现代数值计算

第 1章 科学计算与MATLAB 1

1．1 科学计算的意义 1

1．2 误差基础知识 2

1．2．1 误差的来源 2

1．2．2 误差度量 2

1．2．3 有效数字 3

1．2．4 向量的误差 3

1．2．5 计算机的浮点数系 4

1．2．6 一个实例 4

1．2．7 数值计算中应注意的几个问题 5

1．3 MATLAB软件 8

1．3．1 简介 8

1．3．2 向量和矩阵的基本运算 9

1．3．3 流程控制 16

1．3．4 脚本文件和函数文件 19

1．3．5 帮助系统 23

1．3．6 画图功能 27

1．3．7 数据操作 31

习题一 34

数值实验一 34

第 2章 线性方程组的直接解法 36

2．1 高斯消去法 36

2．2 矩阵的三角分解 40

2．2．1 LU分解和LDU分解 40

2．2．2 乔列斯基分解 43

2．2．3 追赶法 45

2．2．4 分块三角分解 47

2．3 QR分解和奇异值分解 48

2．3．1 正交矩阵 48

2．3．2 QR分解 51

2．3．3 奇异值分解 53

习题二 54

数值实验二 56

第3章 多项式插值与样条插值 57

3．1 多项式插值 57

3．1．1 多项式插值问题的定义 57

3．1．2 插值多项式的存在58

3．1．3 插值基函数 58

3．2 拉格朗日插值 59

3．2．1 拉格朗日插值基函数 59

3．2．2 拉格朗日插值多项式 59

3．2．3 插值余项 61

3．3 牛顿插值 62

3．3．1 差商 62

3．3．2 牛顿插值公式及其余项 65

3．3．3 差分与等距节点的插值公式 66

3．4 埃尔米特插值 67

3．4．1 两点三次埃尔米特插值 67

3．4．2 埃尔米特插值多项式的余项 69

3．4．3 n+1个点2n+1次埃尔米特插值多项式H2n+1(x)及其余项R2n+1(x) 69

3．5 三次样条插值 71

3．5．1 样条插值概念的产生 71

3．5．2 三次样条函数 74

习题三 82

数值实验三 84

第4章 函数逼近 85

4．1 内积与正交多项式 85

4．1．1 权函数和内积 85

4．1．2 正交函数系 86

4．1．3 勒让德多项式 87

4．1．4 切比雪夫多项式 88

4．1．5 其他正交多项式 90

4．2 **佳一致逼近与切比雪夫展开 90

4．2．1 **佳一致逼近多项式 90

4．2．2 线性**佳一致逼近多项式的求法 92

4．2．3 切比雪夫展开与近似**佳一致逼近多项式 93

4．3 **佳平方逼近 94

4．3．1 预备知识 94

4．3．2 **佳平方逼近 95

4．4 曲线拟合的**小二乘法 99

4．4．1 **小二乘法 99

4．4．2 利用正交多项式做**小二乘拟合 102

4．4．3 非线性**小二乘问题 104

4．4．4 矛盾方程组 107

4．5 周期函数逼近与快速傅里叶变换 108

4．5．1 周期函数的**佳平方逼近 108

4．5．2 快速傅里叶变换(FFT) 110

习题四 112

数值实验四 113

第5章 数值积分与数值微分 114

5．1 几个常用积分公式及其复合积分公式 114

5．1．1 几个常用积分公式 114

5．1．2 代数精度 116

5．1．3 积分公式的复合 118

5．2 变步长方法与外推加速技术 123

5．2．1 变步长梯形法 123

5．2．2 外推加速技术与龙贝格求积方法 124

5．3 牛顿-科茨公式 126

5．4 高斯公式 128

5．4．1 高斯公式的定义及性质 128

5．4．2 常用高斯型公式 132

5．4．3 高斯型公式的应用 137

5．5 多重积分的计算 140

5．5．1 二重积分的计算 140

5．5．2 蒙特卡罗模拟求积法简介 143

5．6 数值微分 146

5．6．1 基于拉格朗日插值多项式的求导方法 146

5．6．2 基于样条函数的求导方法 149

习题五 152

数值实验五 154

第6章 线性方程组的迭代解法 156

6．1 范数和条件数 156

6．1．1 矩阵范数 156

6．1．2 扰动分析和条件数 157

6．2 基本迭代法 159

6．2．1 雅可比迭代法 160

6．2．2 高斯-赛德尔迭代法 161

6．2．3 超松弛(SOR)迭代法 162

6．2．4 迭代的收敛性分析和误差估计 164

6．3 不定常迭代法 168

6．3．1 **速下降法 169

6．3．2 共轭梯度法 172

6．3．3 广义极小残量法 175

6．3．4 预处理技术 180

习题六 181

数值实验六 183

第7章 非线性方程求根 184

7．1 非线性方程求根的基本问题 184

7．2 二分法 187

7．3 不动点迭代方法 188

7．4 迭代加速 191

7．5 牛顿法 193

7．6 割线法 199

7．7 非线性方程组简介 201

7．8 非线性**小二乘问题 204

7．9 大范围求解方法 206

习题七 209

数值实验七 210

第8章 矩阵特征值与特征向量的计算 211

8．1 前言 211

8．2 幂方法 213

8．2．1 乘幂法 213

8．2．2 反幂法 217

8．2．3 结合原点平移的反幂法 218

8．3 QR方法 219

习题八 221

数值实验八 222

第9章 常微分方程初边值问题数值解 223

9．1 欧拉公式及其改进 223

9．1．1 欧拉公式 223

9．1．2 数值积分与多步法 225

9．1．3 预估校正公式 228

9．2 龙格-库塔公式 230

9．3 收敛性与稳定性 235

9．3．1 显式单步法的收敛性 235

9．3．2 单步法的稳定性 238

9．4 微分方程组和刚性问题 240

9．5 有限差分法 244

习题九 247

数值实验九 248

参考文献 249

索引 250

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本书是同济大学数学科学学院老师集体智慧的结晶，全书共9章，包括科学计算与MATLAB、线性代数方程组的直接法、线性代数方程组的迭代法、多项式插值与样条插值、函数逼近、数值积分与数值微分、非线性方程求解、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程初边值问题数值解。本书阐述了当今科学与工程研究中经常遇到的数值计算问题求解的新方法，如快速傅里叶变换、蒙特卡罗模拟求积法(高维积分计算)、数值求导的稳定算法、大型线性代数方程组的分块迭代算法等。