数学分析(上册)

绪论1第一章实数5S1集合与映射

§2第一次数学危机

S3实数公理系统

S4实数系的构造

S5附录.

第二章序列极限55

§1 数列极限.

§2 无穷大量，无穷小量，Stolz公式…

§3 Euclid空间中的基本概念

S4 Euclid空间中的基本定理

S5上、下极限

S6正项级数.

§7任意项级数

第三章函数极限与连续 131§1函数极限

……

S5 Taylor 多项式与插值多项式

S6 Taylor 展开式的计算及应用

第七章微分问题317S1隐函数存在定理.

§2极值问题.

S3常系数线性微分方程.

54 导数的其他应用

参考文献353索引 353

本教材根据数学分析课程教学中出现的一些新的需求而编写。全书共十二章，主要内容包含实数、序列极限、函数极限与连续、导数与微分、不定积分、微分中值定理和Taylor展开式、微分问题、积分、函数列与函数项级数、反常积分与含参变量积分、曲线积分与曲面积分、Fourier级数等。教材较详细地介绍了实数理论，以一元和多元统一的方法引入了函数的极限、导数和积分。在积分理论方面，引入了Lebesgue积分理论并以此为基础展开后续内容的讨论。Lebesgue积分的引入使得教材能够更深入地讨论一些问题，比如含参变量积分的性质，对变分法基本思想和Fourier变换基本性质的介绍也得以顺利进行。教材在内容的编排和取舍上，注重了全书的自洽性以及与数学各分支的联系。例如，给出了各基本初等函数的严格定义，按Hausdorff 测度讨论了曲面面积的定义和计算公式等。为加强数学分析课程与其他数学课程间的联系，同时也为了把数学分析课程中的一些问题讨论得更深入更清楚，教材介绍了高等代数、常微分方程、复变函数、实变函数和泛函分析等课程中的一些简单而重要的定理，作为数学分析知识的应用。其中包括Young不等式，Holder不等式，Minkowski不等式，摄动法，卷积，Arzela-Ascoli定理，凸集分离定理等。