思维魔方：让哲学家和数学家纠结的悖论

　　悖论是英语词paradox的中译，指的是与公认的信念相左的“道理”，或是让人陷入两难、无所适从的命题。它虽然看似荒谬，违反常理，但却似乎论证缜密、无从反驳。悖论起源很早，如古希腊的“说谎者悖论”、中国的“白马非马”之说。历史上，众多的哲学家、数学家、逻辑学家对悖论进行了奇妙而艰苦的探索，带给他们成功的快乐和失败的苦痛，并且不断推进了人类智慧的进展，引发哲学和数学的革命。本书是国内本全面系统地介绍悖论问题的著作，作者将从古至今五花八门的悖论分成十二类，详细介绍每一类悖论的历史原型、各种变体、逻辑学家的解决方案、与日常生活的关系等等。作为国内著名的逻辑学家，作者大匠运斤、游刃有余，又能深入浅出、别开生面。悖论是有趣的，也是恼人的，它的难与美都是它永不褪色的魔力。由于人类思维中固有的矛盾和裂隙，我们或许不可能一劳永逸地解决所有悖论；但徜徉于智慧的迷宫，看奇峰竞出不也是美好的体验吗？

　　陈波，人民大学哲学博士，北京大学哲学系教授/外国哲学研究所教授，专业领域为逻辑学和分析哲学。主要著作有：《奎因哲学研究——从逻辑和语言的观点看》《逻辑哲学导论》《逻辑学是什么》《逻辑哲学》《逻辑学十五讲》等，先后获金岳霖学术奖、北京市哲学社会科学优秀成果奖、*人文社会科学优秀成果奖、*优秀教材奖等学术奖励。

序言：理智的突围
章形形色色的悖论
　一、悖论是什么？不是什么？
　二、悖论有哪些类型？
　三、如何合理地解决悖论？
　四、悖论研究有哪些意义？
第二章扰人的二难困境
　一、苏格拉底的诘问法
　二、师徒官司：半费之讼
　三、鳄鱼悖论及其变体
第三章有关上帝的悖论
　一、伊壁鸠鲁悖论
　二、全能悖论
　三、全知悖论
　四、恶和苦难问题
　五、帕斯卡赌
　六、克尔凯郭尔的神悖论
第四章模糊性：连锁悖论
　一、什么是模糊性？
　二、连锁悖论举要
　三、模糊性理论概观
第五章芝诺悖论和超级任务
　一、芝诺悖论和归于不可能的证明
　二、超级任务——芝诺悖论的现代变体
　三、无穷倒退和无穷嵌套悖论
第六章数学中的无穷和关于无穷的数学
　一、数学中的无穷“悖论”
　二、关于无穷的数学：康托尔的贡献
第七章语形悖论
　一、语形悖论举要
　二、罗素的类型论
第八章语义悖论
　一、语义悖论举要
　二、塔斯基的语义学
第九章休谟问题和归纳悖论
　一、休谟问题及其解决方案
　二、归纳悖论和反归纳主义
第十章概率统计悖论
　一、蒙提?霍尔问题
　二、睡美人疑难
　三、小世界悖论
　四、奇怪的遗嘱
第十一章认知悖论
　一、美诺悖论——古希腊的认知悖论
　二、意外考试悖论及其变体
　三、其他常见的认知悖论
　四、普特南的“缸中之脑论证”
　五、一些认知逻辑的趣题
第十二章决策和合理行动的悖论
　一、囚徒困境及其分析
　二、纽康姆悖论及其分析
　三、其他决策和合理行动悖论
第十三章一些道德悖论
　一、关于道德原理的思考
　二、道德悖论举要
第十四章中国文化中的怪论与悖论
　一、邓析的“两可之说”
　二、惠施的“历物之意”
　三、“二十一事”
　四、公孙龙的“白马非马”
　五、庄子的“吊诡”之辞
　六、韩非的“矛盾”之说
结语
参考文献

　　悖论是英语词paradox的中译，指的是与公认的信念相左的“道理”，或是让人陷入两难、无所适从的命题。它虽然看似荒谬，违反常理，但却似乎论证缜密、无从反驳。悖论起源很早，如古希腊的“说谎者悖论”、中国的“白马非马”之说。历史上，众多的哲学家、数学家、逻辑学家对悖论进行了奇妙而艰苦的探索，带给他们成功的快乐和失败的苦痛，并且不断推进了人类智慧的进展，引发哲学和数学的革命。本书是国内本全面系统地介绍悖论问题的著作，作者将从古至今五花八门的悖论分成十二类，详细介绍每一类悖论的历史原型、各种变体、逻辑学家的解决方案、与日常生活的关系等等。作为国内著名的逻辑学家，作者大匠运斤、游刃有余，又能深入浅出、别开生面。悖论是有趣的，也是恼人的，它的难与美都是它永不褪色的魔力。由于人类思维中固有的矛盾和裂隙，我们或许不可能一劳永逸地解决所有悖论；但徜徉于智慧的迷宫，看奇峰竞出不也是美好的体验吗？

