刘薰宇给孩子的55堂数学课(全3册)

《马先生谈算学》序言
这书居然写成、出版，我感到莫大的欣幸！
开始写它，远在一九三六年的冬季。从一九三七年一月起，陆续按月在《中学生》发表，中间只因为个人的私事，断过一二期。原来的计划，内容比较简略些，预定一九三七年，在《中学生》上登载完毕。
呵！于个人，于中国，都不能忘掉的这一九三七年！五月底六月初，妻突然患神经病，终日要人伴着。我于是充当她的看护，同时兼做三个孩子的保姆。七月初她渐渐地好起来了，肩头上的担子，也觉得轻了一些。
然而，抗战的炮，七月七日，在卢沟桥的天空响了起来。跟着，上海的空气，一天比一天紧张。一面，我察觉到抗战快要展开了，而一经展开，期限一定较长。另一面，妻的病虽渐好，要彻底治疗，惟有回到故乡。她和我离开故乡，都有二十多年，乡思，多少也是病源之一。——在这种情况下，我决定伴着她和我们的三个孩子，离开居住了十多年的上海，回到相别二十多年的故乡，贵阳。
八月十日，在十分紧张的空气中，我们上了直奔重庆的船。后来，才知道，它是载客离上海的后一只。从上海到重庆船要行十多天，原来还想在船上断续写这书。但一上船，就知道不行了。乘客虽不拥挤，然而要找一张台子写什么，却不可能。到汉口，八一三沪战的消息，已传到船上。—好！这是中国的出路！然而战争总是战争，每天都只有注意无线电传来的消息。
到了重庆，因为交通的阻碍，一时不能去贵阳，坐在旅馆中，也曾提笔续写过。但一想到《中学生》必然停刊，出版界必然遭受沉重的打击，就把笔放下。
回到贵阳后，一直不曾想到将它完成。直到一九三八年的冬季，正是武汉陷落的时期，丏尊兄写信给我，要我将它写完，说开明可以勉力出版。
这自然使我很兴奋，但这时我正准备到昆明，只好暂时放下。到昆明住定以后，想动笔，却无从下手了。已发表过的稿子，我没有保存，它的内容已有些模糊。这一来，才写信给丏尊兄，请他设法寄一份《中学生》刊发过的稿子来。约定稿子一到就动手。稿子寄出的回信，虽不久就收到，而稿子到我的手里，却已经是一九三九年的夏季，距暑假已很近了—决定在暑假中完成它。
暑假，回到贵阳，长长的三个月的时间，竟没有写一个字。原来，妻和孩子们，在一九三八年九月二十五日敌机袭贵阳后，已移往乡下。这时，家人八口，只住两小间平房。挤，固不必说；蚊虫、跳蚤，使你不能静坐到十分钟。
秋后又到昆明。昆明，很好，天气就很好。然而天天想着动手，天天都只是想着而已。在这期间，曾听到有的《中学生》读者，到开明分店来问，《马先生谈算学》出版了没有？有一次，分店的同人，还指着我向顾客说：“这就是马先生。”惹得哄堂大笑。从此，我感到已负了一笔债，非赶快偿还不可。
寒假开始，便下的决心，动起笔来。现在算是完成了，然而它能够这样完成，使我对于开明昆明分店的同人，非常感激！
，在这期间，昆明的米价、菜价，一切物价，都涨得惊人，不但涨，有时还买不到。寄食于分店的我，居然不分心在柴米上，坐食现成，于这稿子的完成关系实在不小。
其次，从去年十二月以来，昆明警报频繁，有十几次，都是写着写着，警报一响，便收在篮里，提着跑到荒野。提着，提着！不是我自己提，我自己一个笨重的身体，空着手走，已有点儿吃力了，还提什么？提，都是分店的吕元章、韦芝堃和杨炳炎三个人帮忙！虽然，事后想起来，这是徒劳，但他们的辛苦，我总觉得极可感谢！
这样小小的一点儿东西，经过三年多，而且有过不少的波折，今天居然完成了，我感到莫大的欣幸！
关于它的内容，我还想向读者很虔诚地说几句话。它有些像什么难题详解一类，然而对于这一类的书我一向是反对的。
这里面，固然收集了一百几十个题目加以解释，但我并不希望，有人单是为了找寻某一个题的算法来翻阅它。这也许会令人失望的。
我写这书的动机，是在增进学算学的人对于算学的趣味。对于学习算学的态度，思索问题的途径，以及探究题目间的关系和变化，我很用心地去选择和计划表出它们的方法。我希望，能够把这没有生命的算学问题注进一点儿活力。
用图解法直接来解决算术问题，这不但便于观察和思索，而且还可使算术更贴近实际。图解，本来已沟通了代数和几何，成为解析算学的骨干。所以若从算术起，就充分地运用它，我想，这不但对于进修算学中的其他部门有着不少的帮助，而且对于学习理工科，乃至于统计等，也是有益的。
我对于算学的态度，已散见于这书中，一面我认为人人应学，然而不是说人人都要做算学专家。一面我认为人人都能学，然而不是说人人都能成算学专家。
科学！科学！现在似乎已没一个知识分子不承认它的价值和需要了。然而对于科学，中等程度的算术、代数、几何、三角、解析几何以及初等微积分，实在是必不可少的基础。谨以此书献给真实爱好科学的青年朋友。
一九四〇年二月十九日于昆明万松草堂后院

