1+1不总等于2

前言

你们正在阅读的这本书将会是我的最后一部作品，我今后不会再出书了。这本书探讨的是数字，就是我们平时数数时会用到的数字。在很多人心中，像“1 1=2”这样的运算实在是过于简单，甚至不值一提。不过，我们将一起探索这个最基础的加法运算式中所蕴含的一些复杂性，还有不同事物在相加时展现出的微妙特性。在这个过程中，我们会接触到 19 世纪以及 20 世纪中一些探讨了同样问题的伟大数学发现，体会到数学家们是如何思考并解决这些课题的，同时真正了解数字和运算的深层内涵。在探讨中，我们会对一些不寻常的事物展开思考，比如数字无穷大时如何相加，还会探寻将其视为数学学科一部分的可行性。另外，我们还会对哥德尔不完备性定理这个举世闻名的理论进行探讨。最后，通过分析，我们会得到一个关于数学究竟为何物的答案——数学是被发现的还是被发明的？不过，在开始之前，我们要先从无数前人发展并丰富过的数字系统和不同的计数方法开始，从认识“1”到再加上“1”从而得到“2”开始。前人们是怎样在计数领域不断进步的？我们会发现不同的民族都开拓了各自独有的计数方法，但几乎都是从“1”和“2”开始，到最后殊途同归于十进制系统——这正是从人类双手的十根手指而来。最后，通过西蒙·纽康（Simon Newcomb）的研究成果，也就是如今被熟知的本福特定律，我们会认识到关于“1”和“2”这两个数字一些此前从未被注意到的独特魅力，观察到这两个数字是如何生动地反映这个真实的世界的。 
数字只是我生活的一部分，更重要的是我身边的亲人。其中最重要的当数我亲爱的妻子伊丽莎白——我们在 55 年前第一次相遇，如今我们结婚也已超过 45 载；还有我们的儿子大卫和他的妻子艾玛、我们的另一个儿子罗杰和他的妻子苏菲、我们的女儿路易丝和她的丈夫斯蒂芬；当然还有我可爱的孙辈们，蒂利、达西、马勒、盖和波皮。 
在这里，我要特别感谢我的儿子罗杰，感谢他在这段困难的日子里用尽全力给了我们夫妻莫大的帮助。我还要感谢皮诺和乔，感谢他们对这本译作的发行所付出的努力，感谢他们与数学家们一道完成了本书的翻译。没有他们的贡献，就没有这本书的出版。愿上帝保佑他们！ 
“就像一股洪流，我们暂时被一块巨石隔开。分别是暂时的，我相信我们终会重逢。”（《古今诗赋》，阿 瑟·韦利）。 
约翰·大卫·巴罗（John D. Barrow）

《1 1不总等于2》是一门令人惊叹的数学课！
1 1=2，这可太简单了，谁不会啊！——那么，一个苹果加一个梨等于多少呢？是两个什么？
数学在物理学、工程学、天文学方面都有着举足轻重的地位，万物逻辑始于1 1，宇宙的尽头是1 1。搞懂数学的底层逻辑，你会发现，数学和物理原来是这么回事！
原始人类能否理解“1 1=2”这个我们现在看来如此简单的算式呢？
“薛定谔的猫”在二进制里有着怎样的解释？
数学到底是一种发现还是一种发明？
…………

约翰·大卫·巴罗（John D. Barrow），牛津大学天体物理学博士，英国数学家、理论物理学家、宇宙学家，剑桥大学教授，畅销科普书作家。曾获狄拉克奖章（国际理论物理和数学物理领域的超高荣誉）、英国皇家天文学会金质奖章等。

第 1 章  
1 1：真的有那么难吗？ 
001 
第 2 章  
手与脚，计数的起源 
013 
第 3 章 
重新定义计算基础：比特和二进制运算 
 031 
第 4 章  
数字的定义 
051 
第 5 章  
事物的集合 
069
第 6 章  
1 1=2，怀特海和罗素的演示 
081 
第 7 章  
超限算术 
095 
第 8 章  
哥德尔不完备性定理 
123 
第 9 章  
为什么 1 和 2 如此常见？ 
141 
第 10 章  
数学到底是什么？ 
153

