几何原本

《几何原本》是现代数学的基础，大约成书于公元前300年。被称为有史以来最为成功的教科书。
《几何原本》全书共13卷，1-6卷的主要讲平面几何，7-8卷主要阐述数论，10卷讲不可公度线段，11-13卷主要讨论立体几何。19世纪之前，如果说有一门学科的知识一直被当作“真理”的完美典范的话，那它就是欧几里得几何。它被普遍作为一种绝对精确、永远有效的推理结构。
后世的许多伟人都称自己受到《几何原本》的巨大影响。
牛顿的《自然哲学之数学原理》写作结构完全仿造《几何原本》。爱因斯坦曾言：“第一次看到《几何原本》这本书就惊为天人。”徐光启首次将《几何原本》翻译为中文时，盛赞“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”

欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊数学家，被称为“几何学之父”。
译者简介：
程晓亮，吉林师范大学教授，主要从事多复变与复几何、数学教育研究，已出版大学教材和学术译著多部。
凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院教授，知名翻译家，已出版译著《几何原本》《阿基米德经典著作集》《圆锥曲线论》《世界的和谐》等多部。
车明刚，吉林师范大学副教授，主要从事奇点理论研究和本科生教学工作。

弁言 
导读
第一卷 平面几何基础 /1
第二卷 矩形的几何学 , 几何代数基础 /33
第 三卷 圆的几何学 /47
第四卷 圆的内接与外切三角形及正多边形 /75
第 五卷 成比例量的 一 般理论 /91
第六卷 相似图形的平面几何学 /113
第 七卷 初等数论 /143
第 八卷 连比例中的数 /169
第 九卷 连比例中的数;奇偶数与完全数理论 /191
第 十卷 不可公度线段 /213
第 十 一卷 立体几何基础 /317
第 十二卷 面积与体积;欧多克斯穷举法 /351
第 十三卷 柏拉图多面体 /379
译后记 /405

《几何原本》是现代数学的基础，大约成书于公元前300年。被称为有史以来最为成功的教科书。
《几何原本》全书共13卷，1-6卷的主要讲平面几何，7-8卷主要阐述数论，10卷讲不可公度线段，11-13卷主要讨论立体几何。19世纪之前，如果说有一门学科的知识一直被当作“真理”的完美典范的话，那它就是欧几里得几何。它被普遍作为一种绝对精确、永远有效的推理结构。
后世的许多伟人都称自己受到《几何原本》的巨大影响。
牛顿的《自然哲学之数学原理》写作结构完全仿造《几何原本》。爱因斯坦曾言：“第一次看到《几何原本》这本书就惊为天人。”徐光启首次将《几何原本》翻译为中文时，盛赞“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”

欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊数学家，被称为“几何学之父”。
译者简介：
程晓亮，吉林师范大学教授，主要从事多复变与复几何、数学教育研究，已出版大学教材和学术译著多部。
凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院教授，知名翻译家，已出版译著《几何原本》《阿基米德经典著作集》《圆锥曲线论》《世界的和谐》等多部。
车明刚，吉林师范大学副教授，主要从事奇点理论研究和本科生教学工作。

导 读

凌复华

（上海交通大学 、美国史蒂文斯理工学院 教授）

一 、欧几里得与《几何原本》的传说

《几何原本》的作者欧几里得 ,可以说是历史上最为人知的数学家之 一 ,他的名字早  就成为经典几何学 的 代 名 词 。但 是 , 与 之 形 成 巨 大 反 差 的 是 ,他 的 生 平 却 最 不 为 人 知 。

下面 ,我们以几个 “数字 ”为线索 ,看看与他有关的史料和有一定可信度的传说 。

一 :  “一 ”指的是 ,《几何原本》是有史以来最成功 、发行量最大 、最有影响力的 一 部教

科书 。

二 :  “二 ”指的是 “两段传说 ”。第一个传说 ,公元 5世纪 ,有 一 位希腊数学家 ,名字叫 普罗克洛斯(Proclus) ,他是新柏拉图学派的代表人物 , 曾为欧几里得《几何原本》做过注 解 。据普罗克洛斯记载 , 当时的埃及托勒密王曾经问欧几里得 , 除了他的《几何原本》之外 ,还有没有其他学习几何的捷径 。 欧几里得回答说 : “几何无王者之路 。”意思是说 ,在几何学里 ,没有专为国王铺设的大道 。这句话后来成为传诵千古的箴言 。

第二个传说 ,公元 6世纪时的一位叫斯托贝乌斯的数学家 ,记述了另一则故事 。一个学生才开始学第一个命题 ,就问欧几里得 : “老师 ,我学了几何学之后将得到些什么?” 欧几里得想了想 ,转头对助手说 :“给他三个钱币 ,让他走人 , 因为他想在学习几何学中获   取实利 。”的确 , 当时学习几何学确实不能立竿见影给人带来实际利益 。但是,我们现在知道 ,几何学后来对科学大厦的建立起到了巨大的作用 。

