万物简介：数字是什么

数字贯穿了整个人类文明，可谓万物皆数。

从结绳记事开始，数字逐渐占领了人类生活的各个角落。数学是一切自然科学研究的基石。古往今来，声名赫赫的科学家们不断拓展数学的边界，试图从抽象运算中推导出真实世界的原理。

在本书中，彼得·希金斯通过讲解整数、分数、实数、复数等关键概念及其运算演变，为我们徐徐揭开数字世界的神秘面纱。翻开本书，重新认识数字中蕴含的无限可能。

数字贯穿了整个人类文明，可谓万物皆数。

从结绳记事开始，数字逐渐占领了人类生活的各个角落。数学是一切自然科学研究的基石。古往今来，声名赫赫的科学家们不断拓展数学的边界，试图从抽象运算中推导出真实世界的原理。

在本书中，彼得·希金斯通过讲解整数、分数、实数、复数等关键概念及其运算演变，为我们徐徐揭开数字世界的神秘面纱。翻开本书，重新认识数字中蕴含的无限可能。

[英]彼得·希金斯（Peter M. Higgins）

英国埃塞克斯大学数学科学系主任，代数学家，圆盘数独的发明者，著有《给好奇者的数学书》《网、谜题和邮差》《想象力的数学书》等畅销书，部分著作已被翻译成意大利语、西班牙语、日语、韩语等多种语言。

01 如何不去考虑数

02 永无穷尽的素数

03 完美的和不那么完美的数

04 密码学：素数的秘密生活

05 计数的数

06 数之冰山的水下部分

07 向无穷和更远出发！

08 并非我们熟知的数

名词对照

附英文原文

数字贯穿了整个人类文明，可谓万物皆数。

从结绳记事开始，数字逐渐占领了人类生活的各个角落。数学是一切自然科学研究的基石。古往今来，声名赫赫的科学家们不断拓展数学的边界，试图从抽象运算中推导出真实世界的原理。

在本书中，彼得·希金斯通过讲解整数、分数、实数、复数等关键概念及其运算演变，为我们徐徐揭开数字世界的神秘面纱。翻开本书，重新认识数字中蕴含的无限可能。

[英]彼得·希金斯（Peter M. Higgins）

英国埃塞克斯大学数学科学系主任，代数学家，圆盘数独的发明者，著有《给好奇者的数学书》《网、谜题和邮差》《想象力的数学书》等畅销书，部分著作已被翻译成意大利语、西班牙语、日语、韩语等多种语言。

密码学：素数的秘密生活

密码学便是关于密码（cipher，机密的代码）的学问。让我向你介绍一些虚拟角色吧，他们经常出现在密码学所考虑的各类情境中。我们设想爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）想互相通信，但不想让窃听者伊芙（Eve）听见。我们也许会本能地同情爱丽丝和鲍勃，而将伊芙想象成坏人。但是这可能与真相相反，伊芙或许代表了正义的警方，努力保护着我们免受鲍勃和爱丽丝的邪恶计划的伤害。

无论参与者的道德立场如何，爱丽丝和鲍勃都可以运用一个古老的方法，将伊芙排除在对话内容之外，哪怕伊芙截取了他们之间传递的信息。方法就是用密钥（cipher key）来加密数据，而这个密钥只有爱丽丝和鲍勃自己知道。他们可以预定在一个安全的环境会面，交换一个秘密数字（比方说57），然后各自回家。当时机到来时，爱丽丝想要发送一条信息给鲍勃。这里为了叙述方便，我们假设信息可以用一个1~9 之间的数字来表示。在那个重大的日子，爱丽丝想将信息“8”发给鲍勃。她取出信息，加入秘密数字。也就是说，她通过加上57 把真实的数值掩藏了起来，然后将信息8＋57＝65 通过一个未经保护的渠道发给鲍勃。鲍勃收到这条信息，减去秘密数字，从而获取爱丽丝的明文65－57＝8。

不过，不怀好意的伊芙很清楚这两个人在干些什么，并且她也确实截获了加密过的信息65。但是她能对它做什么呢？她可能像我们一样，知道爱丽丝发送给鲍勃九种可能的信息1，2，3，…，9中的一个，也知道她通过将信息加上一个数进行了加密，这个加密数（enciphering number）一定在65－9＝56 到65－1＝64之间。然而，因为她不知道这九个数字中的哪一个被使用了（她被排除在这个秘密之外），她没法进一步搞清楚爱丽丝给鲍勃发送的明文信息。九种信息中的每一种都有相同的可能性。她知道的全部就是爱丽丝给鲍勃发送了一条信息，但是不知道信息的内容。

