啊哈！算法

本书是一本充满智慧和趣味的算法入门书。没有枯燥的描述，没有难懂的公式，一切以实际应用为出发点，通过幽默的语言配以可爱的插图来讲解算法。即使你在算法方面毫无造诣，读起来也不吃力，在轻松愉悦中便掌握算法精髓，感受算法之美。

 啊哈磊，原名纪磊，毕业于武汉大学，曾在微软亚洲研究院从事搜索引擎研发。全国青少年信息学奥林匹克金牌教练。著有《啊哈C语言！逻辑的挑战》和《啊哈！算法》系列编程科普图书，版权输出至港澳台，译有《算法神探》。《啊哈！算法》被评为“2016年全国优秀科普作品”。

第1章  一大波数正在靠近——排序

    第1节  快简单的排序——桶排序

    第2节  邻居好说话——冒泡排序

    第3节  常用的排序——快速排序

    第4节  小哼买书

第2章  栈、队列、链表

    第1节  解密QQ号——队列

    第2节  解密回文——栈

    第3节  纸牌游戏——小猫钓鱼

    第4节  链表

    第5节  模拟链表

第3章  枚举！很暴力

    第1节  坑爹的奥数

    第2节  炸弹人

    第3节  火柴棍等式

    第4节  数的全排列

第4章  的搜索

    第1节  不撞南墙不回头——深度优先搜索

    第2节  解救小哈

    第3节  层层递进——广度优先搜索

    第4节  再解炸弹人

    第5节  宝岛探险

    第6节  水管工游戏

第5章  图的遍历

    第1节  深度和广度优先究竟是指啥

    第2节  城市地图——图的深度优先遍历

    第3节  少转机——图的广度优先遍历

第6章  短路径

    第1节  只有五行的算法——Floyd-Warshall

    第2节  Dijkstra算法——单源短路

    第3节  Bellman-Ford——解决负权边

    第4节  Bellman-Ford的队列优化

    第5节  短路径算法对比分析

第7章  神奇的树

    第1节  开启“树”之旅

    第2节  二叉树

    第3节  堆——神奇的优先队列

    第4节  擒贼先擒王——并查集

第8章  更多精彩算法

    第1节  镖局运镖——图的小生成树

    第2节  再谈小生成树

    第3节  重要城市——图的割点

    第4节  关键道路——图的割边

    第5节  我要做月老——二分图匹配

第9章  还能更好吗——微软亚洲研究院面试

致  谢

本书是一本充满智慧和趣味的算法入门书。没有枯燥的描述，没有难懂的公式，一切以实际应用为出发点，通过幽默的语言配以可爱的插图来讲解算法。即使你在算法方面毫无造诣，读起来也不吃力，在轻松愉悦中便掌握算法精髓，感受算法之美。

 啊哈磊，原名纪磊，毕业于武汉大学，曾在微软亚洲研究院从事搜索引擎研发。全国青少年信息学奥林匹克金牌教练。著有《啊哈C语言！逻辑的挑战》和《啊哈！算法》系列编程科普图书，版权输出至港澳台，译有《算法神探》。《啊哈！算法》被评为“2016年全国优秀科普作品”。

第1章

一大波数正在靠近——排序

第1节  快简单的排序——桶排序

在我们生活的这个世界中到处都是被排序过的东西。站队的时候会按照身高排序，考试的名次需要按照分数排序，网上购物的时候会按照价格排序，电子邮箱中的邮件按照时间排序……总之很多东西都需要排序，可以说排序是无处不在。现在我们举个具体的例子来介绍一下排序算法。

首先出场的是我们的主人公小哼。期末考试完了老师要将同学们的分数按照从高到低排序。小哼的班上只有5个同学，这5个同学分别考了5分、3分、5分、2分和8分，哎，考得真是惨不忍睹（满分是10分）。接下来将分数进行从大到小排序，排序后是8 5 5 3 2。你有没有什么好方法编写一段程序，让计算机随机读入5个数然后将这5个数从大到小输出？请先想一想，至少想15分钟再往下看吧。

