数学物理方程

第l章 数学建模和基本原理介绍

§1.1 数学模型的建立

1.1.1 弦振动方程和定解条件

1.1.2 热传导方程和定解条件

1.1.3 泊松方程和定解条件

§1.2 定解问题的适定性

1.2.1 基本概念

1.2.2 适定性概念

§1.3 叠加原理

1.3.1 二阶线性偏微分方程解的叠加原理

1.3.2 线性定解问题解的叠加原理

1.3.3 叠加原理的应用

§1.4 齐次化原理

1.4.1 由含参变量积分或无穷级数表示的变换

1.4.2 常微分方程中的齐次化原理

1.4.3 微分方程中的齐次化原理

§1.5 二阶线性偏微分方程的分类和化简

1.5.1 二阶线性偏微分方程的分类

1.5.2 两个自变量二阶线性偏微分方程的化简

习题

第2章 分离变量法

§2.1 特征值问题

2.1.1 矩阵特征值问题

2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题

§2.2 分离变量法

2.2.1 弦振动方程定解问题

2.2.2 热传导方程定解问题

2.2.3 平面上位势方程边值问题

§2.3 基于MATLAB的定解问题求解方法

2.3.1 基于pdet00l的偏微分方程求解方法

2.3.2 基于函数pdepe()的偏微分方程求解

习题

第3章 贝塞尔函数

§3.1 二阶线性常微分方程的幂级数解法

3.1.1 常系数线性方程的基解组

3.1.2 变系数二阶线性微分方程的幂级数解法

§3.2 贝塞尔函数

3.2.1 r函数

3.2.2 贝塞尔方程和贝塞尔函数

3.2.3 贝塞尔函数的性质

3.2.4 贝塞尔方程的特征值问题

3.2.5 圆域上拉普拉斯算子的特征值问题

§3.3 多个自变量分离变量法举例

3.3.1 圆柱体或圆域上定解问题

3.3.2 。 矩形域上定解问题

习题

第4章 积分变换法

§4.1 热传导方程柯西问题

4.1.1 一维热传导方程柯西问题

4.1.2 。 二维热传导方程柯西问题

§4.2 波动方程柯西问题

4.2.1 一维波动方程柯西问题

4.2.2 二维和三维波动方程柯西问题

4.2.3 解的物理意义

§4.3 积分变换法举例

习题

第5章 格林函数法

§5.1 格林公式

§5.2 拉普拉斯方程基本解和格林函数

5.2.1 基本解

5.2.2 格林函数

§5.3 半空间和圆域上的狄利克雷问题

5.3.1 半空间上的狄利克雷问题

5.3.2 圆域上的狄利克雷问题

§5.4 一维热传导方程和波动方程半无界问题

5.4.1 一维热传导方程半无界问题

5.4.2 一维波动方程半无界问题

习题

第6章 特征线法

§6.1 一阶偏微分方程特征线法

6.1.1 一阶线性偏微分方程特征线法

6.1.2 一阶拟线性偏微分方程特征线法

6.1.3 特征线法应用举例

§6.2 一维波动方程特征线法

习题

第7章 勒让德多项式

§7.1 勒让德多项式

7.1.1 勒让德方程及勒让德多项式

7.1.2 勒让德多项式的微分表示形式

7.1.3 勒让德多项式的生成函数和递推公式

7.1.4 勒让德方程特征值问题

§7.2 球面调和函数和球形贝塞尔函数

7.2.1 拉普拉斯算子的其他表示形式

7.2.2 与目无关的球面调和函数

7.2.3 与臼有关的球面调和函数

7.2.4 球形贝塞尔函数

习题

附录1 测验题

附录2 部分习题参考答案

参考文献

本书根据高等学校非数学类专业数学物理方程课程的教学要求编写而成，较系统地介绍了偏微分方程定解问题的建立、分离变量法、贝塞尔函数、积分变换法、格林函数法、特征线法和勒让德多项式。同时，本书根据教学发展趋势，增加了基于MAILAB的定解问题数值求解内容，以便加强读者对定解问题及其解的直观理解。本书以解的结构为主线，介绍求解偏微分方程定解问题的基本思想和主要方法。