电磁理论中的边界元方法探索
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作者覃新川
出版社科学出版社
ISBN9787030533135
出版时间2016-06
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开本其他
定价108元
货号8992266
上书时间2024-12-30
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目录
前言
章电磁场分析中的数学基础1
1.1矢量微分算符1
1.1.1标量场的方向导数与梯度1
1.1.2矢量场的通量和散度2
1.1.3矢量场的环量与旋度3
1.1.4正交曲线坐标系中的矢量微分算符4
1.1.5矢量（场）分解定理4
1.2广义函数5
1.2.1δ函数6
1.2.2亥维赛单位阶跃函数与符号函数7
1.2.3三维δ函数7
1.2.4广义函数的正则化8
1.3格林函数法9
1.3.1格林公式9
1.3.2格林函数的物理意义和一般性质10
1.3.3无界标量泊松方程问题中的格林函数10
1.3.4无界时谐波动问题中的格林函数10
1.3.5无界时域波动问题中的格林函数11
1.4加权余量法12
1.4.1加权余量法简介12
1.4.2应用实例12
1.5边界元法14
1.5.1边界元法简介15
1.5.2应用实例—三维标量泊松方程的边界元解法15
1.5.3边界元法实施过程中的奇异积分的处理16
1.5.4无奇异边界元法17
1.5.5向量泊松方程17
参考文献18
第2章宏观电磁场理论基础20
2.1描述宏观电磁场的基本方程组20
2.1.1麦克斯韦方程组20
2.1.2复数形式的麦克斯韦方程组22
2.1.3广义形式的麦克斯韦方程23
2.2波动方程23
2.2.1原始变量表示的波动方程23
2.2.2势函数形式的波动方程25
2.3电磁场理论的基本定理27
2.3.1解的唯*性定理27
2.3.2坡印亭定理27
2.3.3等效原理27
2.4齐次波动方程的解和基本波函数28
2.4.1标量波动方程和基本波函数28
2.4.2基本波函数的相互关系30
2.4.3矢量波动方程和矢量波函数30
2.5非齐次波动方程的积分表述33
2.5.1非齐次标量波动方程33
2.5.2非齐次矢量波动方程的积分解33
2.6计算电磁学中的矢量积分方程34
2.6.1自由空间中的麦克斯韦方程的解34
2.6.2金属体散射问题积分方程的建立35
参考文献36
第3章麦克斯韦方程组的一致性分析37
3.1概述37
3.2关于麦克斯韦方程组求解的讨论39
3.2.1哈尔姆斯问题39
3.2.2实验研究与理论研究的脱节39
3.2.3计算电磁学的现状39
3.2.4基准问题40
3.2.5国际国内主要研究现状41
3.3麦克斯韦方程组的一致性分析41
3.3.1旋度和散度是矢量场中不同性质的源42
3.3.2关于规范条件42
3.3.3关于赫姆霍兹矢量分解定理43
3.3.4一个重要的特殊矢量恒等式43
3.3.5双旋度算子和拉普拉斯算子44
3.4包含双旋度算子的微分方程的一致性分析44
3.4.1电磁场经典理论的微分方程与规范条件44
3.4.2协调条件47
3.4.3包含双旋度算子的微分方程转换的讨论50
3.4.4理论验证实例50
3.4.5电磁势量为基本量的物理解释55
3.5包含双旋度算子的微分方程定解问题的恰当提法57
3.5.1包含双旋度算子微分方程的定解对象57
3.5.2包含双旋度算子的微分方程定解问题的数学提法58
3.6麦克斯韦方程组完善求解的标准59
参考文献60
第4章双旋度泊松方程求解理论62
4.1双旋度泊松方程的基本积分表述推导62
4.1.1基本积分表述的导出（格林函数法）62
4.1.2基本积分表述的导出（加权余量法）64
4.2双旋度泊松方程的旋度积分表述推导67
4.2.1旋度积分表述推导（格林函数法）67
4.2.2旋度积分表述推导（求导）69
4.2.3旋度积分表述的导出（加权余量法）69
4.3双旋度泊松方程的数学性质71
4.3.1双旋度泊松方程解的存在性和唯*性71
4.3.2双旋度泊松方程解的欠定性（任意散度假设）72
4.3.3双旋度泊松方程的协调性条件74
4.3.4双旋度泊松方程的二维特征74
4.3.5双旋度赫姆霍兹方程的势分析76
参考文献80
第5章双旋度泊松方程的数值验证和实验验证81
5.1数值验证问题介绍81
5.1.1理论验证数学模型81
5.1.2实际物理模型83
5.2积分表述离散模型84
5.2.1边界上的矢量分解85
