张量分析

《研究生教学用书》序“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。”今天，我国的教育正处在一个大发展的崭新时期，而高等教育即将跨入“大众化”的阶段，蓬蓬勃勃，生机无限。在高等教育中，研究生教育的发展尤为迅速。在盛夏已临，面对池塘中亭亭玉立的荷花，风来舞举的莲叶，我深深感到，我国研究生教育就似夏季映日的红莲，别样多姿。科教兴国，教育先行。教育在社会主义现代化建设中处于优先发展的战略地位。我们可以清楚看到，高等教育不仅被赋予重大的历史任务，而且明确提出，要培养一大批拔尖创新人才。不言而喻，培养一大批拔尖创新人才的历史任务主要落在研究生教育肩上。“百年大计，教育为本；国家兴亡，人才为基。”国家之间的激烈竞争，在今天，归根结底，*关键的就是高级专门人才，特别是拔尖创新人才的竞争。由此观之，研究生教育的任务可谓重矣!重如泰山!前事不忘，后事之师。历史经验已一而再、再而三地证明：一个国家的富强，一个民族的繁荣，*根本的是要依靠自己，要以“自力更生”为主。《国际歌》讲得十分深刻，世界上从来就没有什么救世主，只有依靠自己救自己。寄希望于别人，期美好于外力，只能是一种幼稚的幻想。内因是发展的决定性的因素。当然，我们决不应该也决不可能采取“闭关锁国”、自我封闭、故步自封的方式来谋求发展，重犯历史错误。外因始终是发展的必要条件。正因为如此，我们清醒看到了，“自助者人助”，只有“自信、自尊、自主、自强”，只有独立自主，自强不息，走以“自力更生”为主的发展道路，才有可能在向世界开放中，争取到更多的朋友，争取到更多的支持，充分利用好外部的各种有利条件，来扎扎实实地而又尽可能快地发展自己。这一切的关键就在于，我们要有数量与质量足够的高级专门人才，特别是拔尖创新人才。何况，在科技高速发展与高度发达，而知识经济已初见端倪的今天，更加如此。人才，高级专门人才，拔尖创新人才，是我们一切事业发展的基础。基础不牢，地动山摇；基础坚牢，大厦凌霄；基础不固，木凋树枯；基础深固，硕茂葱绿!“工欲善其事，必先利其器。”自古凡事皆然，教育也不例外。教学用书是“传道授业解惑”培育人才的基本条件之一。“巧妇难为无米之炊。”特别是在今天，学科的交叉及其发展越来越多及越快，人才的知识基础及其要求越来越广及越高，因此，我一贯赞成与支持出版“研究生教学用书”，供研究生自己主动地选用。早在1990年，本套用书中的本即《机械工程测试·信息·信号分析》出版时，我就为此书写了个“代序”，其中提出：一个研究生应该博览群书，博采百家，思路开阔，有所创见。但这不等于他在一切方面均能如此，有所不为才能有所为。如果一个研究生的主要兴趣与工作不在某一特定方面，他也可选择一本有关这一特定方面的书作为了解与学习这方面知识的参考；如果一个研究生的主要兴趣与工作在这一特定方面，他更应选择一本有关的书作为主要的学习用书，寻觅主要学习线索，并缘此展开，博览群书。这就是我赞成要编写系列的“研究生教学用书”的原因。今天，我仍然如此来看。 还应提及一点，在教育界有人讲，要教学生“做中学”，这有道理；但须补充一句，“学中做”。既要在实践中学习，又要在学习中实践，学习与实践紧密结合，方为全面；重要的是，结合的关键在于引导学生思考，学生积极主动思考。当然，学生的层次不同，结合的方式与程度就应不同，思考的深度也应不同。对研究生特别是对博士研究生，就必须是而且也应该是“研中学，学中研”，在研究这一实践中，开动脑筋，努力学习，在学习这一过程中，开动脑筋，努力研究；甚至可以讲，研与学通过思考就是一回事情了。正因为如此，“研究生教学用书”就大有英雄用武之地，供学习之用，供研究之用，供思考之用。在此，还应进一步讲明一点。作为一个研究生，来读“研究生教学用书”中的某书或其他有关的书，有的书要精读，有的书可泛读。记住了书上的知识，明白了书上的知识，当然重要；如果能照着用，当然更重要。因为知识是基础。有知识不一定有力量，没有知识就一定没有力量，千万千万不要轻视知识。对研究生特别是博士研究生而言，*为重要的还不是知识本身这个形而下，而是以知识作为基础，努力通过某种实践，同时深入独立思考而体悟到的形而上，即《老子》所讲的不可道的“常道”，即思维能力的提高，即精神境界的升华。《周易·系辞》讲了：“形而上谓之道，形而下谓之器。”我们的研究生要有器，要有具体的知识，要读书，这是基础；但更要有“道”，更要一般，要体悟出的形而上。《庄子·天道》讲得多么好：“书不过语。语之所贵者意也，意有所随。意之所随者，不可以言传也。”这个“意”，就是孔子所讲的“一以贯之”的“一”，就是“道”，就是形而上。它比语、比书，重要多了。要能体悟出形而上，一定要有足够数量的知识作为必不可缺的基础，一定要在读书去获得知识时，整体地读，重点地读，反复地读；整体地想，重点地想，反复地想。如同韩愈在《进学解》中所讲的那样，能“提其要”，“钩其玄”，以达到南宋张孝祥所讲的“悠然心会，妙处难与君说”的体悟，化知识为己之素质，为“活水源头”。这样，就可驾驭知识，发展知识，创新知识，而不是为知识所驾驭，为知识所奴役，成为计算机的存储装置。这套“研究生教学用书”从本于1990年问世至今，在蓬勃发展中已形成了一定规模。“逝者如斯夫，不舍昼夜。”它们中间，有的获得了*、省部级教材奖、图书奖，有的为*列入向全国推荐的研究生教材。采用此书的一些兄弟院校教师纷纷来信，称赞此书为研究生培养与学科建设作出了贡献。