《数学趣味》序言
我中学时代不欢喜数学，欢喜图画，常常为了图画而抛荒数学课。
看见某画理书上说：“学数学与学图画，头脑的用法相反，故长于数学者往往不善图画，长于图画者往往不善数学。”我得了这句话的辩护，便放心地抛荒数学课，仿佛数学越坏，图画会越好起来似的。现在回想觉得可笑又可惜，放弃了青年时代应修的一种功课。我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！
近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇相识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。每次想：假如从前有这样的数学书，也许我不会抛荒数学，因而不会相信那画理书上的话。
我曾鼓励薰宇续作，将来结集成书。现在书就将出版了，薰宇要我作序。
数学的书，叫我这从小抛荒数学的人作序，也是奇事。而我居然作了，更属异闻！序，似乎应该是对于全书的内容有所品评或阐发的，然而我的序没有，只表示我是每篇的爱读者而已。—唯其中“韩信点兵”一篇给我的回想很不好：这篇发表时，我正患眼疾，医生叮嘱我灯下不可看书，而我接到杂志，竟在灯下一口气读完了。次日眼睛很痛，又去看医生。
一九三三年耶稣诞节
子恺

致读者
我有一个怪癖—胡思乱想。闲来无事，独自一个人坐着，不用说，只是胡思乱想。就是吃饭、走路的当儿，仍然胡思乱想。甚至许多人在一起谈得兴会淋漓的时候，我也会突然默默地不顾一切地发呆。
我的胡思乱想也有一点儿奇怪，并非天南地北、海阔天空地毫无边际，只是由一个什么诱因一直线地连续下去，有时竟连续两三天，全在这条线上循环往复。
我胡思乱想的路不过两条：一条非数学的，一条数学的。我会想到一个没有鼻子的人，怎样生活下去；也会想到一个长着翅膀的人怎样在天空中翱翔，怎样快活或怎样倒霉。这些属于非数学的一类。自然说它们是文学的似乎更恰当些，但我的笔太笨了，不能将它们写成童话，所以不敢“掠美”用“文学的”这一个词。
数学的胡思乱想，占据我的时间差不多有三分之一以上。我是不喜欢孤独的，然而我的命运常常使我困在孤独里面。我有许多朋友，很奇怪的是，这些被我热心、诚敬称为朋友的人，没有一个把我登记在他的朋友录里。我不出去找人，永远不会有人光临到寒舍。我去找朋友时，总使他们心里不高兴。因为我怕孤寂，找到了朋友，就舍不得离开。我常常觉得这损人利己的勾当不是办法，于是鼓起勇气孤零零地坐在屋里，这时，陪伴我的大半是数学的胡思乱想。在生活上，遇到坎坷，走投无路，我总是读数学，或用数学的胡思乱想来使自己镇静。数学是我的朋友，是肯给我慰藉的朋友，然而我却没有想成数学家的野心。
我的数学的胡思乱想，站在数学的立场说，全是上天下地地跑野马。有时我想到极深奥的问题，有时我想的却只是小学生的问题。我走上电车、公共汽车，或火车，总要看那张车票的号头，将它来分因子，将各因子两两三三地乘乘除除。比如车票的号头是 6552，凭我的力量一眼就知道它含有一个因子 8 和一个因子 9，再看又知道还含有一个因子 7。八九七十二，7 乘 72 得 504，我便用 504 去除 6552 得到 13，它是个质数，分解因子的想法才就此停止。以后便用 12，24，14，28，56，26，39……一切 2，4，8，3，9，7，13 中两个数以上的乘积，去除 6552。这样的胡思乱想，使我忘掉同车没有朋友的寂寞。假如车票的号头是一个一眼望去就可知道的质数，这一次的乘车经历对我来说就很痛苦。
我怕一个人步行，走路得当心，不便胡思乱想，然而我在一个人走路的时候，一样怕寂寞，驱赶寂寞的方法便是数步数。无论分因子、数步数或胡思乱想到别的深深浅浅的问题，都只是把它当作排遣孤寂的方式，并不追求什么结果。我的住室在楼下，每次上下的梯子，总数过好几百次，但是若要问这梯子有几级，我还需去数了才回答得上来。