　　陈波，人民大学哲学博士，北京大学哲学系教授/外国哲学研究所教授，专业领域为逻辑学和分析哲学。主要著作有：《奎因哲学研究——从逻辑和语言的观点看》《逻辑哲学导论》《逻辑学是什么》《逻辑哲学》《逻辑学十五讲》等，先后获金岳霖学术奖、北京市哲学社会科学优秀成果奖、*人文社会科学优秀成果奖、*优秀教材奖等学术奖励。

　　【前言】 内容理智的突围（序）非技术地说，“悖论”意味着“理智的困境”，“消解悖论”则近似于“理智的突围”。从这个角度看，“悖论”对于人类理智来说，既具有“消极”意义，又具有“积极”意义。人类理智与“悖论”的缠斗有悠久的历史。在古希腊早期，就发现了很多悖论，如“说谎者”、“秃头”、“谷堆”、“鳄鱼”等。其中，说谎者悖论的原初形式“所有的克里特岛人都说谎”还被载入《新约》的《提多书》中，在西方世俗社会和学术界都有很大的影响力。在古希腊时期，据说有个叫做“斐勒塔”的人潜心研究说谎者悖论，结果把身体也弄坏了，瘦骨嶙峋，为了防止被风刮跑，不得不在身上带上铁球和石块，但后还是因积劳成疾而一命呜呼。为了提醒后人免蹈覆辙，他的墓碑上写道：“科斯的斐勒塔是我/使我致死的是说谎者/无数个不眠之夜造成了这个结果。”在欧洲中世纪和近现代，对悖论的研究绵延不绝，一度还占据中心位置，例如悖论与第二次和第三次数学危机。在中国古代，庄子提出“吊诡”一说，意指巨大且艰深的理智难题，与“悖论”庶几近之；墨家提出“悖”概念，并探讨了与说谎者悖论相近的东西：“以言为尽悖，悖，说在其言。”悖论对于人类理智的“消极”意义在于，它们促使我们注意到：我们思维的基本的概念出了问题，我们思维的基本的原则隐藏着风险，我们得到广泛证实且被普遍应用的理论甚至能导出矛盾、荒谬和悖论！在此之前，我们通常认为，它们是如此明显正确，确定无疑，理所当然，几乎放之四海而皆准。这样的发现对于严肃的科学家来说是一种折磨——理智和情感方面的双重折磨。在物理学的“两朵乌云”所带来的新发现（量子力学和相对论）面前，有的科学家手足无措，在几年前死去”；面对以非技术地说，“悖论”意味着“理智的困境”，“消解悖论”则近似于“理智的突围”。从这个角度看，“悖论”对于人类理智来说，既具有“消极”意义，又具有“积极”意义。人类理智与“悖论”的缠斗有悠久的历史。在古希腊早期，就发现了很多悖论，如“说谎者”、“秃头”、“谷堆”、“鳄鱼”等。其中，说谎者悖论的原初形式“所有的克里特岛人都说谎”还被载入《新约》的《提多书》中，在西方世俗社会和学术界都有很大的影响力。在古希腊时期，据说有个叫做“斐勒塔”的人潜心研究说谎者悖论，结果把身体也弄坏了，瘦骨嶙峋，为了防止被风刮跑，不得不在身上带上铁球和石块，但后还是因积劳成疾而一命呜呼。为了提醒后人免蹈覆辙，他的墓碑上写道：“科斯的斐勒塔是我/使我致死的是说谎者
　　/无数个不眠之夜造成了这个结果。”在欧洲中世纪和近现代，对悖论的研究绵延不绝，一度还占据中心位置，例如悖论与第二次和第三次数学危机。在中国古代，庄子提出“吊诡”一说，意指巨大且艰深的理智难题，与“悖论”庶几近之；墨家提出“悖”概念，并探讨了与说谎者悖论相近的东西：“以言为尽悖，悖，说在其言。”悖论对于人类理智的“消极”意义在于，它们促使我们注意到：我们思维的基本的概念出了问题，我们思维的基本的原则隐藏着风险，我们得到广泛证实且被普遍应用的理论甚至能导出矛盾、荒谬和悖论！在此之前，我们通常认为，它们是如此明显正确，确定无疑，理所当然，几乎放之四海而皆准。这样的发现对于严肃的科学家来说是一种折磨——理智和情感方面的双重折磨。在物理学的“两朵乌云”所带来的新发现（量子力学和相对论）面前，有的科学家手足无措，在几年前死去”；面对以罗素悖论为代表的各种集合论悖论，有的科学家以近乎悲凉的心情说出了这样的反讽式句子：“数学和集合论不再是无用的了，它们可以导出悖论！”但是，甚至悖论所带来的这种影响也不完全是消极的：它们提醒我们去限制人类理智的狂妄，倡导人类理智的谦卑，促使我们注意到：还有很多未知的理智陷阱隐藏在前进的途中，还有很多未解之谜摆在人类理智面前！悖论对于人类理智的“积极”意义在于：它们以触目惊心的形式向我们揭示了问题，发出了挑战。人类理智不得不正面迎战：问题究竟出在哪里？矛盾和悖论是如何导出的？我们思维中的哪些基本概念、基本原则、常识、公理等等隐含问题？如何改善和修正它们？有多少种办法和途径去改善和修正？如何构造出更好的免除了矛盾和悖论的科学理论？如此等等。由此带来的结果是：科学理论的更新和发展，人类理智对外部世界认知的深化，以及人类理智对自身认知能力的自我认知的深化……因此，“悖论”给我们打开了一个新的思维世界，提供了一个新的思维空间，里面有很多“暗道机关”，有许多“曲径通幽”，也有很多“死胡同”，有难以计数的“可能性”，智者、能者在这里可以找到腾挪滚打、尽情折腾、施展才华的舞台，他们有时会面临“山穷水尽疑无路”的困境，有时则会获得“柳暗花明又一村”的欣悦！在这方面，“悖论”是多么地像“魔方”啊：一个小小的魔方，置于你的手中把玩，它对你来说意味着：困难，诱惑，挑战，神奇，舞台，空间，思考，尝试，失败，成功，沮丧，喜悦，几乎是“一切的一切”！这就是本书书名——《思维魔方》的由来。读者诸君，这本《思维魔方》已经摆在你的面前，准备迎接挑战吧！
　　是为序。陈波2014年3月20日于日本东京
　　【书摘 内容】第二章扰人的二难困境