《1 1不总等于2》是一门令人惊叹的数学课！
1 1=2，这可太简单了，谁不会啊！——那么，一个苹果加一个梨等于多少呢？是两个什么？
数学在物理学、工程学、天文学方面都有着举足轻重的地位，万物逻辑始于1 1，宇宙的尽头是1 1。搞懂数学的底层逻辑，你会发现，数学和物理原来是这么回事！
原始人类能否理解“1 1=2”这个我们现在看来如此简单的算式呢？
“薛定谔的猫”在二进制里有着怎样的解释？
数学到底是一种发现还是一种发明？
…………

约翰·大卫·巴罗（John D. Barrow），牛津大学天体物理学博士，英国数学家、理论物理学家、宇宙学家，剑桥大学教授，畅销科普书作家。曾获狄拉克奖章（国际理论物理和数学物理领域的超高荣誉）、英国皇家天文学会金质奖章等。

与习得语言的能力一样，相较于任何其他特征，人类的计数能力是一种最普遍存在的能力。语言能力似乎在人类大脑的革命性进化前就深植于内。诺姆·乔姆斯基第一个提出了这样一种理论，即由于沉浸在一个能不断提供范例的环境中，语言能力在一个人年龄很小的时候就已经形成，比如一个人的母语就仿佛是在大脑中预设的“程序”（基因）被激活后而习得的。在这种前提下，我们也许会发现一些奇怪现象的背后原理，比如在人生的最初几年里，我们掌握到的本领似乎比我们此后学到的或者被传授的知识内容要多得多。这种认知能力很好的一点就是它是与生俱来的，只待被后天激活。
很多人探讨过这样一种可能性，即是否同样的学习体系也存在于人类对数字的感知中。但是，相较于语言能力，计数是一种更加原始且基础的技能，它源自人类的日常生活所需或者事物的物理特征，比如伸出手我们就能数到 5 根手指，伸出双手我们就能数到 10，如果再加上脚趾的话就能数到 20。
倘若我们穿越回人类文明的起源，就会发现最初的数字系统似乎止步于“2”。那时的人类只使用两个数字，或者说是两个标签，也就是“1”和“2”。通过这两个基础数字的相加，人类就可以对一个很大的数额进行计算。这种非常简单的系统可以在语言的使用中找寻到蛛丝马迹，比如我们可以发现在拉丁语中描述超过“2”的数额时，就会用到“远”或者“超过”这种词根；意大利语中“trans”这个前缀意为“超过”，与意大利语中“3”（tre）这个词有着相同的词根；而在法语中， “3”写作“trois”，与法语中表示“很多”的词“très”同根同源。基本上，只要是超过“2”的表达，都开始使用“超过”一词。在非洲的一些地区以及南美洲、新几内亚，我们会发现这个“到二即止”的初级数字系统还构成了一种计数的延伸，比如 3、4 和 5 会被分别表达作“二一”“二二”和“二二一”，以此类推。总的来说，这种模式显然没有超越如今人们常用的计数方法，而“最大到二”这种数字系统也没有跳脱出“二二”或者“二二一”这些组合，即使后者只是由当时能被认知到的数字元素而构成的一种简单的排列。如果想要在掌握知识和抽象思考能力上有所突破，一种认知概念上的跃升是十分必要的。而在远古时期，这一过程只在世界上的少数区域成功实现了。
人们可能会好奇，原始社会的人类是否能流畅地计数，或者他们能否理解“1 1=2”这个如今我们看来极为简单的算式？事实上，原始社会的人类很早就能使用含有数字的词语来描述他们所观察到的物体。讲钦西安语的英属哥伦比亚原住民就会运用一些特定表达来描述不同的物体。这一现象绝非偶然，在一段并非被特意记载下来的对话中，代表“一”和“二”的语音会根据扁平物体、弯曲物体、人、条状物体、小木船和计量单位等物体和概念的特性发生变化……

一位真正伟大的科学家不仅要在学科上做出重大贡献，还应当高瞻远瞩，在深度和广度上重塑一门学科的概念图景。巴罗就是这样一位科学家。
——英国物理学家 保罗·戴维斯