基于矩信息的鲁棒优化模型、算法及应用

“博士后文库”序言 

前言 

第1章 概述1 

1.1 不确定性与风险1 

1.2 不确定性优化方法概述2 

1.2.1 确定性优化2 

1.2.2 随机优化3 

1.2.3 风险优化4 

1.2.4 鲁棒优化11 

1.3 鲁棒优化方法15 

1.3.1 基于不确定性集的鲁棒优化15 

1.3.2 基于分布函数集的鲁棒优化17 

1.4 本章小结19 

第2章 基于矩信息的鲁棒优化20 

2.1 基于矩信息的鲁棒优化概述20 

2.2 基于矩信息的鲁棒期望优化21 

2.2.1 分段线性凸函数22 

2.2.2 子优化问题函数24 

2.3 基于矩信息的鲁棒CVaR优化25 

2.3.1 …概率不等式25 

2.3.2 鲁棒CVaR34 

2.3.3 基于RCVaR的鲁棒优化38 

2.4 本章小结40 

第3章 基于矩信息的鲁棒库存优化方法及算法41 

3.1 批量订购问题41 

3.1.1 问题背景41 

3.1.2 顾客需求的分布函数集42 

3.2 两阶段批量订购鲁棒优化模型45 

3.2.1 问题模型45 

3.2.2 第二阶段费用函数的等价最短路形式47 

3.3 等价二阶锥规划模型49 

3.4 参数搜索方法54 

3.4.1 参数搜索的基本思想54 

3.4.2 区间参数搜索方法56 

3.4.3 需求不相关条件下子问题的求解57 

3.4.4 需求部分相关条件下子问题的求解59 

3.5 数值实验65 

3.5.1 算法的有效性66 

3.5.2 鲁棒模型的有效性67 

3.6 本章小结68 

第4章 基于矩信息的鲁棒路径规划方法69 

4.1 鲁棒路径规划问题模型69 

4.1.1 路径规划问题及可靠性准则69 

4.1.2 鲁棒路径规划问题70 

4.1.3 概率分布函数集的构造71 

4.2 对偶估计方法71 

4.2.1 对偶形式71 

4.2.2 计算(P)下界的场景方法73 

4.2.3 计算(P)上界的半正定规划方法73 

4.3 原始估计方法76 

4.3.1 RM\ETT的解析表达式76 

4.3.2 求解(P)的原始估计方法79 

4.4 数值实验80 

4.5 本章小结83 

第5章 随机参数独立的鲁棒优化模型的参数搜索算法84 

5.1 旅行时间独立的鲁棒路径规划问题84 

5.1.1 凹费用的最短路问题84 

5.1.2 模型分析85 

5.2 单调下降参数搜索86 

5.3 交叉点参数搜索方法88 

5.4 改进的区间参数搜索91 

5.5 加速标签修正算法92 

5.6 数值实验95 

5.6.1 实验环境95 

5.6.2 实际交通网络的计算结果97 

5.6.3 网格网络的计算结果98 

5.7 本章小结100 

第6章 随机参数相关的鲁棒优化模型的拉格朗日算法101 

6.1 旅行时间相关的鲁棒路径规划问题101 

6.2 拉格朗日对偶问题103 

6.2.1 协方差矩阵分解103 

6.2.2 问题转化103 

6.2.3 对偶化简104 

6.3 拉格朗日算法105 

6.3.1 约束生成算法105 

6.3.2 次梯度投影算法107 

6.4 处理负环的方法109 

6.4.1 改进的约束生成算法110 

6.4.2 改进的次梯度投影算法110 

6.4.3 算法复杂度分析113 

6.5 拉格朗日算法对偶间隙分析114 

6.6 数值实验118 

6.6.1 计算算例118 

6.6.2 算法实现119 

6.6.3 计算性能分析120 

6.6.4 收敛性分析120 

6.6.5 运行时间分析121 

6.6.6 对偶间隙和…性分析125 

6.7 本章小结126 

参考文献127 

编后记135 

第1章概述

1.1不确定性与风险

不确定性因素在各类系统中广泛存在，并且会对系统性能产生很大的影响。研究不确定性现象，降低系统决策的风险具有重要的理论价值和现实意义。

在学术界和工程实践中，目前对不确定性尚无一致认可的定义[。在通常的研究和工程应用中，我们可以采用具有特定概率分布的随机变量、模糊变量或者不确定性集等方式来描述和刻画系统的各类不确定性因素。Verderame等[2详细讨论了农林业、电力能源、石油石化、交通运输等领域各类不确定性因素的描述方式，并指出研究者往往采用正态分布随机变量、指数分布随机变量、有界随机变量等来描述各类系统中的各种不确定性，如需求不确定性、运输服务时间不确定性、顾客到达数量不确定性、运输工具到达时间不确定性等。

不同研究者对于风险的定义也略有不同。一般来说，研究者往往采用不希望事件发生的概率及其发生时产生的后果严重程度等方式来定义风险3-5。具体而言，我们可以将风险定义为损失大小的不确定性或者某个事件可能结果的不确定性。风险的两个关键特征是其不确定性和呈现度。Samson等川深入分析了不确定性和风险两者之间的关系。他们采用不确定性区间来描述不确定性，然后以其随机概率分布描述风险，建立两阶段模型。

风险管理是一门研究历史悠久且内涵丰富的学科。在经历了20世纪30年代的经济大萧条之后，各国学者对风险的研究更加重视。20世纪70年代，学术界已经形成关于风险的比较系统化的研究体系。现在的风险管理已经成为组织管理的一个重要研究方向，并在金融财政、企业运营、项目管理等领域得到广泛的应用。在学术界，研究者对风险构成要素、风险判别、风险量化、风险评估、风险干预等理论和方法进行了深入的研究(6]。

不确定性优化决策和风险管理有紧密的联系。本书主要研究系统参数的不确定性，并认为其具有随机性，用随机变量的概率分布函数来描述决策问题中的不确定性。但是，由于不确定性的未知性，系统随机参数的精确概率分布信息往往无法得到。为此，一族概率分布函数(即分布函数集)被提出来。具体而言，随机参数的分布函数集可以基于随机参数的矩信息(支撑集、均值、协方差矩阵等)进行构造。假定该分布函数集包含随机参数的真实分布，为了降低系统决策的风……