我们深深感激这些鼓励，“中心藏之，何日忘之?!”没有读者与专家的关爱，就没有我们“研究生教学用书”的发展。唐代大文豪李白讲得十分正确：“人非尧舜，谁能尽善?”我始终认为，金无足赤，物无足纯，人无完人，文无完文，书无完书。“完”全了，就没有发展了，也就“完”蛋了。这套“研究生教学用书”更不会例外。这套书如何?某本书如何?这样的或那样的错误、不妥、疏忽或不足，必然会有。但是，我们又必须积极、及时、认真而不断地加以改进，与时俱进，奋发前进。我们衷心希望与真挚感谢读者与专家不吝指教，及时批评。当局者迷，兼听则明；“嘤其鸣矣，求其友声。”这就是我们肺腑之言。当然，在这里，还应该深深感谢“研究生教学用书”的作者、审阅者、组织者(华中科技大学研究生院的有关领导和工作人员)与出版者(华中科技大学出版社的编辑、校对及其全体同志)；深深感谢对“研究生教学用书”的一切关心者与支持者，没有他们，就决不会有今天的“研究生教学用书”。我们真挚祝愿，在我们举国上下，万众一心，深入贯彻落实科学发展观，努力全面建设小康社会，加速推进社会主义现代化，为实现中华民族伟大复兴，“芙蓉国里尽朝晖”这一壮丽事业中，让我们共同努力，为培养数以千万计高级专门人才，特别是一大批拔尖创新人才，完成历史赋予研究生教育的重大任务而作出应有的贡献。谨为之序。中国科学院院士华中科技大学学术委员会主任杨叔子于华中科技大学前言张量的概念*早出现在高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托弗(Christoffel)等人建立的微分几何学中，自从理斯（Ricci）和他的学生利维西维塔(LeveCivite)发表他们的专著《微分法及其应用》(1901年)以后，张量演算或微分学就成为了数学的一个分支.1916年，爱因斯坦(Einstein)用黎曼几何和张量分析作为工具来阐述他的广义相对论，极大地推动了微分几何和张量分析的发展.张量这个名词源于力学中的弹性理论，与其他学科一样，张量分析的生命力和发展动力来自于应用，在应用中发展和丰富张量分析.目前张量分析有两个重要的应用领域：一个是微分几何学，它直接为抽象数学服务.另一个是连续介质力学.张量分析能精确地完备地描述连续介质的力学特性和运动规律.在其他应用物理学科中，例如电磁场理论中，张量分析也起到独特的作用.本书除了对张量理论进行严格的论证和推导外，还着重介绍张量分析在力学中的应用.力学研究物体的机械运动，力学现象一般用坐标系去描述.然而力学的许多定律，如同其他物理学定律一样，是与坐标系的选取无关的.本书将用不依赖于坐标系选择的分析方法， 即张量分析，研究各类力学现象.用张量分析法导出的力学张量方程，能精确地描述力学现象的本质.可以这样说，张量分析是深化现代连续介质力学研究的*有力的数学工具.当然，力学运动是机械运动，用坐标系去描述力学运动，将使这种运动具体化、可视化.力学的普遍定律在特定的坐标系中应该有具体的数学形式，在不同坐标系中这些数学形式应该有内在的联系.力学方程的坐标转换关系将是本书张量分析的主要内容.张量是矢量的推广，张量分析也是矢量分析的推广，但张量分析远比矢量分析复杂.当初笔者接触张量分析时，对结构复杂、眼花缭乱的张量公式望而生畏.后来通过深入研究，认识到张量的许多性质、许多运算法则都与基矢有关.张量的分析*终变为基矢的分析，张量的基矢分析清楚了，张量的性质也就清楚了.本书将抓住张量的核心——基矢进行分析.基矢分析将使张量分析具体化，简单化.本书的编写力求深入浅出，只要具备数学分析、矢量运算和矩阵代数的基础知识，就能学好本书的张量分析方法.张量分析为连续介质力学(弹性力学、流体力学)提供严谨的理论基础.张量分析的学习对许多力学课程以及其他应用物理课程的学习将起到事半功倍的作用.近些年来，国内已经出版了好几本张量分析的书籍，其中有些书写得很好，很有特色，很值得借鉴.但大多偏重于理论，偏重于抽象数学，适用于教材的著作仍很少.本书愿在张量分析的教材建设方面作新的尝试.本书是根据作者为研究生讲授的张量分析这门课程的讲义编写而成的.全书分为五章.第1章介绍矢量及其运算，并将矢量引申至张量，介绍张量的概念和张量的代数运算.第2章介绍二阶张量的一般性质.第3章介绍张量分析的核心问题——张量微积分，即张量场论.在这一章中我们将大量展示基矢的微分分析法，将张量的微积分转化为基矢的微积分.张量的微分与标量的微分相比，具有很多独特的性质和规律，对此我们都会作详细的介绍.张量的积分多为体积分和面积分，其处理方法与数学分析、场论没有太大的区别，因此我们对张量积分法只作简单的提及.第4章介绍张量的时间变化率，即随体导数，这章的内容可直接应用于连续介质力学.第5章介绍曲面上的张量微分问题.为了便于读者学好张量分析，大多数的张量公式都有详细且严格的数学推导，书中的例题为读者掌握张量理论提供范例.张量分析属于数学学科的一个分支，学习张量分析必须具备勤奋的习题训练，耐心地做完各章习题，定能受益良多.特别要指出的是，书末的习题解答提供解题的方法， 鼓舞读者解答复杂问题的勇气，也为他们完善自己张量分析的解题技巧提供实践平台.在编写本书的过程中，笔者参阅了国内一些专著和教材，从中汲取学术精华，在此特向相关学者致谢.本书的出版得到了华中科技大学航空航天学院的资助.由于笔者学识有限，书中可能出现错讹，敬请指教.作者2022年6月于华中科技大学