5.2.2问题提法与离散格式86
5.2.3数值验证结果92
5.3实验过程与实验平台介绍101
5.3.1实验研究过程101
5.3.2实验平台介绍104
5.4数值验证与实验验证105
5.4.1积分表述与实际问题的离散形式105
5.4.2数值验证和实验验证109
5.5边界条件讨论117
参考文献119
第6章双旋度赫姆霍兹方程求解理论120
6.1双旋度赫姆霍兹方程的基本积分表述推导120
6.1.1基本积分表述的导出（格林函数法）120
6.1.2基本积分表述的导出（加权余量法）122
6.2双旋度赫姆霍兹方程的旋度积分表述推导125
6.2.1旋度积分表述推导（格林函数法）125
6.2.2旋度表述的另一种获得方式（求导）127
6.2.3旋度积分表述的导出（加权余量法）127
6.3双旋度赫姆霍兹方程的数学性质129
6.3.1双旋度赫姆霍兹方程解的存在性和唯*性129
6.3.2双旋度赫姆霍兹方程解的欠定性（任意散度假设）130
6.3.3双旋度赫姆霍兹方程的协调性条件132
6.3.4双旋度赫姆霍兹方程的二维特征133
6.3.5双旋度赫姆霍兹方程的势分析135
参考文献139
第7章双旋度赫姆霍兹方程数值求解与试验验证140
7.1数值验证问题介绍140
7.1.1理论验证数学模型140
7.1.2实验验证情况介绍142
7.2积分表述离散格式146
7.2.1旋度积分表述的离散格式147
7.2.2无奇异边界元方法的离散格式148
7.2.3双旋度赫姆霍兹方程边界元的系数计算150
7.3数值计算151
7.3.1积分表述验证（无损耗情况）154
7.3.2积分表述验证（有损耗情况）156
7.3.3边界元算法验证（无损耗情况）158
7.3.4边界元算法验证（有损耗情况）161
7.4实际工程材料边界条件初步探讨163
参考文献165
第8章时域电磁场计算理论166
8.1时域双旋度波动方程的积分表述166
8.1.1基本积分表述的导出（格林函数法）166
8.1.2基本积分表述的导出（加权余量法）170
8.2时域双旋度波动方程的旋度积分表述174
8.2.1旋度积分表述推导（格林函数法）174
8.2.2旋度积分表述（求旋）178
8.2.3旋度积分表述的导出（加权余量法）179
8.3双旋度波动方程的数学性质182
8.3.1双旋度波动方程解的存在性和唯*性182
8.3.2双旋度一般时域波动方程解的欠定性（任意散度假设）182
8.3.3双旋度波动方程的协调性条件185
8.3.4双旋度波动方程的二维特征188
8.3.5双旋度波动方程的势分析189
参考文献194
第9章时域电磁场数值验证195
9.1数值验证问题介绍195
9.1.1理论验证数学模型195
9.1.2索莫菲尔德问题199
9.2双旋度波动边界积分方程的求解200
9.2.1问题的提出201
9.2.2边界积分方程的求解202
9.2.3区域内的计算204
9.2.4一般时域波动方程的边界元递推解法的基本步骤204
9.3数值验证205
9.3.1计算模型206
9.3.2基本递推算法的理论验证206
9.3.3积分表述验证209
9.3.4时域问题的迭代算法209
9.4索莫菲尔德问题的数值呈现209
9.4.1索莫菲尔德问题的自相似现象209
9.4.2索莫菲尔德问题的数值呈现210
9.5存在的不足214
参考文献215
0章双旋度算子相关方程的分离变量法尝试216
10.1双旋度赫姆霍兹方程的分离变量法216
10.1.1分离变量尝试216
10.1.2耦合的常微分方程求解220
10.1.3利用协调条件求解相关的微分方程234
10.2双旋度赫姆霍兹方程解的验证235
10.3推广应用240
10.3.1双旋度泊松方程和双旋度一般时域波动方程的分离变量解240
10.3.2曲线坐标系的双旋度赫姆霍兹方程分离变量解242
10.4相关方程解的进一步讨论245
10.5结语（应用展望）247
参考文献247
本书主要参考文献248
附录A矢量恒等式与张量简介252
附录B与三维双旋度泊松方程有关的积分推导261
附录C平行于铁磁体的通电导线产生的静磁场实测数据273
附录D与三维双旋度赫姆霍兹方程有关的积分推导280
附录E时域积分处理300
后记310
内容摘要
**章电磁场分析中的数学基础
麦斯韦方程组是反映电磁变化规律的基本方程，是用矢量表示的场方程（偏微分方程组），由此必要的矢量微分算符知识是必须要了解的。
格林函数法是由微分方程导出积分方程的主要方法，而边界元法是本书在解决电磁场数值计算中使用的主要方法，因此，本章将介绍广义函数理论、格林函数法、加权余量法、边界元法等方法。
