数学与艺术

蔡天新，浙江台州人，曾是少年大学生，山东大学理学博士。现为浙江大学求是特聘教授、数学学院特聘导师。他也是一位诗人、随笔和游记作家，著有《美好的午餐》《日内瓦湖》《数学简史》《数学的故事》《小回忆》《海边的男孩》《26城记》《50天环游世界》等30多部文学、学术和普及著作，外版著作20多部，其中英文版8部。主编《现代诗110首》(蓝红黄卷)《冥想之诗》《漫游之诗》等，另有译著《鲁拜集》。

近年来，蔡天新应邀在6大洲大中学校，图书馆和书店等做过数百场公众讲座，足迹遍及每个省份。2012年，他抵达坦桑尼亚——他的第100个国家。他曾获得国家科学技术奖，国家教学成果奖和多个国际诗歌奖。2015年和2022年，蔡天新入选首届杭州十大创新人物和第八届当当网影响力作家。

引 言

第一章 希腊数学与希腊艺术

1 毕达哥拉斯

2 《诗学》与《原本》

第二章 文艺复兴时期的绘画与几何

1 斐波那契

2 阿尔贝蒂

3 达·芬奇与丢勒

第三章 天才的世纪

1 德扎尔格与笛卡尔

2 费尔马与帕斯卡尔

3 牛顿与莱布尼茨

第四章 数学与音乐

1 高斯

2 巴赫

第五章 梦幻与现实

1 非欧几何学

2 精神分析学

第六章 个性与共性

1 拓扑天使与代数魔鬼

2 超现实主义与表现主义

参考文献

20世纪美国数学史家莫里斯·克莱因（Mor-risKline,1908—1992）认为,“文艺复兴是数学精神的复兴”。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认,“只有紧紧地依靠数学,才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵”。也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限,才使得接下来的17世纪成为“天才的世纪”,且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海(AlfredWhitehead,1861—1947)在列举了诸多伟大发现之后感叹道,“这个世纪可以说是时间不够,没法把天才人物的重大事件摆布开来”。

相比之下,音乐与数学的关系更为隐秘,但历史却更加悠久,肇始于毕达哥拉斯时代。有一天,这位哲人走过一家铁匠铺,听到了叮叮当当的声音,他经过研究,发现了音程之间的数的关系,继而提出了“万物皆数”这一哲学论断,持续影响了后世的欧洲文明。而到了18和19世纪,德意志的名山哈茨山南北两侧,两座地理上对称的小城爱森纳赫和不伦瑞克,相继诞生了“音乐之父”巴赫和“数学王子”高斯。前者被誉为“音乐家中的数学家”,后者的数学发现和理论有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同时代的瑞士数学家欧拉则撰写了著作《音乐新理论的尝试》,他还提出了调性网络的概念,如今仍应用于和声学的研究。

高斯是非欧几何学的三位发现者之一,另一位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名,但有一句话流传后世,“从虚无中,我开创了一个新的世界”。非欧几何学大大拓宽了数学的研究领域,它与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。在黎曼几何中,球面上的直线是大圆(圆心在球心的圆),两点间的最短距离是经过这两点的大圆上的弧线。例如,从上海飞纽约的最短航线不是经过太平洋,而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此,引力源于时空弯曲,光沿着弯曲的弧线传播。

鲍耶去世七年以后,诞生了二元政体的奥匈帝国,而在他去世前四年,奥地利医生弗洛伊德已经出生,他后来创立了精神分析学,对现代主义艺术进行了细致的剖析。弗洛伊德与布洛伊尔合著的《癔病研究》是所谓的自动写作法的延伸,而他的《梦的解析》是一部具有划时代意义的巨著,书中分析了梦的工作和基本活动,认为梦是以扭曲的形式体验到的被禁止的欲望,所有的玩笑都有认真的成分。弗洛伊德还给出了力比多和本我、自我、超我等概念,为潜意识学说奠定了基础,堪称人类认识自身的里程碑。特别地,弗洛伊德的学说深刻地影响了超现实主义诗歌和绘画。

进入20世纪以来,抽象化成为数学和艺术的共性,我们各举它们的两个主要分支———拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例,说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表,而抽象代数充斥着理性的符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中,也有两个有着颇为相似的风格特征,那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是,弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释了弗氏学说,还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。

说到数学和艺术的关系这个主题,有许多科学家(包括诺贝尔奖得主)和艺术家都曾做过不同程度的探讨。但我留意到,他们更关注数学和艺术的外在形式,比如对称之美(也有的在方法论上做过探究)。但从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性,似乎还没有人做过系统的阐释。本书是这方面的一次尝试。正如西班牙哲学家乔治·桑塔耶纳所言:“机智的特征在于深入到事物的隐秘深处,从中找寻到相互关系。”幸运的是,本人在数学和艺术两方面都做了长时间的实践和探索,有着第一手的经验和认识,加以适当的提炼和总结,写成了这本小书,期待得到各方读者的批评指正。

值得一提的是,1997年元月,我获得机会申报霍英东教育基金会的高等学校青年教师基金项目,决定以“数学与艺术”为题并列好目录和写作计划,随后冒昧打电话给有一面之交的数学家吴文俊先生(中国科学院院士、首届国家最高科学技术奖得主),没想到吴老先生认为这是创新项目,值得一试,他欣然同意,并亲笔撰写了推荐书。遗憾的是,那次申请没有成功,我也没有再见到吴老。20多年过去了,教育部设立人文社科专项科普基金,我以“数学与艺术”为题再次申报,终获成功,也算可以告慰吴先生在天之灵了。

本书沿着历史轨迹，探究数学与艺术的相互关系。古希腊的毕达哥拉斯提出“万物皆数”的命题，稍后亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《原本》先后建立起艺术和数学的共同准则，即模仿说。文艺复兴时期，造型艺术与几何学紧密相连，中心人物有阿尔贝蒂、达·芬奇和丢勒，以至于文艺复兴被认为是“数学精神的复兴”。17世纪是“天才的世纪”，跨界人物频出。之后，相继出现了“音乐家中的数学家”巴赫、精通音乐理论的数学家欧拉和“数学王子”高斯。过去两个世纪以来，现代艺术流派精彩纷呈，涌现了精神分析学和非欧几何学，超现实主义和表现主义、拓扑学和抽象代数，前一对体现出理论上的契合，后两对则分属创作和研究实践，其中超现实主义和拓扑学推崇个性，而表现主义和抽象代数则强调共性。