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数理逻辑入门

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作者（美）雷蒙德·M.斯穆里安（Raymond M. Smullyan）著；刘新文 等译

出版社中国轻工业出版社

ISBN9787518421831

出版时间2019-04

装帧平装

开本16开

定价68元

货号27856642

上书时间2024-10-20

兴文书店

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品相描述：全新
商品描述
前言
序    言

 

一般来说，数理逻辑有两个引人注目的中心，一个是我们可以证明什么，另一个是我们不能证明什么。它们都来自库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在20世纪30年代的重要工作，互为补充，各具张力。

 

为了探究我们可以证明什么，我们就必须为称之为“证明”的形式对象创建某种装置。对此，我们还必须运用熟悉的数学方法来证明它确实做到了我们所要求它做的（从技术上说，是要证明这一形式装置是“可靠的”和“完备的”）。为了探究我们不能证明什么，我们也必须建立某种装置来刻画我们所说的“计算”是什么意思。今天，我们在讨论这些主题时，一般会想到计算机。但是，真实的计算机很难精确地进行分析，它们的速度和大小是有限制的。我们需要考虑一个理想化的计算机以忽略实践上的限制，我们想要一个适合于它的形式模型以尽可能简单地工作。然后，使用这一装置，我们可以从数学上建立各种不完备性结果，说明我们使用证明以理解数学真理具有很大的局限性。所有这些内容都在本书中以简单和直接的语言得以阐释，它不是写给专家的，而是写给初学逻辑者的，只需要一些关于数学如何运作的基础知识。

 

在1961年出版的《形式系统的理论》（Theory of Formal Systems）中，雷蒙德·斯穆里安引入了“初等形式系统”这一漂亮却非常简单的装置来刻画“计算”这个概念。这个系统很有力量，但又易于描述、易于使用。随后，在1968年出版的《一阶逻辑》 （First-Order Logic）中，斯穆里安给了“语义表列”决定性的现代表述形式，为发现和分析形式的逻辑证明提供了非常简单而直观的装置。事实上，这一装置及其衍生物目前在许多自动定理证明的计算机系统中居于核心地位。这本书既使用了初等形式系统，也使用了表列系统来分析数学逻辑中上述讨论的两个方面。

 

前述两种装置是本书的基础，在表述上既简单又直观，但完全精确。虽然所说的这两个主题处于中心地位，但随着论述的展开，很多非常有趣的结果也得到了讨论和证明。这本书包含了大量的习题，并且为此还提供了答案。

 

我们完全可以把本书看成是一个终生思考数理逻辑基本问题并且考虑如何好地表述它们的人所贡献给我们的杰出成果。

 

梅尔文·菲廷

于美国纽约城市大学研究生院

2018年10月31日



导语摘要
作为一位终生思考如何以*好的方式表达数理逻辑问题的学者，作者在本书中由浅入深地介绍了命题逻辑、一阶逻辑、初等算术以及皮亚诺算术的基础知识；特别是以简单易懂的形式阐释了哥德尔不完全性定理，说明了由其本人发展的表列证明方法，并穿插大量习题，于每章末给出所有习题的答案，于结尾处附上术语对照表，使得本书非常适合作为数理逻辑入门教材。

 

除了学者的身份，作者还是一位趣味谜题专家，致力于面向普通读者写作，将深奥的思想以故事和谜题的形式讲述，这使得本书在介绍任何知识时都不设定专业基础，采取层层递进的方式，同时还有趣味十足的例子，适合作为数理逻辑普及读物。

 

本书译者还特别邀请作者的学生、美国逻辑学家与计算机科学家梅尔文·菲廷（Melvin　Fitting）为中文版撰写了序言，其以简单的语言指出了数理逻辑的关键以及本书的核心所在，便于读者整体把握数理逻辑的基本问题。



作者简介
作者简介


 


雷蒙德·M.斯穆里安（Raymond M. Smullyan，1919—2017）


世界著名逻辑学家、数学家，也是一位职业钢琴演奏家和职业魔术师。1959年于普林斯顿大学获得哲学博士学位。先后任教于达特茅斯学院、普林斯顿大学、印第安纳大学、纽约城市大学雷曼学院等。


