21世纪的数学 探索人类认知的边界

跨越千年的数学

1960 年，诺贝尔物理学奖获得者尤金?维格纳发表了名为《数学在自然科学中不合理的有效性》的文章。这篇文章立足于很广泛的学科背景，为其他科学家解答了不少疑问。哪怕是60多年后的今天，他的许多观点都为人所津津乐道。
随着人类生产生活实践的飞速发展，数学也在经历着惊人的蜕变。几百年前，数学家普遍还认为自己是在探求客观世界的真理。在公元前3 世纪诞生的极具影响力的欧几里得著作《几何原本》，就刻画了我们现在所熟知的欧氏几何，或者叫平面几何。《几何原本》中的公理，即书中那套理论框架所基于的最原初的假设，是依据人们所认为的、能够用于准确地反映现实世界中物体运行规律的原则而挑选出来的。无独有偶，牛顿当时创建微积分理论的初衷，也是为了将他的物理学建立在坚实的基础之上；而微积分的运算法则又基于牛顿本人对真实世界中物体运动的感知。
然而，今天的数学家不再坚定地笃信他们的公理基础是正确的了。对于一组给定的公理体系，他们对其背后可能蕴含的深刻理论更感兴趣，而不论公理本身是否一定成立。欧氏几何本质上就是从这样一组公理体系中孕育出来的；而对于两条平行“直线”看上去会互相背离对方远去的双曲几何而言，它们存在的背后又是另一套不太一样的公理假设。从某种意义上说，数学成了一个思想实验的集合体，成了从假设出发不断延长的推理链条；而这些假设在任何真实世界的背景之下是否真的成立还是一个未知数，甚至并不重要。数学演变成了一种抽象的艺术形式，开始形成一种内在的审美价值。
“看似脱离实际”的数学如今依然是科学实践中强有力的工具，这是一个奇迹，因为科学本身是为验证真实世界中的假设而服务的。但是数学模型和统计分析等手段在其他科学领域中的重要性的确在显而易见地凸显。
在这本书中，我们着重呈现了《科学美国人》杂志自千禧年以来发表的一些数学瑰宝。在第1 章中，我们收录了几篇关于在过去几十年间基础数学领域中最重大成果的文章，它们是纯数学理论研究的前沿之作。在第2 章中，我们探索了数学与生命，描述了数学建模是如何帮助科学家理解生物学的。第3章则讲述了数学如何为物理学服务。这两个领域数千年以来就互相纠缠在一起，直至今天也一直持续地相互促进和发展。第4 章探讨了数学在人与人相互联系的社会文化中所扮演的角色，话题涵盖了政治、艺术、密码的保护与破解等。
尽管数学在用模型刻画世界和精确计算上不断创造着愈加强大的工具，我们也必须考虑到数学所存在的固有局限性。在第5 章中，我们将带来一篇深藏在数学宝库之中的佳作，那就
是1956 年库尔特?哥德尔关于不完备定理的颠覆性探索。他深刻地证明了，不论我们选取怎样的公理体系，也不论我们从公理体系出发进行多么深入的研究，总存在一些数学永远没法回答的问题。从那一刻起，数学再一次进化了——数学家开始进一步努力，不断地探求这门学科的局限性，试图界定人类认知的边界究竟在何处。

数学是人类智慧的结晶，是科学实践中的强有力工具。它与我们的生活息息相关，同时伴随着人类文明的发展而不断进化。21世纪的数学已经演变成一种抽象的艺术形式，具有其独特的内在审美价值。本书精选了全球十几位杰出科学家的研究成果，从纯数学理论的研究前沿，到数学与生命、物理及人类文化的关系，再到数学所存在的固有局限性，展示了现当代的伟大数学成就。本书既适合学生拓展视野、增加学习兴趣，又适合教师作为教学参考书。广大的数学爱好者也能从中获益。

《环球科学》杂志是《科学美国人》中文版，是国内发行量、影响力很大的科学杂志之一，主要报道生物、物理、天文、医学、地理、环境、能源等所有科学领域的新知识、新进展和新动向。《科学美国人》是全球知名科技媒体，全球科学家智慧与见解的分享之地。创刊170多年来，始终站在科技最前沿，专注于科技的前瞻报道与深度解读。迄今为止，先后已有100多位诺贝尔奖得主和数千科技精英为其撰稿，以通俗易懂的方式向公众传播前沿科技进展。

前言 跨越千年的数学
第1 章 数学前沿
拯救宇宙中最宏伟的定理 002
空间的形状 017
N 维球堆积问题 037
第2 章 数学与生命
计算生命起源 044
贝壳上的数学规则 050
免疫系统的记忆缺陷 059
破解大脑的密码 073
第3 章 数学与物理
广义相对论背后的故事 078
古老数系助力弦论 094
谁保护了墨西哥湾 109
新数学发现新粒子？ 119
第4 章 数学与人类文化
几何学与选区的不公正划分 136
用数学破解密码 150
数学创造艺术 170
第5 章 数学的极限
哥德尔证明 180
推理的极限 214
不可解的物理问题源于数学 233

数学是人类智慧的结晶，是科学实践中的强有力工具。它与我们的生活息息相关，同时伴随着人类文明的发展而不断进化。21世纪的数学已经演变成一种抽象的艺术形式，具有其独特的内在审美价值。本书精选了全球十几位杰出科学家的研究成果，从纯数学理论的研究前沿，到数学与生命、物理及人类文化的关系，再到数学所存在的固有局限性，展示了现当代的伟大数学成就。本书既适合学生拓展视野、增加学习兴趣，又适合教师作为教学参考书。广大的数学爱好者也能从中获益。

《环球科学》杂志是《科学美国人》中文版，是国内发行量、影响力很大的科学杂志之一，主要报道生物、物理、天文、医学、地理、环境、能源等所有科学领域的新知识、新进展和新动向。《科学美国人》是全球知名科技媒体，全球科学家智慧与见解的分享之地。创刊170多年来，始终站在科技最前沿，专注于科技的前瞻报道与深度解读。迄今为止，先后已有100多位诺贝尔奖得主和数千科技精英为其撰稿，以通俗易懂的方式向公众传播前沿科技进展。