我们这里只需借助于一个一维数组就可以解决这个问题。请确定你真的仔细想过再往下看哦。

首先我们需要申请一个大小为11的数组int a［11］。OK，现在你已经有了11个变量，编号从a［0］~a［10］。刚开始的时候，我们将a［0］~a［10］都初始化为0，表示这些分数还都没有人得过。例如a［0］等于0就表示目前还没有人得过0分，同理a［1］等于0就表示目前还没有人得过1分……a［10］等于0就表示目前还没有人得过10分。

下面开始处理每一个人的分数，个人的分数是5分，我们就将相对应的a［5］的值在原来的基础增加1，即将a［5］的值从0改为1，表示5分出现过了一次。

第二个人的分数是3分，我们就把相对应的a［3］的值在原来的基础上增加1，即将a［3］的值从0改为1，表示3分出现过了一次。

注意啦！第三个人的分数也是5分，所以a［5］的值需要在此基础上再增加1，即将a［5］的值从1改为2，表示5分出现过了两次。

按照刚才的方法处理第四个和第五个人的分数。终结果就是下面这个图啦。

你发现没有，a［0］~a［10］中的数值其实就是0分到10分每个分数出现的次数。接下来，我们只需要将出现过的分数打印出来就可以了，出现几次就打印几次，具体如下。

a［0］为0，表示“0”没有出现过，不打印。

a［1］为0，表示“1”没有出现过，不打印。

a［2］为1，表示“2”出现过1次，打印2。

a［3］为1，表示“3”出现过1次，打印3。

a［4］为0，表示“4”没有出现过，不打印。

a［5］为2，表示“5”出现过2次，打印5 5。

a［6］为0，表示“6”没有出现过，不打印。

a［7］为0，表示“7”没有出现过，不打印。

a［8］为1，表示“8”出现过1次，打印8。

a［9］为0，表示“9”没有出现过，不打印。

a［10］为0，表示“10”没有出现过，不打印。

终屏幕输出“2 3 5 5 8”，完整的代码如下。

#include <stdio.h>

int main（）

{

    int a［11］，i，j，t；

    for（i=0；i<=10；i  ）

        a［i］=0；  //初始化为0

    for（i=1；i<=5；i  ）  //循环读入5个数

    {

        scanf（"%d"，&t）；  

        //把每一个数读到变量t中

        a［t］  ；  //进行计数

    }

    for（i=0；i<=10；i  ）  

    //依次判断a［0］~a［10］

        for（j=1；j<=a［i］；j  ）  

        //出现了几次就打印几次

            printf（"%d "，i）；

    getchar（）；

    getchar（）；

    //这里的getchar（）；用来暂停程序，

    //以便查看程序输出的内容，也可以用

    //system（"pause"）；等来代替

    return 0；

}

输入数据为：

5 3 5 2 8

仔细观察的同学会发现，刚才实现的是从小到大排序。但是我们要求是从大到小排序，这该怎么办呢？还是先自己想一想再往下看哦。

其实很简单。只需要将for（i=0；i<=10；i  ）改为for（i=10；i>=0；i--）就OK啦，快去试一试吧。

这种排序方法我们暂且叫它“桶排序”。因为其实真正的桶排序要比这个复杂一些，以后再详细讨论，目前此算法已经能够满足我们的需求了。

这个算法就好比有11个桶，编号从0~10。每出现一个数，就在对应编号的桶中放一个小旗子，后只要数数每个桶中有几个小旗子就OK了。例如2号桶中有1个小旗子，表示2出现了一次；3号桶中有1个小旗子，表示3出现了一次；5号桶中有2个小旗子，表示5出现了两次；8号桶中有1个小旗子，表示8出现了一次。

现在你可以尝试一下输入n个0~1000之间的整数，将它们从大到小排序。提醒一下，如果需要对数据范围在0~1000的整数进行排序，我们需要1001个桶，来表示0~1000之间每一个数出现的次数，这一点一定要注意。另外，此处的每一个桶的作用其实就是“标记”每个数出现的次数，因此我喜欢将之前的数组a换个更贴切的名字book（book这个单词有记录、标记的意思），代码实现如下。