哥德尔不完全性定理研究专家，系统地发展了表列证明方法，并致力于向普通读者普及数理逻辑。著有30余部著作，包括数理逻辑专业著作以及趣味逻辑谜题书，如《形式系统的理论》（Theory of Formal Systems，1961）、《一阶逻辑》（First-Order Logic，1968）、《哥德尔不完全性定理》（Gödel’s Incompleteness　Theorems，1992）、《元数学的递归论》（Recursion　Theory for Metamathematics，1993）、《对角化和自指》（Diagonalization and Self-Reference，1994）、《这本书叫什么？》（What Is the Name of This Book?，1978）、《逻辑迷宫》（Logical Labyrinths，2009）、《哥德尔谜题书》（The Gödelian Puzzle Book，2013）等。


 


译者简介


 


刘新文


中国社会科学院哲学博士，中国社会科学院哲学所研究员。主要研究方向为图式逻辑、模态逻辑、皮尔士逻辑与哲学等。出版有专著《图式逻辑》《谢弗函数研究》《可能世界的名字》等。


 


张  瑜


北京大学哲学系逻辑学专业博士研究生。


 


荣华夏


中国社会科学院研究生院哲学系逻辑学专业硕士研究生。


 


闫佳亮


中国社会科学院研究生院哲学系逻辑学专业硕士研究生。


 


张立英


北京大学哲学博士，中央财经大学文化与传媒学院教授。主要研究方向为符号逻辑、哲学逻辑等。出版有专著《概称句推理研究》等。



目录

第1部分　一般背景


 


第1章　起点


　　　 集合论


　　　 集合的布尔运算


　　　 文恩图


　　　 布尔方程


 


第2章　无穷集


　　　 无穷集的大小


　　　 康托尔的伟大发现


　　　 连续统问题


　　　 伯恩斯坦—施罗德定理


 


第3章　一些问题出现了！


　　　 悖论


　　　 超游戏


　　　 两种集合论系统


 


第4章  更多的背景


　　　 关系与函数


　　　 数学归纳


　　　 有穷后继原则


　　　 球类运动


　　　 柯尼希引理


　　　 有穷生成树


　　　 广义归纳


　　　 良基关系


　　　 紧致性


 


第二部分　命题逻辑


 


第5章　命题逻辑基础


　　　 重言式


　　　 包含t与f的公式


　　　 说谎话者、说真话者与命题逻辑


　　　 逻辑联结词的相互依赖性


　　　 合舍


　　　 析舍


　　　 进一步的结果


　　　 16个逻辑联结词


 


第6章　命题表列


　　　 加标记公式


　　　 逻辑后承


　　　 使用不加标记公式的表列


　　　 命题逻辑表列中的证明


　　　 一个统一记法


　　　 度


　　　 正确性与完全性


　　　 紧致性


　　　 对偶表列


 


第7章　命题逻辑的公理系统


　　　 统一记法的系统


　　　 一个统一记法的系统U1


　　　 另一个统一记法的系统U2


 


第三部分　一阶逻辑


 


第8章　一阶逻辑基础


　　　 引入∀与∃


　　　 ∀与∃的相互依赖性


　　　 关系符号


　　　 一阶逻辑的公式


　　　 变元的自由出现与约束出现


　　　 解释与赋值


　　　 重言式


　　　 一阶逻辑的公理系统


 


第9章　一阶逻辑的主要论题


　　　 一阶表列


　　　 量词的表列规则


　　　 统一记法


　　　 表列的完全性


　　　 辛迪卡集


　　　 有穷域中的可满足性


　　　 楼文汉姆—斯科伦定理与紧致性定理


　　　 布尔赋值与一阶赋值


　　　 正则定理


　　　 公理系统S1的完全性


 


第四部分　不完全性现象


 


第10章　不完全性的一般概述


　　　　哥德尔机器


　　　　一些基本的一般结果


　　　　句法不完全性定理


　　　　可分离性


　　　　欧米伽一致性


　　　　一阶系统


　　　　哥德尔证明的本质


　　　　欧米伽不完全性


　　　　罗瑟构造


 


第11章　初等算术


　　　　二元哥德尔编码


　　　　塔尔斯基定理


 


第12章　形式系统


　　　　初等形式系统


　　　　数字集合与关系


　　　　初等形式系统的算术化


　　　　衍生结果


 


第13章　皮亚诺算术


　　　　皮亚诺算术的公理模式与推理规则


 


第14章　进一步的主题


　　　　对角化与不动点


　　　　一致性的不可证性


 


