三思中考数学 数里有形：突破代数综合问题（人大附中及其分校教师编写）初中七年级八年级九年级中考数学

本书是面向初中升学阶段的学习用书及教研用书。以数形结合思想作为突破代数综合问题的策略，帮助读者真正认识到数形结合的关键点以及数和形的具体表现形式，注重动手画图分析问题，从而能灵活进行图象特征和代数特征的准确表达，达到突破难点的目的。

本书中的“学习提升”部分是编者在一线教学过程中与同事、学生交流总结后的智慧结晶。“学伴分享”的视频讲解部分是由学生完成的，这也是作业设计的一个新尝试。

本书是面向初中升学阶段的学习用书及教研用书。以数形结合思想作为突破代数综合问题的策略，帮助读者真正认识到数形结合的关键点以及数和形的具体表现形式，注重动手画图分析问题，从而能灵活进行图象特征和代数特征的准确表达，达到突破难点的目的。

本书中的“学习提升”部分是编者在一线教学过程中与同事、学生交流总结后的智慧结晶。“学伴分享”的视频讲解部分是由学生完成的，这也是作业设计的一个新尝试。

主编简介

王宇，人大附中教师。北京大学博士毕业，2016年起在中国人民大学附属中学初三年级任教至今，先后担任班主任、副年级组长、备课组长等，同时担任海淀区数学学科兼职教研员，参与海淀区教学研究工作。曾获海淀区优秀班主任、海淀区“四有”教师等荣誉。

张华云，人大附中教师。北京师范大学硕士毕业，中学数学高级教师。一直从事一线教育教学工作，至今担任教学工作19年，其间任备课组长13年，班主任7年，年级组长9年。曾参加海淀区空中课堂录制。获得海淀区骨干教师、海淀区“四有”教师等荣誉。

编写者简介

何庆青，北京师范大学硕士毕业，中学数学高级教师。海淀区学科带头人，人大附中数学组备课组长。曾获海淀区基本功大赛一等奖，北京市基本功大赛笔试一等奖。多次承担各级研究课，多次参加各级空中课堂的录制。

张华云，人大附中教师。北京师范大学硕士毕业，中学数学高级教师。一直从事一线教育教学工作，至今担任教学工作19年，其间任备课组长13年，班主任7年，年级组长9年。曾参加海淀区空中课堂录制。获得海淀区骨干教师、海淀区“四有”教师等荣誉。

第yi部分  习惯篇

第二部分  方法篇

理论指导

一、对标《义务教育数学课程标准》（2011年版）的相关内容

二、积累基本思想和基本活动经验

实践提升

实践练习1  2021年北京中考

学习提升1  2021年北京中考

实践练习2  2020年北京中考

学习提升2  2020年北京中考

实践练习3  2019年北京中考

学习提升3  2019年北京中考

实践练习4  2018年北京中考

学习提升4  2018年北京中考

实践练习5  2017年北京中考

学习提升5  2017年北京中考

实践练习6  2016年北京中考

学习提升6  2016年北京中考

实践练习7  2021年海淀二模

学习提升7  2021年海淀二模

实践练习8  2020年西城学期期末

学习提升8  2020年西城学期期末

实践练习9  2020年东城学期期末

学习提升9  2020年东城学期期末

实践练习10  2020年朝阳学期期末

学习提升10  2020年朝阳学期期末

实践练习11  2021年北京中考小代综

学习提升11  2021年北京中考小代综

实践练习12  2020年北京中考小代综

学习提升12  2020年北京中考小代综

实践练习13  2019年北京中考小代综

学习提升13  2019年北京中考小代综

实践练习14  2018年北京中考小代综

学习提升14  2018年北京中考小代综

实践练习15  抛物线的翻折

学习提升15  抛物线的翻折

实践练习16  直线被抛物线截长问题

学习提升16  直线被抛物线截长问题

实践练习17  抛物线与线段的公共点问题

学习提升17  抛物线与线段的公共点问题

实践练习18  由抛物线上点的纵坐标特征研究与横坐标有关量的取值范围

学习提升18  由抛物线上点的纵坐标特征研究与横坐标有关量的取值范围

实践练习19  由抛物线上点的横纵坐标特征求二次项系数的取值范围

学习提升19  由抛物线上点的横纵坐标特征求二次项系数的取值范围

实践练习20  抛物线与线段的公共点

学习提升20  抛物线与线段的公共点

好题链接

好题1  2021年海淀一模

好题1  参考答案2021年海淀一模

好题2  2021年西城一模

好题2  参考答案2021年西城一模

好题3  2021年东城一模

好题3  参考答案2021年东城一模

好题4  2021年朝阳一模

好题4  参考答案2021年朝阳一模

好题5  2021年石景山一模

好题5  参考答案2021年石景山一模

好题6  2021年丰台一模

好题6  参考答案2021年丰台一模

好题7  2021年西城二模小代综

好题7  参考答案2021年西城二模小代综

好题8  2021年西城二模大代综

好题8  参考答案2021年西城二模大代综

好题9  2021年东城二模

好题9  参考答案2021年东城二模

好题10  2021年朝阳二模

好题10  参考答案2021年朝阳二模

本书是面向初中升学阶段的学习用书及教研用书。以数形结合思想作为突破代数综合问题的策略，帮助读者真正认识到数形结合的关键点以及数和形的具体表现形式，注重动手画图分析问题，从而能灵活进行图象特征和代数特征的准确表达，达到突破难点的目的。