本章就本书所需的主要数学基础进行简单叙述。为了减少不必要的篇幅，本章是按照提纲式来书写的，缺乏必要的证明、说明和实例。欲了解更为详细的内容，请参阅相关参考文献。
1.1矢量微分算符
电磁理论的场涉及标量场和矢量场。标量（如电位等）的空间分布构成标量场，矢量（如电场强度等）的空间分布构成矢量场。描写场在各点的空间变化趋势需要用微分手段，微分算符（读作“哈密顿”或“那勃勒”）就是为此引入的。
1.1.1标量场的方向导数与梯度
标量场可用等值面来加以形象描述。等值面方程为（1.1）
标量函数在给定时刻t0给定点M0沿给定方向l的方向导数为（1.2）
显然，当＞0时，表示标量在给定时刻t0给定点M0沿给定方向l的方向是增大的，如图1.1所示。
在笛卡儿直角坐标系中，（1.3）
式中，是沿三个直角分量的方向余弦。
图1.1方向导数的方向
引入方向余弦矢量，则方向导数可表示为（1.4）
当el和G同方向时，方向导数具有*大程度值，这个*大程度值称为标量场的梯度。记为（1.5）
梯度同时给出了*大程度方向导数的方向和*大程度方向的导数值，是空间点的矢量函数。为简洁表达，引入哈密顿算符，即（1.6）
1.1.2矢量场的通量和散度
面元矢量的定义为（1.7）
式中，n是一个与面元相垂直的单位矢量，一般取闭合面的外法线方向。而开表面的法线方向n，则与构成表面的闭合曲线呈右手螺旋关系，闭合曲线的绕行方向应保证左手始终在内侧。
微元的通量为（1.8）
指定曲面的通量为（1.9）
若为闭曲面，则通量为（1.10）
封闭曲面通量的极限，就是散度为（1.11）
在笛卡儿直角坐标系中，（1.12）
散度定理（高斯定理）为（1.13）
1.1.3矢量场的环量与旋度
环量为（1.14）
注意：环量的积分曲线一定是封闭的。
环量的极限就是环流面密度（或称环量强度），但环量面密度与面元的法向方向n有关，因此空间一点有多个环流面密度：（1.15）
规定某点环流面密度的*大程度值为该点的旋度：（1.16）
在笛卡儿直角坐标系中，矢量A的旋度可表示：（1.17）
斯托斯定律为（1.18）
散度、旋度的重要性质为（1.19），（1.20）
1.1.4正交曲线坐标系中的矢量微分算符
在电磁场理论研究中，除了笛卡儿直角坐标系，还经常用到圆柱坐标系、球坐标系等曲线坐标系，为减少不必要的篇幅，这里直接给出正交曲线坐标系中的矢量微分算符的相关公式如下：
（1.21），（1.22），（1.23），（1.24）
式中，h1，h2，h3称为拉梅系数（或度规因子）；对于笛卡儿直角坐标系（x，y，z），h1=1，h2=1，h3=1；对于圆柱坐标系（ρ，θ，z），h1=1，h2=ρ，h3=1；对于球坐标系（r，θ，ψ），h1=1，h2=r，h3=rsinθ。
1.1.5矢量（场）分解定理
1）赫姆霍兹矢量分解定理
在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件**地确定，且可
表示为（1.25）
式中，（1.26）（1.27）
式中，n为区域边界的单位外法向分量。
赫姆霍兹矢量分解定理表明：一个矢量场所具有的性质可接近由它的散度和旋度来表示。
特别指出：只有矢量函数F（r）是在连续的区域内，和才有意义，因为它们都包含F（r）对空间位置的导数。另外，赫姆霍兹分解不是**的。
2）广义赫姆霍兹定理（1.28）
式中，满足标量赫姆霍兹方程的解。
式（1.28）**个等号表示在欧氏空间上的投影；第二个等号表示在矢量偏微分算子的本征函数空间上的投影。其**项称为无旋场子空间；而后两项：
（1.29）称为旋量场函数，属于旋量场子空间。旋量场中包含两个独立的标量函数m与n，所以从矢量偏微分算子空间上看，旋量场只是一个“二维”的矢量。
3）边界上的矢量分解
矢量场中任一点的矢量a还可以按指定方向l进行分解。即（1.30）
这种分解经常用在边界上，此时一般将其分解为法向分量和切向分量。即（1.31）
1.2广义函数
广义函数是对经典函数概念的推广。广义函数的主要内容之一就是把用经典数学观点不能解析运算的奇异函数变成能够严格进行解析运算的广义函数。首先对广义函数中，历史*悠久、应用*广泛的δ函数进行简略介绍。
1.2.1函数
1）一维δ函数的定义
δ函数的定义为（1.32）
δ函数的导数为（1.33）
δ（x）与一般连续函数的导数不同，它本身也不是连续函数，仅在积分中有意义。
由分部积分可得（1.34）
2）δ函数的基本性质
（1）δ（x）是偶函数：（1.35）
（2）xδ（x）=（1.36）
（3）δ（x）函数的过滤性质：（1.37）
（4
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