数学的逻辑

· 为什么1 1=2？
· 为什么奇数和偶数交替?
· 代数的意义是什么?
· 数学问题真的有且只有一种标准答案吗?
从实数、虚数到复杂的运算顺序，将“消除世界对数学的恐惧”视为终身奋斗事业的剑桥博士、谢菲尔德大学终身教授郑乐隽带领我们进入了一段从未见过的数学旅程，揭示了如何从看似不可能的来源中发现深刻的真相。作者认为，数学不仅仅是关于如何得到正确答案的科学，数学也是关于自己创造的科学和真理，是一段令人兴奋，令人畏惧，令人敬畏，最终获得快乐的经历。她希望通过这本书的阐释，帮助读者理解数学到底是什么，通过理解数学的本质，消除关于数学的神话和误解，消除对数学狭隘的、缺乏想象力的认识，用有趣的数学思维理解我们的真实世界。

剑桥大学数学博士，芝加哥艺术学院常驻科学家。她在YouTube视频网站上的演讲视频浏览量已超过100万次，“消除世界上所有人对数学的恐惧”是郑教授终身奋斗的事业目标。著有《超越无穷大》《数学思维》《逻辑的力量》等多部数学科普畅销书图书，英国《卫报》曾授予其“科学与自然类新秀作者”奖。同时，她还是一位举办过音乐会的钢琴家，能够流利用法语、英语和广东话交流。 

前言 1
1     数学从哪里来 9
2    数学是如何运作的 35
3    为什么要学习数学 61
4    什么是好的数学 93
5    字母 127
6    公式 149
7    图形 179
8    故事 217

尾声 231
致谢 234

· 为什么1 1=2？
· 为什么奇数和偶数交替?
· 代数的意义是什么?
· 数学问题真的有且只有一种标准答案吗?
从实数、虚数到复杂的运算顺序，将“消除世界对数学的恐惧”视为终身奋斗事业的剑桥博士、谢菲尔德大学终身教授郑乐隽带领我们进入了一段从未见过的数学旅程，揭示了如何从看似不可能的来源中发现深刻的真相。作者认为，数学不仅仅是关于如何得到正确答案的科学，数学也是关于自己创造的科学和真理，是一段令人兴奋，令人畏惧，令人敬畏，最终获得快乐的经历。她希望通过这本书的阐释，帮助读者理解数学到底是什么，通过理解数学的本质，消除关于数学的神话和误解，消除对数学狭隘的、缺乏想象力的认识，用有趣的数学思维理解我们的真实世界。

剑桥大学数学博士，芝加哥艺术学院常驻科学家。她在YouTube视频网站上的演讲视频浏览量已超过100万次，“消除世界上所有人对数学的恐惧”是郑教授终身奋斗的事业目标。著有《超越无穷大》《数学思维》《逻辑的力量》等多部数学科普畅销书图书，英国《卫报》曾授予其“科学与自然类新秀作者”奖。同时，她还是一位举办过音乐会的钢琴家，能够流利用法语、英语和广东话交流。 

