下几本书，但除了个主题的内容见于文献外，其他并无确证。这些书是: 《论圆周上的七边形》《论相切的圆》《论平行线》《论三角形》《论直角三角形的性质》以及关于数的书。
在保存、传播和研究阿基米德著作方面有重大贡献的学者中，除了海贝格之外，首推本书英文原版的编写者，英国学者希思(T.L.Heath，1861—1940)。他是20世纪负盛名的古希腊数学史研究者，自1885年开始写了十余本书，涵盖了所有主要的古希腊数学家，包括欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。本书的英语原版于1897年出版，包括了当时已知的13篇阿基米德著作，1912年第二版又补充了新发现的一篇。
英语原版不是简单的翻译，而是在忠于原著的基础上重新编写，还加入了一些历史资料，并采用现代记法，以便于阅读。该书还有一篇详尽的引言，篇幅约为正文的四分之一，除了介绍书中的内容，也补充了不少其他资料，更有编者本人和其他学者多年来对阿基米德工作的研究和分析。这些使该书成为当今数学界应用广的阿基米德著作英文版本。

阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称，与高斯、牛顿并列为世界三大数学家。作为“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。
本书收录了阿基米德所有的存世著作，包括《论球与圆柱》《圆的度量》《论拟圆锥与旋转椭球》《论螺线》等十四篇。这些对数学和物理的发展做出巨大贡献的传世之作，对社会进步和人类发展产生了不可磨灭的影响，即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他和他的著作上汲取过智慧和灵感。
本书由上海交通大学凌复华教授翻译并指导阅读。附有16页彩色插图，丰富地再现了阿基米德的生平故事、重要成就及相关研究，折射出阿基米德令人叹服的思想高度和巨大影响力，大大提高了原著的可读性和收藏价值。

阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称，与高斯、牛顿并列为世界三大数学家。作为“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。
本书收录了阿基米德所有的存世著作，包括《论球与圆柱》《圆的度量》《论拟圆锥与旋转椭球》《论螺线》等十四篇。这些对数学和物理的发展做出巨大贡献的传世之作，对社会进步和人类发展产生了不可磨灭的影响，即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他和他的著作上汲取过智慧和灵感。
本书由上海交通大学凌复华教授翻译并指导阅读。附有16页彩色插图，丰富地再现了阿基米德的生平故事、重要成就及相关研究，折射出阿基米德令人叹服的思想高度和巨大影响力，大大提高了原著的可读性和收藏价值。

阿基米德（前287年—前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称。阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。
译者凌复华，德国斯图加特大学博士，曾任上海交通大学教授、美国史蒂文森工学院教授，有多部译著出版。

目 录
弁 言/ i
导 读/ 1
英文版前言/ 15
引 言
章 阿基米德 / 1
第二章 原本与主要版本—写作次序—方言—佚失的著作 / 9
第三章 阿基米德与前辈之间的关系 / 22
第四章 阿基米德著作中的算术 / 46
第五章 关于所谓逼近线(ΝΕΥΣΕΙΣ)问题 / 75
第六章 三次方程 / 94
第七章 阿基米德对积分学的预示 / 108
阿基米德经典著作集
论球与圆柱 卷I / 121
论球与圆柱 卷II / 161
圆的度量 / 189
论拟圆锥与旋转椭球 / 196
论螺线 / 236
论平面图形的平衡或平面图形的重心 卷I / 264
论平面图形的平衡或平面图形的重心 卷II / 275
数沙者 / 290
抛物线弓形求积 / 299
论浮体 卷I / 314
论浮体 卷II / 320
引理汇编 / 349
牛群问题 / 362
阿基米德的方法 / 368
译后记/ 401
附录:一些常用几何图形的面积和体积/ 405

阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称，与高斯、牛顿并列为世界三大数学家。作为“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。
本书收录了阿基米德所有的存世著作，包括《论球与圆柱》《圆的度量》《论拟圆锥与旋转椭球》《论螺线》等十四篇。这些对数学和物理的发展做出巨大贡献的传世之作，对社会进步和人类发展产生了不可磨灭的影响，即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他和他的著作上汲取过智慧和灵感。
本书由上海交通大学凌复华教授翻译并指导阅读。附有16页彩色插图，丰富地再现了阿基米德的生平故事、重要成就及相关研究，折射出阿基米德令人叹服的思想高度和巨大影响力，大大提高了原著的可读性和收藏价值。