　　一、苏格拉底的诘问法
　　苏格拉底堪称哲学家的典范，他曾把自己比作将人们从精神的慵懒、怠惰和自欺中刺醒的“牛虻”。他把“认识你自己”这句格言变成了他的终身践履。据说，德尔斐神庙的祭司传下神谕说，没有人比苏格拉底更有智慧。为了验证神谕，苏格拉底向他在公共场合遇到的任何人提问，特别是那些自诩有智慧的人，例如政治家、诗人和手工艺匠人。他主要关心伦理问题，例如什么是德行，什么是勇气，什么是友谊，什么是美，什么是丑等，并且开始提问时总是很谦谨：“请教一下……”。
　　当他的对手给出关于这些问题的一个概括性说明和总体性定义后，他会进一步问更多的问题，或举出有关的反例。在他的诘难之下，与他讨论的人通常会放弃其开始给出的定义而提出一个新定义，而这个新定义接着又会受到他的质询，后这个谈话对象会被弄得一脸茫然、满腹狐疑。由此，苏格拉底不仅证明了他人的无知，而且也证明了他自己除了知道自己无知外，其实也一无所知，这也就是他比其他人更有智慧的地方。他把这套方法比作“精神助产术”，即通过比喻、启发等手段，用发问与回答的形式，使问题的讨论从具体事例出发，逐步深入，层层驳倒错误意见，后走向某种确定的知识。它包括以下环节：
　　（1）反驳：举出该论断的一些反例；
　　（2）演绎：从对方论断中引出矛盾；
　　（3）归纳：从个别例证中概括出一般；
　　（4）诱导：提出对方不得不接受的真理；
　　（5）定义：对一般做出概要性解释。
　　因此，亚里士多德说：“有两件事情公正地归之于苏格拉底，归纳
　　推理和普遍定义，这两者都与科学的始点相关。”

