量子数值代数

从远古的结绳记事，到古代的算盘，再到近代的电子计算机，人类的计算工具在不断地进步。特别是电子计算机，经过半个多世纪，发展远超当时人们的预期。Moore在1965年有个非凡的预测： 单个集成电路芯片上的晶体管数目，大约一年半到两年翻一番，运算速度也提升一倍。为了提高集成度，晶体管越做越小，现有芯片制造技术将达极限，需要在原子尺度下储存单个比特的信息； 在那里，量子效应如隧穿等将无可避免。而且，计算机的能耗也更加严峻。经典计算机中不可逆逻辑门操作所需的小能量由1961年的Landauer原理给出。每删除一个比特信息，耗散到周围环境的能量至少为kBTln2，其中，T是环境温度，kB为玻尔兹曼常量。实际能耗要比此多一个数量级以上。运算速度越快，单位时间内产生的热量就越多，温度也随之迅速上升，必须有效地散热。
我们探索自然奥秘，发展人类文明，必然需要更强有力的计算工具，量子计算正是时代的召唤。一般认为，量子计算的概念由Yuri Manin和Richard Feynman等在20世纪80年代初提出。Feynman注意到或许用实际的量子系统模拟量子现象更为实际，提出制造由量子器件组成，服从量子规律的计算机。量子演化是幺正的、可逆的。从原理上讲无能量损耗。后续研究者提出了一系列量子算法，著名的传统算法包括： 1985年的Deutsch算法，1994年的Shor大数分解算法，1996年的Grover量子搜索算法，还有近的一些算法如HHL等。我们会在本书中逐个介绍。
量子技术方兴未艾，我国和欧美先后制定量子科学计划，建立研发中心，量子计算竞赛的号角已吹响，并在世界范围内掀起研究热潮。大规模通用容错型量子计算机是量子信息科学的圣杯，虽已无原则性困难，但对技术仍是严峻挑战。亦如20世纪40年代电子计算机所面临的困难。一旦克服技术上的困难，必然突飞猛进，尽管目前仍任重而道远。
本教材介绍了量子计算中涉及的基本计算技巧，侧重于算法的讲解，主要面向应用数学、信息与计算科学专业高年级本科生和低年级研究生； 希望吸引更多年轻人投入到这一新领域，为未来量子算法研究抛砖引玉，为推动量子计算研究尽微薄之力。书稿编写大约始于2010年，冬季在南湖小店写稿的情形仍历历在目。初稿于2016年春季在数学与统计学院“量子信息与量子计算”课程中使用，后续授课过程中不断改进，并加入了一些研究成果，相关内容于2019年在湖南师范、厦门大学和河南大学以“量子数值代数”为题予以介绍。得以成书要感谢编辑刘颖大量细致的工作，感谢2010级至今的各届研究生帮助录入部分手稿。感谢吴宗敏教授增加HHL算法的二阶算例的建议，感谢武俊德教授、王鹤峰教授、魏益民教授、张林副教授、邵长鹏博士和其他与我共同探讨问题的朋友，这些讨论和合作使我获益良多，感谢谦谦的督促及拿出压岁钱支持，还帮助绘制了图12.3； 特别感谢廖丽娅女士一直以来对我工作的理解和支持。感谢科技部重点研发计划（No.2021YFA1000600）和国家自然科学基金（No.11571265）的资助。
量子计算仅数学理论而言就涉及分析、代数和几何诸多分支，而本教材侧重于数值代数相关内容； 从数学、物理、信息论和计算机科学等方面系统而全面地介绍量子计算和量子信息则超出了作者的学识和能力，加之时间仓促，不足之处在所难免，敬请批评指正。
向华
于樱顶老外楼

量子计算机在增加信息容量、提高运算速度、确保信息安全等方面将突破传统信息系统的极限，越来越受到广泛的关注，其研究方兴未艾。量子计算机的研发主要涉及如下三项关键技术： 量子编码、量子算法和量子硬件实现。本书主要讨论量子算法，书中将介绍Deutsch算法，Shor大数质因数分解算法，Grover算法，以及量子加密算法，并介绍近年来在量子算法方面的新进展。

量子计算机在增加信息容量、提高运算速度、确保信息安全等方面将突破传统信息系统的极限，越来越受到广泛的关注，其研究方兴未艾。量子计算机的研发主要涉及如下三项关键技术： 量子编码、量子算法和量子硬件实现。本书主要讨论量子算法，书中将介绍Deutsch算法，Shor大数质因数分解算法，Grover算法，以及量子加密算法，并介绍近年来在量子算法方面的新进展。

向华,作者现为武汉大学数学与统计学院，教授。 2006年毕业于复旦大学数学科学学院，计算数学专业博士。法国INRIA和巴黎六大LJLL博士后，多次访问香港中文大学数学系和香港理工大学应用数学系。

第1章 矩阵代数基础
1Dirac符号
2Pauli矩阵
3矩阵的谱
4矩阵指数
5张量积
第2章 量子力学基础
1基本假设
2表象
3POVM测量
4Heisenberg原理
第3章 再论量子态
1Bloch球
2量子纠缠
3密度矩阵
4偏迹
5算子和表示
第4章 量子逻辑门
1基本量子逻辑门
2SolovayKitaev定理
第5章 量子Fourier变换及其应用
1量子Fourier变换
2量子相位估计
3奇异值估计
第6章 Hamilton量模拟
1LieTrotterSuzuki方法
2酉组合
3酉嵌入
4量子位化
5量子信号处理
6量子奇异值变换
第7章 Deutsch算法及其推广
1Deutsch算法
2DeutschJozsa算法
3BernsteinVazirani算法
4Simon算法
第8章 Shor大数质因数分解算法与隐子群问题
1RSA密码
2Shor算法
3Abel隐子群问题
4非Abel隐子群问题
第9章 Grover算法与振幅放大
1Grover算法
2振幅放大
第10章 线性方程组的量子算法
1HarrowHassidimLloyd算法
2右端项态矢
3稠密线性方程组
第11章 量子游走
1一维量子游走
2SKW算法
3Szegedy游走
第12章 其他算法简介
1绝热量子计算
2量子近似优化算法
3拓扑量子计算
第13章 量子信息简介
1von Neumann熵不等式
2密集编码
3量子纠错码
4BB84协议
5量子隐形传态
附录
附录A特殊酉群SU(2)
附录BRiemann曲率张量
附录CSchrdinger方程
附录DEinsteinPodolskyRosen佯谬和Bell不等式
附录E数论有关结论及Shor算法补注
参考文献

量子计算机在增加信息容量、提高运算速度、确保信息安全等方面将突破传统信息系统的极限，越来越受到广泛的关注，其研究方兴未艾。量子计算机的研发主要涉及如下三项关键技术： 量子编码、量子算法和量子硬件实现。本书主要讨论量子算法，书中将介绍Deutsch算法，Shor大数质因数分解算法，Grover算法，以及量子加密算法，并介绍近年来在量子算法方面的新进展。

向华,作者现为武汉大学数学与统计学院，教授。 2006年毕业于复旦大学数学科学学院，计算数学专业博士。法国INRIA和巴黎六大LJLL博士后，多次访问香港中文大学数学系和香港理工大学应用数学系。