阿基米德（前287年—前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称。阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。
译者凌复华，德国斯图加特大学博士，曾任上海交通大学教授、美国史蒂文森工学院教授，有多部译著出版。

数沙者

“革隆国王,有人认为,沙的数量是巨大无穷的;然而我所说的沙所在的地方,还不只是叙拉古附近和西西里的其余部分,也包括每个有人居住或荒无人烟的区域。也有一些人,他们不认为这个数量是无穷的,只是还没有人命名一个数字,足以超出沙的巨大数量而已。很明显,那些持有这种观点的人,若他们想象由沙子构成的一个大团,像地球那样大,其中包括地球上的所有海洋和所有空地,充满了沙子直到的山顶,他们会承认,距离找到任何数字来表达这些沙的数量,还相差很远。
但我试图借助您可以理解的几何论证向您说明,我寄给宙克西帕斯的文章中给出的数字命名,有一些不仅超出了上述把地球充满的沙的数量,也超出了把全宇宙充满的沙的数量。您现在知道‘宇宙’是由大多数天文学家给出的一个球的名称,其中心位于地球的中心,其半径等于太阳的中心与地球的中心之间的距离。这是您从天文学家那里听到的通常的说法。但萨摩斯的阿利斯塔克写的一本书包含了一些假设,导致的结论是,宇宙比现在所认为的要大好多倍。他的假设是,太阳和恒星是固定不动的,地球在以太阳为中心的圆周轨道上环绕太阳旋转,而恒星位于与太阳有相同中心的球面上,他假定地球的环行圆周是如此之大,以致它与到恒星的距离之比,如同球心与球面之比。
现在容易看出这是不可能的;因为球心没有大小,不能设想它与球面有任何比例。但我们必须认为阿利斯塔克的意思是: 因为我们设想地球从来就是宇宙的中心,地球与我们所述的‘宇宙’之比,与包含他假设的地球环行圆的球与恒星所在的球之比相同。因为他在证明他的结果时采用了这种类型的假设,尤其是他假定用来表示地球运动的球的大小,似乎等于我们所说的‘宇宙’。
于是我说,即使用沙做成的球的大小与阿利斯塔克假定的恒星的球相同,我仍然可以证明,在《原理》中命名的数字里面,有一些超出了所述大小的球中沙的数目好多倍,如果作以下假设。
1. 地球的周边约3000000 斯塔德（注：希腊人喜用的一个长度单位，等于185~192米）但并不更大。
如您所知,确实有许多人试图证明所述的周边是300000斯塔德。但我更进一步,取地球的大小为前人设想的十倍,约3000000斯塔德,但并不更大。
2. 地球的直径大于月球的直径,太阳的直径大于地球的直径在本假设中,我遵循大多数前辈天文学家。
3. 太阳的直径约为月球直径的30 倍,但并不更大。
事实上,前辈天文学家欧多克斯认为约9倍大,我的父亲菲迪亚斯认为是12倍,而阿利斯塔克试图证明,太阳的直径大于月球直径的18倍,但小于20倍。而我比阿利斯塔克更进一步,为了可以无争议地确立我的命题的真实性,我假定太阳的直径约为月球直径的30倍,但并不更大。
4. 太阳的直径大于宇宙(球)大圆内接1000 边形的一边。
我做这个假设的原因在于,阿利斯塔克发现太阳看起来约为黄道圆的1720,而我自己曾试图借助我现在将描述的一种方法,用实验找到顶点在人眼时太阳的张角,即视角。
实验结果表明,太阳直径的视角小于直角的1164,大于直角的 1200。
下面证明(对本假设)太阳的直径大于宇宙(球)大圆内接1000 边形的一边。
假定当太阳刚升起浮出地平线之上时,纸面是通过太阳中心、地球中心与眼睛的平面。设该平面截地球于圆EHL 及截太阳于圆FKG,地球与太阳的中心分别是C,O,而E 是眼睛的位置。
进而,设截‘宇宙’球(即中心在C,半径为CO 的球)的平面就是大圆AOB所在的平面。由E 作圆FKG 的两条切线相切于P ,Q,又由C 作同一圆的另外两条切线,相切于F,G。
设CO 与地球的截线和太阳的截线分别相交于H ,K ;并设CF,CG 的延长线与大圆AOB 相交于A ,B。
连接EO,OF,OG,OP ,OQ,AB,并设AB 与CO 相交于M 。
现在CO>EO,因为太阳恰好在地平线之上。因此
∠PEQ>∠FCG