中学数学解题方法

韩祥临，博士，教授，硕士生导师，省中青年学科带头人。曾任中国数学会奇异摄动理论专业委员会副理事长、浙江省数学教育研究会副理事长、湖州市数学会理事长。主要从事奇异摄动理论、交通流和数学教育的研究工作，发表一级以上学术论文40余篇，出版专著1部、教材5部。被授予浙江省“优秀青年教师”、湖州市 “有突出贡献专业技术人才”、湖州师范学院“教学名师”等荣誉称号。获得浙江省教学成果奖一等奖、浙江省高等师范院校教学成果一等奖等多项奖励。

第1章数学问题与数学解题概论

1.1什么是数学问题

1.2数学问题的分类

1.3数学解题

1.4数学解题的程序

1.5数学解题的信息过程

第2章数学解题的化归法

2.1数学思想方法与化归法

2.2数学解题中的化归策略

第3章数学解题的典型方法

3.1演绎法与归纳法

3.2分析法与综合法

3.3直接法与间接法

3.4数学归纳法

3.5数学模型法

3.6RMI法

3.7换元法

3.8参数法

3.9待定系数法

3.10构造法

3.11递推法

3.12赋值法

3.13主元法

3.14面积法

3.15检验法

第4章不等式的求解与证明方法

4.1 用比较法求解的问题

4.2利用a2+b>2ab求解的问题

4.3基本不等式与其他方法相结合的问题

4.4条件中有“1”的问题

4.5含参数的不等式问题

4.6复杂不等式的证明问题

……

第5章函数问题顾的求解方法

第6章三角问题的求解方法

第7章排列组合与概率问题的求解方法

第8章圆锥曲线问题的求解方法

第9章数列问题的求解方法

第10章空间向量与立体几何的求解方法

附录1习题

附录2习题参考答案

参考文献

致谢

第1章数学问题与数学解题概论

1.1什么是数学问题

问题是数学的心脏。数学研究是围绕数学问题展开的。在数学研究过程中遇到的问题,往往是指要求回答或解释的题目,是需要用数学工具去研究或解决的数学矛盾，是具有智力挑战特征的、没有现成方法的、有待解决的数学情境。数学家常把结论已知的称为定理或公式,把结论未知的称为数学问题,并把数学问题分为两类:一是非常规数学情境问题;二是数学的应用问题。

在数学教学中,则把结论已知的常规数学问题也称为数学问题，这就是人们常说的“题”。因为它对学生而言，如何求解(或证明)还是未知的，与数学家面临的困难和情境是相似的,其性质是相同的。如果说数学家解题是一个创造和发现的过程,那么学生解题则是一个再创造和再发现的过程。在问题情境下,要对学生本人构成数学问题，必须满足三个条件。

（1）可接受性:学生能够理解这个问题,同时还表现出对该问题的兴趣;

(2)障碍性:学生暂时不能看出问题的求解思路、求解程序和答案，表现出其对问题的反应和处理问题的习惯模式是失败的;

(3)探索性:该问题又能使学生深入研究和进一步思考，激发学生展开各种探究活动,寻求新的解题途径,探索新的处理方法。

从结构上看，数学教学中的数学问题一般包括以下四点。

(1)条件:数学问题中已知或给定的东西。它可以是数据，可以是关系(指对已知的限制，可以分为已知与已知之间的关系、已知与未知的关系、数量关系和位置关系等)，也可以是问题的状态(指在问题所涉及的范围内以及解决问题的过程中的某一时刻或某一点的表达形式)。

(2)目标:数学问题的结论。它包括目标完全给定(如证明题)、目标不完全给定(如填空题、选择题)和前两种状态都具备的情形(如某些综合题)。

（3)运算:数学解题的过程。它是允许对条件采取的行动，可以是逻辑运算、数学变换、数学推导、数学计算，也可以是具体的操作。通过运算,改变问题的状态,，逐步向目标过渡。

……

本书紧扣中学数学课程标准和当前中学生数学学习的实际需求,以解题方法为统领,分10章论述了在中学数学中如何解题的问题。第1章是数学问题与数学解题概论,主要讲述什么是数学问题、数学问题的分类、数学解题的步骤、程序及其信息过程,从宏观上阐明如何解题,并通过典型实例进行了分析和说明。第2章讲述数学解题的核心方法——化归法,将数学思想方法进行了分类提炼,重点通过典型实例讲明了什么是化归以及化归的策略,分析了化归法中一般与特殊的关系、分解与组合的关系,以及如何处理好归纳与联想的关系。第3章是数学解题的具体方法,包括分析法与综合法,直接法与间接法,归纳法与演绎法,以及数学归纳法、RMI法、换元法、参数法、待定系数法、构造法、递推法、赋值法、主元法、面积法和检验法,并以各种数学方法为线索,通过典型的实例分析,来引导读者解题。第4章至第10章(5至10章分别由王生飞、王星鑫、胡峰成、李璜、徐锋、欧阳成执笔)按照中学数学内容以及高考的重点与难点,进行了解题分析,进一步深化和提升解题的方法与技巧。附录1是每章的配套习题,附录2是对应习题的参考答案。书中的每道例题或习题的解题过程由三部分组成：分析(理清解题思路)、解答(规范的求解过程)和说明(问题的拓展或总结)。本书可作为学科教学(数学)专业的硕士研究生(重点学习1—3章)和数学（师范）专业的大学生(重点学习3—10章)的学习用书、高中生(重点学习4—10章)的高考复习用书和中学数学教师的教学参考书。