本书介绍张量的概念、张量的性质，以基矢分析为主导，对张量的微分积分，场论性质（梯度、散度、旋度），曲面张量的特性，以及连续介质力学方面的张量微积分都作了作详尽的分析。本书分为五章，内容为：章 矢量和张量，第二章 二阶张量，第三章 张量分析，第四章 张量对时间的导数，第五章 曲面张量 。全书系统性强，概念清晰，推理严谨。书末习题简解介绍了许多张量分析和运算的规律和技巧，掌握这些规律和技巧，将使繁杂的张量运算变得简单，使抽象、难懂的张量概念变得清晰。

1981年华中工学院流体力学研究生毕业。毕业后在华中工学院（华中科技大学）力学系任教。主攻实验流体力学、工业空气动力学。曾任全国风工程学会委员。承担过建筑物风振实验、钝体绕流漩涡脱落等研究课题。长期从事教学工作，编写出版若干教材，主要有：高教版《工程流体力学》，华科大版《工程流体力学》、《水力学简明教程》、《流体力学水力学题解》，90年代编写讲义《张量分析》（至今仍在研究生课程中使用）。

第1章矢量和张量(1)

1.1矢量及其代数运算(1)

1.1.1矢量和(2)

1.1.2矢量的点积(3)

1.1.3矢量的叉积(3)

1.1.4矢量的混合积(4)

1.1.5矢量的三重叉积(5)

1.2微分算子(6)

1.3坐标系及基矢(11)

1.3.1直角坐标系(11)

1.3.2斜直线坐标系(13)

1.3.3曲线坐标系(15)

1.4坐标变换(20)

1.4.1坐标基矢的坐标变换关系(20)

1.4.2协变变换系数和逆变变换系数(21)

1.4.3矢量的分量的变换关系(22)

1.5张量(22)

1.5.1一阶张量(23)