这本小册子里所结集的十来篇东西，有两个来源：一是被逼得无可奈何时的文债，一是胡思乱想的结果。本来，这些不成什么器皿的东西，将它们发表已属多事；发表过了，还要结集起来，成单行本，更是多事中的多事。既然知道这样，为什么还要自讨苦吃呢？这也有点儿小小的原因：自从发表过四五篇后，书店和我便常常接到一些爱读青年的信，一是要我多写，一是要我将它们结集起来出单行本。其中有两封使我感动，它们都是“一•二八”以后的。那信上说，他们在《中学生》上很喜欢读《数学讲话》，一直是保存起来的，因为他们住在闸北，“一•二八”逃难竟失去了，补也补不齐，望我出单行本给他们以便有机会再读。不过那时才只有五六篇，在量上未免单薄一些，所以拖延到现在才来报答这些喜欢它们的朋友的雅意。
至于写，我很抱歉，久已不动笔了，更说不到多。其原因是个人生活的忙碌。在忙碌中虽然一样地胡思乱想，但这胡思乱想的直线都很短，写不成什么东西。此后我希望能有更多胡思乱想的时间，写出一点儿东西。孤寂呢，因生活的忙碌不但没有减少，有时反而增加深度。无论如何只希望胡思乱想的直线，能有拉得较长的机会。因为这十来篇东西只是胡思乱想的结果，所以它们彼此之间没有较多的关联，不过有两点似乎是相同的：许多人以为数学是枯燥、繁杂、令人头痛、不切实用的学科，因而望而却步。打破这种观念，这是个共同的企图。
许多人以为学习数学，只要呆记书本上的法则、公式、定理等等，再将练习题做完，这就算全部掌握了。其实书本上的知识不但有限，而且也太固定了，我们所能遇见的更鲜活的材料不知有多少。将死板的方法用到这些活泼的材料上去，使它俩相得益彰，这是一条学习的正轨。学习不但要收集一些材料，还要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。比如说，鸡兔同笼这一类题，什么算术课本里都有，掌握它的算法固然重要，而学习怎样思索出那算法来更重要，不是吗？它的算法是从假设全体是鸡或兔起步的，知道步以后便容易了。对于这类题怎样才能想出这步的假设法来，便是思索的方法和问题。暗示处理材料和思索问题的方法，这是第二个共同的企图。自然，这小册子并不会完全达到这两个企图，这是我的力量的问题，深感抱歉！

本套给孩子的数学三书，分3册，共55篇文章，是数学大师刘薰宇写给中小学生的通俗数学文章，倡导在生活中学数学、在好玩中掌握知识。
刘薰宇的数学思想影响了杨振宁、谷超豪等一代又一代数学大家，至今仍闪烁着理性和智慧的光芒。
《马先生谈算学》以“马先生”的口吻，像一位幽默搞笑的老师陪在身旁，灵活有趣地给孩子讲数学。既让孩子掌握了数学算法的基本原理，也给了孩子解决现实生活问题的思路。用图解法解决100多道常见题型，让孩子学一道，就能会一类。四则运算，原来可以这样学！
《数学趣味》是让孩子和数学做朋友的一本数学书。它从生活中找到鲜活的题材，让课本上的法则、公式、定理活起来，激发孩子的学习兴趣。跟着大师学数学，原来数学并不可怕，数学可以不枯燥，每个孩子都可以爱上数学。
《数学的园地》对数学概念、原理进行有趣回顾与讲解，是一本初中生也能读懂的高等数学入门手册。本书系统介绍函数、连续、诱导函数、微分、积分和总集等概念，以及它们的基本原理和算法。初中生凭借本书提前预习高数，比别人更早一步掌握，就能比别人站上更高一级的台阶！ 

刘薰宇 （1896~1967）

我国现代数学教育家、数学家、出版家。
1928年留学法国，在巴黎大学研究数学。
1930年回国后，先后在暨南大学、大夏大学、同济大学、西南联大任教。
1949年后，任贵阳中学校长。
1950年调任人民教育出版社担任副总编辑。曾审定全部中小学的数学教材，并亲自参加编写。
    刘薰宇与夏丏尊、叶圣陶、丰子恺等人一起创办了《中学生》《新少年》等青少年期刊，发表了众多数学题材的趣味科普文章。作品有《马先生谈算学》《数学趣味》《数学的因式》等，一直都是中小学生学习数学的极佳辅导读物，成为几代人公认的经典。言多变化，意象强劲有力。帕斯捷尔纳克在谈及俄国现代诗人时，曾说：“她是我们当中好的。”

