实变函数论

荣祯，男，现就职于内蒙古财经大学，讲师。毕业于重庆大学数学与统计学院基础数学专业，博士研究生学历，主要研究方向为拓扑动力系统、保测动力系统、泛函分析和线性算子动力系统。目前主持一项国家自然科学基金地区科学基金项目，一项内蒙古自治区高等学校科学技术研究项目，出版一本学术专著。先后在Israel Journal of Mathematics、Ergodic Theory and Dynamical System、Acta Mathematica Sinica，English Series、《数学学报》中文版、《应用数学学报》中文版等期刊上发表多篇论文。在内蒙古财经大学长期讲授实变函数、数学分析、泛函分析等课程。

引言

第1章 集合与Rn中的点集

1.1 集合与集合的运算

1.1.1 集合的基本概念

1.1.2 集合的运算

1.1.3 集列的极限

1.2 映射与可列集

1.2.1 映射

1.2.2 可列集

1.3 Rn中的点集

1.3.1 Rn上的距离

1.3.2 开集与闭集

1.3.3 Rn上的连续函数

1.3.4 Rn中的紧致子集

1.3.5 Borel集

1.3.6 开集的构造

1.4 广义实数系

1.4.1 广义实数系中的运算

1.4.2 广义实数系的上确界和下确界

1.4.3 广义实数列的极限

第2章 Lebesgue测度

2.1 Lebesgue外测度

2.2 Lebesgue可测集与Lebesgue测度

2.2.1 Lebesgue可测集的定义

2.2.2 Lebesgue可测集与Lebesgue测度的性质

2.2.3 Lebesgue可测集的逼近性质

2.2.4 不可测集的例子

第3章 Lebesgue可测函数

3.1 Lebesgue可测函数的性质

3.1.1 Lebesgue可测函数的定义与例子

3.1.2 Lebesgue可测函数的运算封闭性

3.1.3 Lebesgue可测函数用简单函数逼近

3.2 Lebesgue可测函数列的收敛

3.2.1 几乎处处成立的性质

3.2.2 几乎处处收敛与一致收敛

3.2.3 几乎处处收敛与依测度收敛

3.3 Lebesgue可测函数与连续函数的关系

第4章 LebesgUe积分

4.1 Lebesgue积分的定义

4.1.1 非负简单函数的Lebesgue积分

4.1.2 非负可测函数的Lebesgue积分

4.1.3 一般可测函数的Lebesgue积分

4.2 Lebesgue可积函数的逼近性质

4.3 Lebesgue积分与Riemann积分的关系

4.4 Fubini定理

参考文献

本书是为大学数学专业“实变函数”课程编写的教材。它的先修课程是数学分析。本书在内容选取上，侧重实变函数论的基础和核心，难易适中。本书对重要的概念和定理做了较多的背景和思路的说明，对很多核心定理的证明既注重直观又注重严谨。全书共分5章，内容包括：集合，欧氏空间，Lebesgue测度，Lebesgue可测函数，Lebesgue积分。