1.5.2二阶张量(23)

1.5.3n阶张量(23)

1.5.4并矢(24)

1.5.5张量的实体记法(24)

1.5.6张量分量的指标升降关系(25)

1.6度量张量(26)

1.7张量代数(28)

1.7.1张量的相等(28)

1.7.2张量的和(29)

1.7.3张量积(29)

1.7.4张量的缩并(29)

1.7.5张量的点积(30)

1.7.6张量的双点积(30)

1.7.7张量的转置(30)

1.7.8商定律(31)

1.8置换符号和置换张量(31)

习题1(36)

第2章二阶张量(38)

2.1二阶张量的描述(38)

2.1.1二阶张量的定义(38)

2.1.2二阶张量与线性变换(38)

2.1.3二阶张量的转置(39)

2.1.4二阶张量的行列式(39)

2.2应力张量(40)

2.3主应力和主应力方向(42)

2.4二阶张量的主值和主方向(43)

2.5对称张量(45)

2.6反对称张量(47)

2.7张量的幂及其特征值(51)

2.8正张量和正交张量(52)

2.9二阶张量的分解(55)

2.10应变张量(57)

2.11本构关系(62)

2.11.1线性本构关系(62)

2.11.2弹性力学的本构方程(62)

2.11.3流体力学的本构方程(64)

习题2(65)

第3章张量微积分(67)

3.1张量场函数(67)

3.2克里斯托弗符号(69)

3.2.1克里斯托弗符号(70)

3.2.2矢量的协变导数(71)

3.2.3克里斯托弗符号Γij,k和Γkij的性质(72)

3.3张量的协变导数(74)

3.4张量的梯度(77)

3.5张量的散度和旋度(79)

3.6积分公式(81)

3.6.1格林公式(82)

3.6.2斯托克斯公式(85)

3.7连续介质力学基本方程(87)

3.7.1运动方程(87)

3.7.2连续介质力学中的应变张量(88)

3.8非完整坐标系和张量的物理分量(91)

3.8.1物理坐标架(91)

3.8.2非完整坐标系(92)

3.8.3物理分量(94)

3.9正交坐标系(94)

3.10用物理分量表示的梯度、散度和旋度(96)

3.11用物理分量表示的弹性力学方程(98)

习题3(101)

第4章张量对时间的导数分(102)

4.1两种坐标系(102)

4.1.1拉格朗日坐标系(102)

4.1.2欧拉坐标系(103)

4.1.3质点的速度和随体导数的概念(104)

4.2拉格朗日坐标中基矢的随体导数(105)

4.3欧拉坐标中基矢的随体导数(108)

4.4拉格朗日坐标中张量的随体导数(108)

4.5欧拉坐标中张量的随体导数(110)

4.6欧拉坐标中用物理分量表示的加速度(113)

习题4(117)

第5章曲面微分法(119)

5.1曲面度量(119)

5.2空间曲线的基本公式(121)

5.3曲面上的曲线弧长和曲面面积(123)

5.4曲面的曲率(124)

5.5黎曼克里斯托弗张量(128)

5.5.1张量方程(128)

5.5.2欧几里德空间和黎曼空间(129)

5.5.3黎曼克里斯托弗张量(130)

5.5.4黎曼克里斯托弗张量定理(131)

5.6曲面上的黎曼克里斯托弗张量(134)

5.7曲面上的协变导数和梯度、散度、旋度(136)

习题5(141)

第6章习题解析(143)

参考文献(161) 

本书介绍张量的概念、张量的性质，以基矢分析为主导，对张量的微分积分，场论性质（梯度、散度、旋度），曲面张量的特性，以及连续介质力学方面的张量微积分都作了作详尽的分析。本书分为五章，内容为：章 矢量和张量，第二章 二阶张量，第三章 张量分析，第四章 张量对时间的导数，第五章 曲面张量 。全书系统性强，概念清晰，推理严谨。书末习题简解介绍了许多张量分析和运算的规律和技巧，掌握这些规律和技巧，将使繁杂的张量运算变得简单，使抽象、难懂的张量概念变得清晰。

1981年华中工学院流体力学研究生毕业。毕业后在华中工学院（华中科技大学）力学系任教。主攻实验流体力学、工业空气动力学。曾任全国风工程学会委员。承担过建筑物风振实验、钝体绕流漩涡脱落等研究课题。长期从事教学工作，编写出版若干教材，主要有：高教版《工程流体力学》，华科大版《工程流体力学》、《水力学简明教程》、《流体力学水力学题解》，90年代编写讲义《张量分析》（至今仍在研究生课程中使用）。