　　苏格拉底悖论

　　苏格拉底断言：“我知道我一无所知，这就是我比其他人更有智慧的地方。”
　　这似乎是一个悖论：如果苏格拉底真的知道自己一无所知，则他至少在这一点上有所知，故他不再是一无所知，因而他说知道自己一无所知就是假的。矛盾！
　　类似地，人们常说：“世界上没有真理。”不知道这句话本身算不算一个“真理”？彻底的怀疑论者说：“我什么也不相信，我怀疑一切！”不知道他们是否相信这句话？他们是否怀疑“我怀疑一切”这句话？还有这样一条规则：“所有规则都有例外，除了本规则。”不知道这条规则是否还会有其他的例外？
　　不过，经过仔细思考，我同意这样的论断：把苏格拉底上面的话视为自相矛盾，甚至视为一个悖论，是对柏拉图关于苏格拉底的记述的误读。泰勒（C.C.W.Taylor）指出：虽然苏格拉底经常说他不知道怎么回答辩论所涉及的问题，但是他从来没有说过他什么都不知道。事实上，他有几次强调过，他有一定的知识，这在《申辩篇》里为明显。在这篇对话中他有两次声明，他知道放弃自己的神圣的使命是错误和可耻的行为（29b，37b）。他所要否认的是他拥有智慧，继而否认他在教导民众。显然他明白，教育就是授人以智慧和学识（19d-20c）。考虑到他在《申辩篇》里的宣称，只有神才拥有真正的智慧，人的智慧与这种智慧相比（23a-b）
　　根本不值一提，那么，他否认有智慧可以理解为是对人的局限性的承认，拥有一种能够洞察万物的智慧，那是神所独有的特权。无论是苏格拉底还是其他任何人都不能奢望这种智慧，苏格拉底否认自己有这种智慧，其实是在坚决抵制人类普遍存在的那种亵渎神灵的傲慢。
　　……苏格拉底的确承认有一种自己无法达到的理想的知识范式，但他说过自己懂得某些特殊的知识。这相当于说，只有满足这种范式才能称作知识，而苏格拉底自己的知识状态不能满足这种范式的要求，因此只能称作意见。只要把专家的知识称作完整的知识，把普通人的知识称作零散的知识，我们就可以区分满足范式要求的知识和不满足范式要求的知识，这样也就用不着否认后者也可以冠以知识的头衔（……）。
　　苏格拉底所注重的是道德知识，他有一个著名的口号：“德性即知识”。但是，他不承认在道德问题上有任何专家，至少不承认人类在此问题上有任何权威。因此，没有人（包括他自己在内）有权声称拥有道德真理，做这种声称的人要么是出于无知，要么是有意骗人。

　　欧绪弗洛困境：对不一致的无知

　　欧绪弗洛（Euthyphro）的父亲有一个奴隶，在酒后争吵中杀死了另一个奴隶。为了阻止他造成进一步伤害，欧氏的父亲把他绑起来，堵上嘴巴，并投入沟中；与此同时，派人到雅典请教神巫如何处置此人。
　　在等待消息的过程中，那个奴隶死于沟内。因为这个缘故，欧绪弗洛控告他的父亲谋杀他人。苏格拉底对欧氏的做法表示怀疑，要求他必须想清楚控告自己父亲的行为是否正当，以免触怒诸神。为了证明自己行为的正当性，欧绪弗洛在论辩中表明他相信下面4个命题：
　　（1）起诉我的父亲是神圣的。
　　（2）诸神都同意欧绪弗洛控告他父亲这件事情是神圣的。
　　（3）奥林匹斯诸神之间彼此争斗，互相欺骗，相互为敌。
　　（4）关于何种行为是公义或不公义、神圣或不神圣等问题，诸神之间存在分歧。
　　从欧绪弗洛所持有的信念（3）和（4）出发，苏格拉底推出如下信念：
　　（5）关于欧绪弗洛起诉自己的父亲谋杀这件事情，诸神之间并没有一致的看法。因此，欧绪弗洛必须相信，某些神灵并不认为他起诉自己的父亲这件事情是公义或神圣的。这与他的信念（2）不一致。
　　苏格拉底认为，欧绪弗洛没有分辨开下面两个问题：一项行为是神圣的是因为诸神喜悦它，还是诸神喜悦一项行为是因为它是神圣的？苏氏和欧氏都同意诸神喜悦一项行为是因为它是神圣的，而这表明，欧氏确实相信：神圣的本性不依赖诸神对它的喜悦！因此，欧氏本人的观点中隐藏着逻辑的不一致。可以把这种无知称为“对不一致的无知”。当苏格拉底通过从对方的信念中推出逻辑矛盾来反驳对方时，他必定已经认识到了矛盾律的作用：理性思维中不能允许逻辑矛盾，尽管他对矛盾律尚没有给予清楚而明确的表述。

