几何分析综述:2021:2021

Contents 

Prologue 

Recent Progress on the Formation of Trapped Surfaces and Black Holes Junbin Li 1 

Notes on Weighted K.hler-Ricci Solitons Chi Li 18 

A Monge-Ampère Type Functional and Related Prescribing Curvature Problems Qi-Rui Li 62 

The Obata Type Integral Identity and Its Application Daowen Lin; Xi-Nan Ma; Qianzhong Ou 81 

A Brief Survey on a Recent Generalization of Cohn-Vossen Inequality on Certain K.hler Manifolds Gang Liu 111 

A Brief Summary of the Recent Global Regularity for Monge-Ampère Equations Jiakun Liu 121 

Isoparametric Submanifolds and Mean Curvature Flow Xiaobo Liu 145 

Isolated Singularities of the Yamabe Equation with Non-flat Metrics Jingang Xiong 181 

The Optimal Exponent of Certain Moser-Trudinger Type Inequalities on Projective Manifolds Kewei Zhang 189 

Lower Bound of Modified K-energy on a Fano Manifold with Degeneration for K.hler-Ricci Solitons Liang Zhang 210 

Some Regularity Estimates of the Complex Monge-Ampère Equation Xi Zhang 220 

Topology of Surfaces with Finite Willmore Energy Jie Zhou 235 

Finite Generation and the K.hler-Ricci Soliton Degeneration Ziquan Zhuang 245

Recent Progress on the Formation of Trapped Surfaces and Black Holes　　Junbin Li　　Department of Mathematics， Sun Yat-sen University， Guangzhou， China　　Abstract In this paper we review the recent progress on the mathematical results on the formation of trapped surfaces and black holes in general relativity.　　1 Preliminaries　　General relativity is a theory about gravity using the language of Riemannian geometry. A spacetime is a Lorentzian manifold satisfying the Einstein equations　　When the energy-momentum tensor Tαβ is set to be zero， we call it the vacuum Einstein equations. In vacuum， the Einstein equations read　　Ricαβ = 0.　　The Minkowski space　　defined on R3+1 which is a flat and geodesically complete solution of the vacuum Einstein equations. One of the most important exact solutions of the vacuum Einstein equations is the family of Schwarzschild solutions　　(1.1) where the parameter M > 0 representing the mass. The Schwarzschild solutions are spherically symmetric and static， and is the only family of vacuum solutions which are spherically symmetric by Birkhoff Theorem. This family of solutions describes the surrounding spacetime of a spherical star.　　It can be seen from the metric that r = 0 and r = 2M are both singularities of the Schwarzschild solutions. By direct computation， we have ， so curvature blows up at r = 0 and hence the metric fails to be C2 when approaching r = 0. However， the curvature remains bounded at r = 2M. In fact， the Schwarzschild metric is smooth across r = 2M， which is a null hypersurface. A surprising feature of Schwarzschild solutions is that there is a region， denoted by B， corresponding to r . 2M， has the property that any future directed timelike or null curves with starting point in B cannot escape to the outside region r > 2M， and in particular cannot escape to the future null infinity I+， the future ideal boundary of the spacetime. Physically， the future null infinity represents the location of faraway observers， so the black hole region is a region invisible to faraway observers.　　The Schwarzschild solutions are the first and most important family of black hole solutions. It is a subfamily of a larger two-parameter family of black hole solutions ， where represents the mass and a represents the angular momentum per unit mass. When a = 0， it reduces to the Schwarzschild solutions. Similar to the Schwarzschild solutions， the region is the region outside the black hole. Kerr solutions represent stationary rotating black holes.　　For general asymptotically flat spacetime M， Penrose first introduced the notion of the future null infinity I+ by conformal compacification. The future null infinity can be understood as the ideal future boundary of the spacetime， where the spacetime becomes