线性代数及应用

　《线性代数及应用》：
　　第1章 行列式
　　行列式实质上是由一些数值排列成的数表，按一定的法则计算得到的一个数。行列式是研究线性代数的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、向量组的线性相关性、二次型中都需要用到行列式。本章介绍行列式的定义、性质及其计算方法。
　　1.1 二阶与三阶行列式
　　1.1.1 二阶行列式
　　行列式的概念是从解线性方程组问题中引入的。所谓线性方程组，是指各方程关于未知量均为一次的方程组。例如，二元一次线性方程组一般可以表示为（1.1）用消元法求解该方程组：用消去得，用消去得当时，方程组（1.1）的解为（1.2）为了使（1.2）表示简单，莱布尼茨（Leibniz）于18世纪初引入二阶行列式，定义如下。
　　定义1.1 由4个数（元素）排成的2行2列的数表：表达式称为此数表所确定的二阶行列式，记为，即其中，数称为行列式的元素，的第一个下标i表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标j表示这个元素所在的列数，称为列标。由定义知，二阶行列式是由4个数按一定的运算规则得到的一个数，这个规则称为“对角线法则”。如图1.1所示，称从左上角到右下角的对角线为行列式的主对角线，从右上角到左下角的对角线为行列式的副对角线，于是二阶行列式等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素之积。
　　图1.1
　　利用二阶行列式的概念，二元线性方程组（1.1）的系数组成的行列式称为系数行列式，记为D，即当D≠时，（1.1）的解（1.2）可以用行列式表示为其中和是以分别替换系数行列式中第1列、第2列的元素所得到的两个二阶行列式。
　　例1求解二元线性方程组
　　1.1.2 三阶行列式
　　类似地，为了讨论三元一次线性方程组（1.3）的解，引入记号（1.4）由（1.4）式定义的记号称为三阶行列式，它共有6项，每一项均为不同行、不同列的三个元素之积，按对角线法则（主对角线及其平行线上的元素乘积为正，副对角线及其平行线上元素乘积为负）展开，如图1.2所示。
　　例2计算三阶行列式。
　　图1.2
　　解 原式=3×0×4+1×（-3）×（-1）+2×5×2-2×0×（-1）-1×2×4-（-3）×5×3=0+3+20-0-8+45=60。
　　例3解不等式。
　　解 因为=x2-1，原不等式化为x2-1＞0，故不等式的解集为{x|x＞1或x＜-1}。
　　例4解方程。
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本教材在保持传统教材优点的基础上，对教材内容、教材体系进行了适当的调整和简化。第一章为矩阵的概念及运算，由实例引出，并对分块矩阵、逆矩阵、初等矩阵等内容展开讨论；第二章首先对向量组的线性相关性、向量的秩展开讨论，并通过行秩，列秩给出矩阵的秩的定义，为确定方程组的解的结构做了一个较好的铺垫；第三章把行列式作为方阵的一种特定数值运算，运用到矩阵的秩及其逆矩阵等的运算上；第四章解线性方程组，集中包括了克拉默法则在内的代数解法和数值解法；第五章对矩阵的相似及二次型进行了讨论；第六章线性空间与线性变换和附录Matlab简介。