《马先生谈算学》目录
一　他是这样开场的　
二　怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系　
三　解答如何产生——交差原理　
四　就讲和差算罢　
五　“追赶上前”的话　
六　时钟的两只针
七　流水行舟　
八　年龄的关系　
九　多多少少　
十　鸟兽同笼问题
十一　分工合作　
十二　归一法的问题　
十三　截长补短　
十四　还原算　
十五　五个指头四个叉　
十六　排方阵　
十七　全部通过　
十八　七零八落　
十九　韩信点兵　
二十　话说分数　
二十一　三态之一——几分之几　
二十二　三态之二——求偏　
二十三　三态之三——求全　
二十四　显出原形　
二十五　从比到比例　
二十六　这要算不可能了
二十七　大半不可能的复比例　
二十八　物物交换　
二十九　按比分配　
三十　结束的一课　

《数学趣味》目录
一　数学是什么　
二　数学所给与人们的　
三　数的启示　
四　从数学问题说到我们的思想　
五　恨点不到头　
六　堆罗汉　
七　八仙过海　
八　棕榄谜　
九　韩信点兵　
十　王老头子的汤圆　
十一　假如我们有十二根手指　

《数学的园地》目录
一　开场话　
二　步　
三　速度　
四　函数和变数　
五　无限小的变数——诱导函数　
六　诱导函数的几何表示法　
七　无限小的量　
八　二次诱导函数——加速度——高次诱导函数　
九　局部诱导函数和全部的变化　
十　积分学　
十一　面积的计算　
十二　微分方程式　
十三　数学究竟是什么　
十四　总集论　

本套给孩子的数学三书，分3册，共55篇文章，是数学大师刘薰宇写给中小学生的通俗数学文章，倡导在生活中学数学、在好玩中掌握知识。
刘薰宇的数学思想影响了杨振宁、谷超豪等一代又一代数学大家，至今仍闪烁着理性和智慧的光芒。
《马先生谈算学》以“马先生”的口吻，像一位幽默搞笑的老师陪在身旁，灵活有趣地给孩子讲数学。既让孩子掌握了数学算法的基本原理，也给了孩子解决现实生活问题的思路。用图解法解决100多道常见题型，让孩子学一道，就能会一类。四则运算，原来可以这样学！
《数学趣味》是让孩子和数学做朋友的一本数学书。它从生活中找到鲜活的题材，让课本上的法则、公式、定理活起来，激发孩子的学习兴趣。跟着大师学数学，原来数学并不可怕，数学可以不枯燥，每个孩子都可以爱上数学。
《数学的园地》对数学概念、原理进行有趣回顾与讲解，是一本初中生也能读懂的高等数学入门手册。本书系统介绍函数、连续、诱导函数、微分、积分和总集等概念，以及它们的基本原理和算法。初中生凭借本书提前预习高数，比别人更早一步掌握，就能比别人站上更高一级的台阶！ 

刘薰宇 （1896~1967）

我国现代数学教育家、数学家、出版家。
1928年留学法国，在巴黎大学研究数学。
1930年回国后，先后在暨南大学、大夏大学、同济大学、西南联大任教。
1949年后，任贵阳中学校长。
1950年调任人民教育出版社担任副总编辑。曾审定全部中小学的数学教材，并亲自参加编写。
    刘薰宇与夏丏尊、叶圣陶、丰子恺等人一起创办了《中学生》《新少年》等青少年期刊，发表了众多数学题材的趣味科普文章。作品有《马先生谈算学》《数学趣味》《数学的因式》等，一直都是中小学生学习数学的极佳辅导读物，成为几代人公认的经典。言多变化，意象强劲有力。帕斯捷尔纳克在谈及俄国现代诗人时，曾说：“她是我们当中好的。”