#include <stdio.h>

int main（）

{

    int book［1001］，i，j，t，n；

    for（i=0；i<=1000；i  ）

        book［i］=0；

    scanf（"%d"，&n）；

    //输入一个数n，表示接下来有n个数

    for（i=1；i<=n；i  ）

    //循环读入n个数，并进行桶排序

    {

        scanf（"%d"，&t）；  

        //把每一个数读到变量t中

        book［t］  ；  

        //进行计数，对编号为t的桶放一个小旗子

    }

    for（i=1000；i>=0；i--）  

    //依次判断编号1000~0的桶

        for（j=1；j<=book［i］；j  ）  

        //出现了几次就将桶的编号打印几次

             printf（"%d "，i）；

    getchar（）；

    getchar（）；

    return 0；

}

可以输入以下数据进行验证。

10

8 100 50 22 15 6 1 1000 999 0

运行结果是：

1000 999 100 50 22 15 8 6 1 0

后来说下时间复杂度的问题。代码中第6行的循环一共循环了m次（m为桶的个数），第9行的代码循环了n次（n为待排序数的个数），第14行和第15行一共循环了m n次。所以整个排序算法一共执行了m n m n次。我们用大写字母O来表示时间复杂度，因此该算法的时间复杂度是O（m n m n）即O（2*（m n））。我们在说时间复杂度的时候可以忽略较小的常数，终桶排序的时间复杂度为O（m n）。还有一点，在表示时间复杂度的时候，n和m通常用大写字母即O（M N）。

这是一个非常快的排序算法。桶排序从1956年就开始被使用，该算法的基本思想是由E.J.伊萨克和R.C.辛格尔顿提出来的。之前我说过，其实这并不是真正的桶排序算法，真正的桶排序算法要比这个更加复杂。但是考虑到此处是算法讲解的篇，我想还是越简单易懂越好，真正的桶排序留在以后再聊吧。需要说明的一点是：我们目前学习的简化版桶排序算法，其本质上还不能算是一个真正意义上的排序算法。为什么呢？例如遇到下面这个例子就没辙了。

现在分别有5个人的名字和分数：huhu 5分、haha 3分、xixi 5分、hengheng 2分和gaoshou 8分。请按照分数从高到低，输出他们的名字。即应该输出gaoshou、huhu、xixi、haha、hengheng。发现问题了没有？如果使用我们刚才简化版的桶排序算法仅仅是把分数进行了排序。终输出的也仅仅是分数，但没有对人本身进行排序。也就是说，我们现在并不知道排序后的分数原本对应着哪一个人！这该怎么办呢？不要着急，请看下节——冒泡排序。

第2节  邻居好说话——冒泡排序

简化版的桶排序不仅仅有上一节所遗留的问题，更要命的是：它非常浪费空间！例如需要排序数的范围是0~2100000000，那你则需要申请2100000001个变量，也就是说要写成int a［2100000001］。因为我们需要用2100000001个“桶”来存储0~2100000000每一个数出现的次数。即便只给你5个数进行排序（例如这5个数是1、1912345678、2100000000、18000000和912345678），你也仍然需要2100000001个“桶”，这真是太浪费空间了！还有，如果现在需要排序的不再是整数而是一些小数，比如将5.56789、2.12、1.1、3.123、4.1234这五个数进行从小到大排序又该怎么办呢？现在我们来学习另一种新的排序算法：冒泡排序。它可以很好地解决这两个问题。

冒泡排序的基本思想是：每次比较两个相邻的元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。

例如我们需要将12 35 99 18 76这5个数进行从大到小的排序。既然是从大到小排序，也就是说越小的越靠后，你是不是觉得我在说废话，但是这句话很关键。

首先比较第1位和第2位的大小，现在第1位是12，第2位是35。发现12比35要小，因为我们希望越小越靠后嘛，因此需要交换这两个