我上学的时候，最喜欢的一门课程就是制作毛绒玩具。我曾经做过一只毛茸茸的鬈毛狗，和一只耷拉着天鹅绒耳朵、懒洋洋的小幼犬。我喜欢整个制作过程：从裁剪每一个形状，看着它们如何神奇地拼凑成一个动物的样子，到把它们缝在一起，从内向外翻过来那神奇的一刻，以及塞进填充物后就像赋予它生命一样的愉悦过程。
你完全可以去买一个毛绒玩具，为什么还要自己做呢？几乎所有东西都有现成的产品，你为什么还要自己动手呢？
有时候是因为我们自己做出来的东西更好，我的确发现自制的蛋糕比从外边买来的更好吃。但有时候我们自己做的东西从客观上说算不上“更好”。我很喜欢弹钢琴，但是如果我播放一张唱片或者去听一场音乐会，的确能享受到“更好”的音乐。我有时候甚至喜欢自己做衣服，尽管做出来的东西实属粗制滥造。
还有可能是因为便宜。自己剪头发肯定开销更低，我就是这么做的，尽管专业理发师的作品看起来“更好”。
但是更通常的原因在于，自己动手会带来一种满足感。对于我来说，食物、音乐、衣服就是如此，当然不同的人会对不同的事物产生满足感。用另一种方式来阐述这个问题，或许就像徒手攀登岩壁（我可做不来），不借助氧气瓶登上珠穆朗玛峰（不是我的专长），或者划船横渡大西洋（还是找别人吧）。抑或就像你要踏上露营探险之旅，需要背上所有的东西，包括食物、帐篷，能让你在野外享受一段自给自足的生活。
对我来说，数学就相当于自己动手制作一些东西：自己来创造真理，仿佛是在思想的荒原之中过着自给自足的生活。在我看来这是一个充满了兴奋、挫折、敬畏，而又极其愉悦的过程，这也是我接下来要讲述的事情。
我想要说说数学的“感觉”，而且不打算借助通常人们对它的理解方式。我会说到数学所包含的广袤领域、它的创造性、想象力、探索的过程，以及能让我们去追求梦想、遵从内心的直觉、享受到理解之快乐的那一部分数学。就像是驱散迷雾，重现阳光。
这并不是一本数学教科书，也不是一本数学历史书，而是一部数学情绪手册。
数学在不同的人群当中会引发不同的情绪反应。对有些人来说，它基本上就代表了恐惧和愚笨的回忆。我想要展现在不同情绪背景下数学的样子。
数学既惹人喜爱又遭人厌恶，可惜的是，有些数学热爱者谈论它的方式让那些数学厌恶者变得更讨厌它了。可以这样来说，人们热爱数学有两个原因。有些人喜欢它是因为他们觉得数学有极为清晰的正误之别，而且他们很容易就能找到正确的答案，于是他们觉得自己很聪明。而有些人讨厌数学也是基于同样的原因，只不过出于一个相反的逻辑：数学有明确的正误之别，但是他们很难找到正确的答案，于是就有了一种愚蠢的感觉。或者更准确地说，那些轻松找到正确答案的人让很难找到正确答案的人觉得自己很愚蠢。而且，这些人甚至根本不喜欢正误之别这个概念。生活中充满了各种微妙的差异，这种非黑即白的东西无法表现出他们所感受到的生活中最有趣的那部分内容。
然而，这种非黑即白的死板世界观仅仅是对数学一种极为狭隘的理解。抽象的数学其实并没有明确的正误之别，尤其是在数学研究的层面上，但毕竟只有极少数人能达到这个层次并见证它的真实面目。非常有趣的一个现象是，数学家们热爱数学的原因其实与数学厌恶者讨厌它的原因一样：他们喜爱数学的精妙之处和细微差别，并用它来表述、探索生活中最有趣的部分。从根本上说，数学的概念并不是明确的答案，而是一个可以让我们在其中探索各类真相的越来越微妙的世界。
因此就出现了一个令人好奇的现象：专业数学家和数学厌恶者对数学所秉持的态度极为相似，只不过前者的态度往往会得到鼓励和赞扬，而后者经常遭到鄙视甚至嘲笑，从而让他们从来没有意识到他们的思想和感觉其实与专业数学家有多么的相近。
数学的客观现实与人们对数学的感知之间存在一定的差异，我希望能弥合这个差异。有太多的人出于一些不必要的原因对数学产生了反感情绪，也有太多的人之所以浮现出愚笨感，就是因为他们提出了一些听起来非常基础但实际上非常重要且深奥的数学问题，或者他们被告知不该提出这些其实非常有趣的数学专业问题。我想要尝试回答这些问题，但更重要的是，我想要认可并赞扬这种渴望深入探究而不是盲目接受数学事实的精神。这件事非常重要，因为数学的宗旨恰恰就是不要把任何事情当成理所当然。
我的目的并不是要传播数学的福音，也不打算劝说所有的人都爱上数学。不同的事物对不同的人有不同的吸引力和阻却力，因此并没有一套行之有效的方法让所有人都爱上这门学科。我的目的仅仅是阐明数学究竟是什么样子的，破除围绕数学的那些迷信思想，澄清人们的误解，避免由于错误的认知而对数学丧失了兴趣。当你看到数学真正的本质之后依然兴味寡然，这也凭你自裁——我们毕竟不需要让所有人都喜欢上同一样东西。我只是觉得有那么多人仅仅看到了数学极为狭窄、缺乏想象力、独断专行的一面、一个容不下任何个人见解和好奇心的一面就转身而去，是多么令人惋惜的一件事啊。
个人投入感对我来说非常重要。有时候，尤其是当一天漫长的授课结束之后，疲劳感让我实在不愿动手做晚餐，尽管大多数情况下晚餐都是现成的，只需要打开一包通心粉煮熟就可以了。但是我从来也不会因为劳累而不愿意自己做蛋糕。我觉得这都是个人投入的因素所致。我或许没有力气去做那些让我感觉既没有个人投入也没有创造力的事情，却依然有力气去做一些虽然繁琐，但包含了更多的个人投入和创造力，从而让我感到更值得去做的事情。
这就是人们对数学望而却步的原因之一。如果你喜欢在一件事情当中有更多的个人投入和创造力，那么遵循既定公式的常规数学问题肯定不是那么的有趣，也无需你投入太多的精力。你或许宁愿花时间用培乐多彩泥做一套微缩茶具，就像我的班上一位艺术系学生在我们使用培乐多彩泥作数学练习时所做的那样，我告诉他们在讨论时还可以继续使用这些彩泥。
当我们讲授数学课的时候，对于不同类型的学生总会产生出一种焦虑感。这种焦虑感就是我们总想让某些学生把所有事情都“做对”、做准确，以确保他们能胜任未来将要从事的数学研究和相关的专业工作，而同时又知道基础数学课堂中的大部分学生将来都不会做这些工作。想尽办法让每个人都达到数学专业工作的标准水平，就像是以专业厨师的水准来教孩子们学做饭。所以我们最好还是（我觉得无论是教数学还是教做饭）给他们展示尽可能多的可能性，培养他们的兴趣和好奇心，并充分相信他们在需要的情况下有能力学习更高深的技能。
每当我提起这件事，总会有人举起手来说“但是有一些基本的数学技巧在日常生活中是至关重要的呀！”我猜是这样吧，但或许没那么多，也没那么重要。很多令数学变得“至关重要”的生活场景其实大都是臆想中的产物。不管怎样，我们依然教给学生们很多根本不重要的知识，因此需要权衡一下，我们用枯燥无味、画地为牢的方式让很多人对数学望而却步，为此所付出的代价是否真正值得。
数学看似源自一套僵硬的规则，难怪它总会让人退避三舍。但实际上，数学发源于好奇心，它来自人类本能的好奇心理，以及人们不满足于既有答案，试图进行更深入探索的欲望。也就是说，它来自于问题。