一

他是这样开场的

学年成绩发表不久的一个下午，初中二年级的两个学生李大成和王有道在教员休息室的门口站着谈话。
李：“真危险，这次的算学平均只有59.5分，要不是四舍五入，就不及格，又得补考。你的算学真好，总有九十几分、一百分。”
王：“我的地理不及格，下学期一开学就得补考，这个暑假玩也玩不痛快了。”
李：“地理！很容易！”
王：“你自然觉得容易呀，我真不行，看起地理来，总觉得死板板的，一点儿趣味没有，无论勉强看了多少次，总是记不完全。”
李：“你的悟性好，所以记忆力不行，我呆记东西倒还容易，要想解算学题，那真难极了，简直不知道从哪里想起。”
王：“所以，我主张文科和理科一定要分开，喜欢哪一科就专弄那一科，既能专心，也免得白费力气去弄些毫无趣味、不相干的东西。”
李大成虽没有回答，但好像默认了这个意见。坐在教员休息室里，懒洋洋地看着报纸的算学教师马先生已听见了他们谈话的内容。他们在班上都算是用功的，马先生对他们也有相当的好感。因此，想对他们的意见加以纠正，便叫他们到休息室里，带着微笑问李大成：“你对于王有道的主张有什么意见？”
由于马先生这一问，李大成直觉地感到马先生一定不赞同王有道的意见，但他并没有领会到什么理由，因而踌躇了一阵回答道：“我觉得这样更便当些。”
马先生微微摇了摇头，表示不同意：“便当？也许你们这时年轻，在学校里的时候觉得便当，要是照你们的意见去做，将来就会感到大大地不便当了。你们要知道，初中的课程这样规定，是经过了若干年的经验和若干专家的研究的。各科所教的都是做一个现代人不可缺少的常识，不但是人人必需，也是人人能领受的……”
虽然李大成和王有道平日对于马先生的学识和耐心教导很是敬仰，但对于这“人人必需”和“人人能领受”却很怀疑。不过两人的怀疑略有不同，王有道认为地理就不是人人必需；而李大成却认为算学不是人人能领受。当他们听了马先生的话后，各自的脸上都露出了不以为然的神气。
马先生接着对他们说：“我知道你们不会相信我的话。王有道，是不是？你一定以为地理就不是必需的。”
王有道望一望马先生，不回答。
“但是你只要问李大成，他就不这么想。照你对于地理的看法，李大成就可说算学不是必需的。你试说说为什么人人必需要学算学？”
王有道不假思索地回答：“一来我们日常生活离不开数量的计算；二来它可以训练我们，使我们变得更聪明。”
马先生点头微笑说：“这话有一半对，也有一半不对。点，你说因为日常生活离不开数量的计算，所以算学是必需的。这话自然很对，但看法也有深浅不同。从深处说，恐怕不但是对于算学没有兴趣的人不肯承认，就是你在你这个程度也不能完全认识，我们姑且丢开。就浅处说，自然买油、买米都用得到它，不过中国人靠一个算盘，懂得‘小九九’，就活了几千年，何必要学代数呢？平日买油、买米哪里用得到解方程式？我承认你的话是对的，不过同样的看法，地理也是人人必需的。从深处说，我们姑且也丢开，就只从浅处说。你总承认做现代的人，每天都要读新闻，倘若你没有充足的地理知识，你读了新闻，能够真懂得吗？阿比西尼亚 在什么地方？为什么意大利一定要征服它？为什么意大利起初打阿比西尼亚的时候，许多国家要对它施以经济的制裁，到它居然征服了阿比西尼亚的时候，大家又把制裁取消？再说，对于中国的处境，你们平日都很关切，但是所谓国难的构成，地理的关系也不少，所以真要深切地认识中国处境的危迫，没有地理知识是不行的。
“至于第二点，‘算学可以训练我们，使我们变得更聪明’，这话只有前一半是对的，后一半却是一种误解。所谓训练我们，只是使我们养成一些做学问和事业的良好习惯：如注意力要集中，要始终如一，要不苟且，要有耐性，要有秩序，等等。这些习惯，本来人人都可以养成，不过需要有训练的机会，学算学就是把这种机会给了我们。但切不可误解了，以为只是学算学有这样的机会。学地理又何尝没有这样的机会呢？各种科学都是建立在科学方法上的，只有探索的对象不同。算学是科学，地理也是科学，只要把它当成一件事做，认认真真地学习，上面所说的各种习惯都可以养成。只有说到使人变得聪明，一般人确实有这样的误解，以为只有学算学能够做到。其实，学算学也不能够使人变得聪明。一个人初学算学的时候，思索一个题目的解法非常困难，学得越多，思索起来越容易，这固然是事实，一般人便以为这是更聪明了，这只是表面的看法，不过是逐渐熟练的结果，并不是什么聪明。学地理的人，看地图和描地图的次数多了，提起笔来画一个中国地图的轮廓，形状大致可观，这不是初学地理的人能够做到的，也不是什么变得更聪明了。
“你们总承认在初中也闹什么文理分科是不妥当的吧！”马先生用这话来作结束。
对于这些议论王有道和李大成虽然不表示反对，但