三 :  “三 ”指的是 “三个史实 ”。学术界一般认为 , 以下这三个史实是可信的 。第一,欧 几里得出生在雅典 ,并曾在柏拉图的 “学园 ”学习 。第二 , 欧几里得于公元前 300年左右 活跃于埃及亚历山大城 ,很可能是在亚历山大图书馆教授数学 。第三 , 欧几里得大约生活于公元前 330年至前 275年 ,大约活了 55岁 。

四 :  “四 ”指的是《几何原本》一 书实际上有 “四位作者 ”。除了欧几里得之外 ,其他三位分别是毕 达 哥 拉 斯(Pythagoras) , 欧 多 克 斯(Eudoxus ofCnidus) , 特 埃 特 图 斯(The-aetetus ofAthens) 。

《几何原本》一共十三卷 。现在学术界普遍认为 ,这十三卷并不都是欧几里得 一个人的成果 ,书中大部分的内容直接取材于他之前的其他数学家 。一般认为 ,第一卷至第三卷, 以及第七卷至第九卷的许多内容 , 出自毕达哥拉斯学派 ; 这个学派认为 , “数”是万物本原 ,最为人所知的成就是毕达哥拉斯定理 ,在我国称之为勾股定理 ,这在《几何原本》第

一卷中就有明确表述 。

《几何原本》第五卷中的比例理论和第十卷中的穷举法 , 出自欧多克斯 。 欧多克斯与

柏拉图是同时代人 , 曾求学于柏拉图学园 ,之后返校执教 。

《几何原本》第十卷和第十三卷 , 出自特埃特图斯 ;他是柏拉图学园的一位数学家 ,对

柏拉图的影响很大 ,柏拉图曾将他作为《对话录》的标题人物和讨论对象 。

当然 ,在《几何原本》中 ,欧几里得本人也有不少精彩手笔 , 如用几何图形 ,寥寥数笔就证明了勾股定理 ,证明了不存在最大素数的欧几里得定理 ,给出因式分解定理 ,等等 。

一千 :  “一千 ”指的是《几何原本》的各种版本 , 总数不下 “一 千种 ”。《几何原本》的原 稿早已失传 ,在很长时间里 ,最流行的是赛翁(Theon) 的希腊语修订本 ,直到 1808年 ,在 梵蒂冈发现了更早的手抄本 。海贝格(J. L. Heiberg) 根据这个手抄本于 1883— 1888年编译的希腊语版本 ,这也是当今学界公认的权威版本 。

在欧洲的中世纪黑暗年代 ,希腊文明由阿拉伯人传承 。《几何原本》的一个阿拉伯 语译本出现于公元 9世纪 。 1120年左右出现转译自阿拉伯语的第一个拉丁语译本 ,它于1482年在威尼斯首次印刷出版 。 1505年 ,译自赛翁希腊语文本的拉丁语译本 ,也在威尼 斯印刷出版 。《几何原本》最早的完整英语译本 , 出现于1570年 ; 而最流行的英语译本 ,是 1908年和 1926年出版的希思(T. L. Heath) 的注释本 。

《几何原本》的汉语翻译其实也开始得很早 。 1607年 , 由天主教耶稣会传教士意大利 人利玛窦和我国明代科学家徐光启合译出版了前 6卷 ,但直到 250年以后的 1857年,才由英国的伟烈亚力和中国科学家李善兰译出后 9卷 ,共出版 15卷 。不过,后两卷现在一般认为是后人添加进去的 ,此后的版本不再收入。明清两朝的这两个汉译本都是文言文,那时的术语和现在也不一样 。难以想象的是 ,此后 130年间 ,《几何原本》新的汉译本 竟然又是空白 ,直到 1990年才出版了兰纪正 、朱恩宽的现代汉语译本 。 近年来又出现了十余种汉译本 ,但良莠不齐 ,总的说来并未见有什么超越 。从古代希腊语手抄本到阿拉伯语和拉丁语译文的手抄本 ,再到近现代不同语言译本的印刷版本 ,《几何原本》各种版本总数不下一千种 。

两千三百 :  “两千三百 ”指的是《几何原本》成书于大约 2300年前 ,这本书的面世起到了承上启下的作用 。所谓 “承上 ”,指的是欧几里得总结了在他以前古希腊几何学中的所有重要成果 ,如上面 提 到 的 毕 达 哥 拉 斯 、欧 多 克 斯 、特 埃 特 图 斯 , 还 有 希 波 克 拉 底( Hip- pocrates of Chios) 和泰乌迪乌斯(Theudius) 。所谓“启下 ”,是指《几何原本》对世界数学的深远影响 。它直接影响了其后阿基米德(Archimedes) 和阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga) 分别开创的计算几何学和形式与状态几何学 ,古典几何学在那时已经成熟 。

现在常把古典几何学称为欧几里得几何学 ,简称欧氏几何 。 近代以来发展出来的解 析几何 、罗巴切夫斯基几何(简称罗氏几何) 、黎曼几何等 ,也都可以溯源于此 。许多伟人如开普勒 、牛顿 、爱因斯坦等 ,都称自己受到《几何原本》的极大影响 。