本书中的“学习提升”部分是编者在一线教学过程中与同事、学生交流总结后的智慧结晶。“学伴分享”的视频讲解部分是由学生完成的，这也是作业设计的一个新尝试。

主编简介

王宇，人大附中教师。北京大学博士毕业，2016年起在中国人民大学附属中学初三年级任教至今，先后担任班主任、副年级组长、备课组长等，同时担任海淀区数学学科兼职教研员，参与海淀区教学研究工作。曾获海淀区优秀班主任、海淀区“四有”教师等荣誉。

张华云，人大附中教师。北京师范大学硕士毕业，中学数学高级教师。一直从事一线教育教学工作，至今担任教学工作19年，其间任备课组长13年，班主任7年，年级组长9年。曾参加海淀区空中课堂录制。获得海淀区骨干教师、海淀区“四有”教师等荣誉。

编写者简介

何庆青，北京师范大学硕士毕业，中学数学高级教师。海淀区学科带头人，人大附中数学组备课组长。曾获海淀区基本功大赛一等奖，北京市基本功大赛笔试一等奖。多次承担各级研究课，多次参加各级空中课堂的录制。

张华云，人大附中教师。北京师范大学硕士毕业，中学数学高级教师。一直从事一线教育教学工作，至今担任教学工作19年，其间任备课组长13年，班主任7年，年级组长9年。曾参加海淀区空中课堂录制。获得海淀区骨干教师、海淀区“四有”教师等荣誉。

部分习惯篇

问1老师，在处理代数相关综合性问题时，有时会忽略小括号里的条件，咋办呢？

答1能意识到自己在审题落实方面的这个问题需要改进，这很不错，发现问题后就要试试解决问题.你自己有什么解决办法呢？可以试试以下方法：一是标画出小括号里的条件.二是将小括号中的条件体现在画的图中（比如二次函数中，如果给出二次项系数a>0的条件，那么画的抛物线一定是开口向上的），或者用文字“开口向上”来翻译小括号里的条件，达到文字语言、图形语言和符号语言的准确翻译，有时候也可以把限制了取值范围的函数图象的其他部分擦掉或者用虚线表示.三是落笔时再看一眼题中的条件，特别是小括号里的条件限制.其实有时候不仅要注意小括号里的条件，还要关注关键词、主干条件和前问条件对后问是否有限制等问题，养成扎实、细心的审题基本功.做到审题细心的好办法就是题中画、图中标、脑中思.

问2老师，有时候自己问的计算（比如求解析式）就错了，导致后面的小问也跟着错，咋办啊？

答2保证运算准确是非常重要的，有时不仅要求算得准，还要求算得巧，这就需要理解运算的算理，并寻求合理简洁的运算途径解决问题.在理解运算算理的基础上，要在运算的过程中保证运算步步有据，学会观察，重点关注负号、括号、符号及运算顺序.运算的草稿纸要适当整齐摆放，必要的时候可以回代验算（比如求解析式），或者用一只手指着条件，另一只手计算，来提高自己运算时的专注度.

问3老师，我做代数综合题感觉花时间比较长，为什么有的同学算得又快又准呢？

答3首先，要分析自己在计算上是否用到了简便方法.主要表现在以下几方面：

（1）灵活选用函数解析式的形式，准确求一次函数、反比例函数、二次函数等解析式.

以二次函数y=ax2 bx c为例，根据题目条件的不同，灵活选择一般式、顶点式或双根式（交点式）来减少计算时间.

（2）灵活求抛物线y=ax2 bx c的顶点坐标.

①“半公式”法指的是横坐标用x=－b2a，纵坐标用代入解析式的方法求解（多数情况下，这个方法简便）；

②配方法指的是通过配方，得到y=ax b2a2 4ac－b24a形式；

③公式法指的是用配方后的结果得到顶点坐标-b2a,4ac－b24a.

（3）灵活解数字系数的一元二次方程（因式分解、配方、求根公式等）.

（4）灵活解含字母系数的一元二次方程（考虑是否需要分类讨论），使用十字相乘、求根公式等.求出解之后，有时候还可以代回去，整体解决问题.

（5）灵活求一次函数、二次函数或反比例函数图象经过平移（上下左右）、翻折（关于x轴、y轴或某一条水平或竖直直线）、旋转（关于原点或坐标系中的某个一般点）前后的解析式.

核心思想是把握住不变的量及变化的量的特征.比如二次函数只要把握住开口方向及顶点坐标就基本可以处理各种变换，关于x轴、y轴或者原点对称会有更加简单的方法.

其次，要练好画函数图象示意图和精准图的基本功，达到准确快速的效果.

比如画二次函数y=ax2 bx c的图象，要重点把握好一个方向和几个关键点.

一个方向指的是函数图象的开口方向，由a的正负决定.

几个关键点指的是：顶点；与y轴的交点及关于对称轴的对称点；与x轴的交点（如果有的话）；定点；分界点.以不变来研究变，以静制动，充分考虑系数对函数图象的影响.

同时，示意图和精准图要结合起来画，空心点或实心点、实线或虚线要画清晰（直接影响等号能否取），用铅笔画出图形（做好分类，考虑全面），擦去不必要的图（这一点很重要，对于有的图象变换，擦去不必要的图或者用虚线表示不必要的图，会增强对图的准确判断，而不至于使图显得太乱）.

后，要有经常感悟数学思想的习惯，比如数形结合、分类讨论等数学思想，在哪些地方获得这些数学思想呢？这要通过多多积累.通过日积月累这些好的数学思想，相信处理代数综合性问题就会又快又准了.