参考文献


术语对照表



内容摘要
作为一位终生思考如何以*好的方式表达数理逻辑问题的学者，作者在本书中由浅入深地介绍了命题逻辑、一阶逻辑、初等算术以及皮亚诺算术的基础知识；特别是以简单易懂的形式阐释了哥德尔不完全性定理，说明了由其本人发展的表列证明方法，并穿插大量习题，于每章末给出所有习题的答案，于结尾处附上术语对照表，使得本书非常适合作为数理逻辑入门教材。


 


除了学者的身份，作者还是一位趣味谜题专家，致力于面向普通读者写作，将深奥的思想以故事和谜题的形式讲述，这使得本书在介绍任何知识时都不设定专业基础，采取层层递进的方式，同时还有趣味十足的例子，适合作为数理逻辑普及读物。


 


本书译者还特别邀请作者的学生、美国逻辑学家与计算机科学家梅尔文·菲廷（Melvin　Fitting）为中文版撰写了序言，其以简单的语言指出了数理逻辑的关键以及本书的核心所在，便于读者整体把握数理逻辑的基本问题。



主编推荐
作者简介

 

雷蒙德·M.斯穆里安（Raymond M. Smullyan，1919—2017）

世界著名逻辑学家、数学家，也是一位职业钢琴演奏家和职业魔术师。1959年于普林斯顿大学获得哲学博士学位。先后任教于达特茅斯学院、普林斯顿大学、印第安纳大学、纽约城市大学雷曼学院等。

哥德尔不完全性定理研究专家，系统地发展了表列证明方法，并致力于向普通读者普及数理逻辑。著有30余部著作，包括数理逻辑专业著作以及趣味逻辑谜题书，如《形式系统的理论》（Theory of Formal Systems，1961）、《一阶逻辑》（First-Order Logic，1968）、《哥德尔不完全性定理》（Gödel’s Incompleteness　Theorems，1992）、《元数学的递归论》（Recursion　Theory for Metamathematics，1993）、《对角化和自指》（Diagonalization and Self-Reference，1994）、《这本书叫什么？》（What Is the Name of This Book?，1978）、《逻辑迷宫》（Logical Labyrinths，2009）、《哥德尔谜题书》（The Gödelian Puzzle Book，2013）等。

 

译者简介

 

刘新文

中国社会科学院哲学博士，中国社会科学院哲学所研究员。主要研究方向为图式逻辑、模态逻辑、皮尔士逻辑与哲学等。出版有专著《图式逻辑》《谢弗函数研究》《可能世界的名字》等。

 

张  瑜

北京大学哲学系逻辑学专业博士研究生。

 

荣华夏

中国社会科学院研究生院哲学系逻辑学专业硕士研究生。

 

闫佳亮

中国社会科学院研究生院哲学系逻辑学专业硕士研究生。

 

张立英

北京大学哲学博士，中央财经大学文化与传媒学院教授。主要研究方向为符号逻辑、哲学逻辑等。出版有专著《概称句推理研究》等。



精彩内容
集合论

 

数理逻辑的开端与19世纪集合论——特别是由著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）创立的无穷集（infinite set）理论——的发展密切相关。在讨论无穷集之前，我们通常要先看一下集合的一些基本理论。

 

集合是任何对象的汇集。集合论的基本概念是元素关系。集合A是一堆东西，并且说对象x是A的成员，或者A的元素，或者x属于A，或者A包含x，就是说x是那些东西之一。例如，如果A是从1到10的所有正整数的集合，则数字7是A的一个成员（4也是），但是12不是A的成员。元素关系的标准记法是符号∈（epsilon），“x是A的元素”的表达可以缩写为“x∈A”。

 

如果A的每个元素也是B的元素，那么集合A是集合B的子集。不幸的是，许多初学者学习集合会把子集与元素关系混淆。作为区分的一个例子，让H是所有人的集合，让W是所有女人的集合。显然W是H的一个子集，因为每个女人也是人。但W很难成为H的元素，因为W显然不是一个人。子集的符号是所谓的“包含于”（inclusion），记为⊆。因此，对于任何集合对A和B，短语“A是B的子集”被缩写为A⊆B。如果A是B的子集，则B被称为A的上集（superset）。因此，A的上集是包含A的所有元素的集合，并且可能也包含其他元素。如果A不是B的全部，换句话说，如果B包含一些不在A中的元素，则B的子集A被称为B的真子集（proper subset）。

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