　　拉刻斯：对定义的无知

　　关于苏格拉底的“诘问法”，其大致步骤是：在对话过程中，先提出问题，使对方对某一道德问题提出初的定义；其次引进一些事例，从而暴露出这些初的定义或者太宽泛，或者太狭隘，因而是不合适的，对方必须放弃原定义而提出新定义，这样继续下去，直到后得到一个比较令人满意的、能够揭示某一道德行为的本质特征的定义为止。
　　下面以《拉刻斯篇》中关于“勇敢”的讨论为例。
　　拉刻斯本人是一位著名的勇士，自认为对勇敢的行为很了解。苏格拉底问他，在所有被称为“勇敢”的行为中有什么共同特征？拉刻斯回答说：“一个能坚守岗位、与敌拼搏而不逃跑的人，你就可以说他是勇敢的。”苏格拉底随即找出了一些并不在战场上发生的勇敢的例子，例如，有人在大海上、在疾病中、在贫困中、在政治活动等中表现勇敢的，而这些例子是拉刻斯的定义所没有涉及的，因而其定义过于狭隘，是错误的。拉刻斯接受这种看法，并将其定义修改为：“勇敢是灵魂的忍耐。”苏格拉底接着指出，勇敢是一种高贵的品质，而忍耐却有愚蠢的、邪恶的、有害的忍耐，因此拉刻斯的定义过于宽泛，是错误的。拉刻斯又承认了这一点，并为此深感苦恼：“在思想中我确实明白什么是勇敢。但不知怎么的，它马上就溜走了，以至我不能在语言中把握它，说出它是什么。”苏格拉底鼓励他不要放弃：“亲爱的朋友，优秀的猎手必定紧随猎犬不轻易放弃追逐。”拉刻斯回答说，“确实如此。”拉刻斯在这里显露出“对定义的无知”。
　　“对不一致的无知”和“对定义的无知”，是一般“无知”的两种表现形态。前者显示了苏氏对矛盾律的洞察，后者显示了他对普遍性知识的追求。苏格拉底知道这两类“无知”，并且还知道自己“无知”，这就是他比其他人“有智慧”的地方。

　　关于结婚的二难推理

　　据说，苏格拉底曾劝男人们都要结婚，他的规劝是这样进行的：
　　你或者娶到一位好老婆，或者娶到一位坏老婆，
　　如果你娶到一位好老婆，你会获得人生的幸福；
　　如果你娶到一位坏老婆，你会成为一位哲学家；
　　所以，你或者会获得人生的幸福，或者会成为一位哲学家。
　　这两个结果都是可以接受的，
　　所以，你应该结婚。
　　在苏格拉底看来，即使成为一位哲学家，也不是一件太坏的事情。
　　他本人就是一位哲学家。尽管不能由此推出他的老婆就一定坏，但据说他的老婆确实也不太好，经常对他作河东狮吼。恐怕也难怪他的妻子，因为苏格拉底作为一位哲学家是杰出的，但他作为一名丈夫甚至可能是不合格的。据说他长相丑陋，没有什么财产，整天又热衷于与人辩论，由此证明别人的无知，并证明他自己除了知道自己无知外其实也一无所知。当这样的丈夫的妻子也实在是不容易。
　　苏格拉底在规劝时使用了如下的推理形式：
　　或者P或者R，
　　如果P则Q；
　　如果R则S；
　　所以，或者Q或者S。
　　Q和S都是可接受的，
　　所以，P。
　　从逻辑上说，苏格拉底的规劝是不成立的：他从结婚的两种可能后果都是可接受的，推出男人们应该结婚的结论。他使用的是充分条件假言命题的肯定后件式推理：如果P则Q；Q，所以，P。这是一种无效的推理形式。举个反例：如果某人感冒，则某人发烧；某人发烧了，所以，某人感冒了。即使此推理的前提都真，其结论也不一定真，因为感冒固然能引起发烧，别的原因——如某个脏器的炎症——也能引起发烧。所以，从“某人发烧”不能必然地推出“某人感冒”，多只能推出“某人可能感冒了”。
　　顺便指出，古希腊的斯多亚派构造了另一个推理，旨在劝男人们不要结婚：
　　或者你与一位漂亮的女人结婚，或者你与一位丑陋的女人结婚，
　　如果她是漂亮的，你将与人分享她；
　　如果她