看起来爱丽丝和鲍勃对伊芙已经防得滴水不漏，他们似乎可以使用这个奇妙的数57 来掩藏所有想说的内容，从而不受限制地通信。但是，实际并非如此。他们好换一换这个数，实际上每次都使用一个新的密码会更好，不然这套系统就会开始泄露线索给伊芙。比如说，在未来某一周爱丽丝想向鲍勃传送一条相同的信息8。每件事都会与之前一样，再一次伊芙从电波中截获了神秘的数65，但这次会让她读出一些东西。伊芙会知道，无论这条信息是什么，这和爱丽丝周发给鲍勃的是一样的—而这类事情正是爱丽丝和鲍勃所不希望伊芙知道的。

当然，对于爱丽丝和鲍勃来说，这看起来也不是什么大问题。当他们次见面“互换密钥”时，爱丽丝可以不只是约定一个密码，而是提供给鲍勃一张长长的有顺序的列表，里面有上千个密码。他们可以依次使用这些密码，从而避免了在公开通信中出现有意义重复的可能性。

我们确实也是这样操作的。这种密码系统在业内被称为一次性密码本（one-time pad）。发送者和接收者从密码本中找到一个一次性的数，用以掩藏他们的明文。当信息被发送和解密后，密码本中的那一页会被发送者和接收者一起撕掉。一次性密码本代表了一种彻底安全的系统，因为在公共领域传输的不安全文本不含有任何关于明文内容的信息。为了解码，拦截者需要拿到密码本才能获得加密/解密的钥匙。

《万物简介》既值得阅读又极具吸引力……从中可以找到很多乐趣……“给出事实”是好的科普作品的基本要求之一……它们之所以吸引我们，是因为世界陌生而辽阔，因为目之所及处处让人和充满好奇，从黑暗中闪烁的萤火虫到奥登对叶芝的挽歌，都是我们想了解的存在。

——《纽约客》杂志

《万物简介》之所以吸引我们，是因为世界辽阔而陌生，是因为世界陌生而辽阔，因为目之所及——从黑暗中闪烁的萤火到奥登对叶芝的挽歌——处处让人和充满好奇，充满了我们想了解的存在。 并不是每个人都渴望成为一个博学者，但是每个渴望阅读的人都是一个好学者、一个热爱知识的人。他们眼中的知识既动人有趣、又令人舒适快乐，引起惊叹和敬畏。

——《纽约客》杂志

我有一大堆的《万物简介》，因为本书一贯出色，它们是尝试新学科的一种理想的方式，而且价格相对其他科普读物非常便宜，读了可以帮你决定是否要买更昂贵的这类书籍。各个领域的作者在本系列百家争鸣，均有见地，读来发人深省。

——马克·格瑞纳  《英国奇异事件》杂志

我非常喜欢《万物简介》系列，事实上每个对思想观念和科学历史感兴趣的人都应该读一读。这套书设法跨越知识的门槛，使复杂的问题易于理解而又不影响学习的质量。《万物简介》系列主题丰富，这对于任何想了解人类思想发展的人来说都是不能错过的宝书，尤其是那些渴望了解更多，但不知从何处入手的人们，《万物简介》是必去的门户。

——克莱尔·福克斯（Claire Fox）思想研究所所长

要是所有出版物都达到这样的高度就好了，优秀的价格，精美的设计和制作，严谨的内容和诱人的主题，就像《万物简介》一样。

——《书商》

专业严谨但绝不平淡，《万物简介》是思考者的维基百科。

——《独立报》

我太喜欢《万物简介》系列了。它制作精良，作者会写，话题有趣。是一个精湛的科普系列，所有人都可以读。

——Grrl Scientist  《卫报》

各种听起来让人头大的学科，需要该领域的专家们针对它们进行一系列引人入胜的介绍。看完就懂了您需要知道的一切知识。

——《泰晤士报》

一个绝妙的主题，包在一个活泼、小巧的外观里……时尚的设计……非常适合在口袋里闲逛。

——丽莎·贾丁（Lisa Jardine），《泰晤士报》