非线性振动

第二版序言

第一版序言.....

绪论..

$0.1非线性振动的研究对象.....

$0.2

非线性振动的研究方法....

$0.3

非线性振动的发展简史.....

$0.4单自由度线性振动的主要结论...

0.4.1自由振动.......

0.4.2受迫振动.....

第一章非线性振动的定性分析方法......$1.1运动稳定性理论基础...........

1.1.1稳态运动和扰动方程........

1.1.2李雅普诺夫稳定性定义.............1.1.3李雅普诺夫直接方法................1.1.4保守系统的稳定性定理.............1.1.5吸引性、吸引子和吸引盆...........$1.2一次近似稳定性理论...........

1.2.1线性系统的稳定性准则.........1.2.2劳斯-赫尔维茨判据....

1.2.3开尔文定理...

1.2.4李雅普诺夫一次近似理论

$1.3相平面方法

1.3.1相平面内的相轨迹

1.3.2相轨迹的奇点，

1.3.3保守系统的势能曲线与奇点

1.3.4静态分岔..

1.3.5相轨迹的作图法

1.3.6耗散系统的自由振动.

$1.4奇点的分类...

1.4.1平面动力学系统...

1.4.2线性系统的奇点类型

1.4.3奇点的分类准则

$1.5极限环

1.5.1瑞利方程和范德波尔方程

1.5.2极限环的稳定性

1.5.3庞加莱指数・

1.5.4庞加莱-本迪克松定理，

1.5.5闭轨迹不存在条件..

1.5.6闭轨迹稳定性定理。

习题

第二章非线性振动的近似解析方法..

$2.1谐波平衡法..

2.1.1谐波平衡法概述。

2.1.2伽辽金法，

2.1.3弱非线性系统..

2.1.4达芬系统的自由振动

2.1.5达芬系统的受迫振动

$2.2正规摄动法。

2.2.1摄动法概述・

……

附录七

平面霍普夫分岔定理的证明

A.7.1霍普夫分岔定理证明的思路....

A.7.2霍普夫分岔系统的PB范式.......A.7.33阶PB范式截断系统的分岔特性...

附录八混沌的拓扑描述..........

A.8.1符号动力学..........

A.8.2斯梅尔马蹄映射.....

A.8.3横截同宿点....

A.8.4拓扑意义上的混沌与可观测的混沌..

附录九梅利尼科夫函数的推导......

附录十什尔尼科夫定理的证明思路....参考文献.....

索引

外国人名译名对照表...

习题答案

作者简介

绪论

S0.1非线性振动的研究对象

在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中,普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化，通常将这类现象称为振荡.例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性，振动是一种特殊的振荡,即平衡位置附近微小或有限的振荡，如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等，从最小的粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体,无处不存在振动现象.有时人们力图防止或减小振动，如建筑结构的隔振和车辆船舶的减振;有时又力图制造和利用振动,如振动输送、振动打桩、振动能量采集，尽管振动现象的形式多种多样,但有着共同的物理规律和统一的数学表达形式，因此有可能建立统一的理论来进行研究,即振动力学，振动力学应用数学分析、实验量测和数值计算等方法,探讨振动现象的机理、振动系统的特性及其激励与响应的关系,为解决与振动有关的实际问题提供理论依据，它是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一.

根据描述振动的数学模型的不同,振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论.线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统,其数学描述为线性常系数微分方程，线性振动理论是对振动现象的近似描述,在振幅足够小的大多数情况下,线性振动理论可以足够准确地反映振动的客观规律，频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念.

实际工程系统中广泛存在着各种非线性因素,如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、科氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等，因此，工程实际中的振动系统绝大多数是非线性系统，由于非线性微分方程尚无普遍有效的求解方法，而线性微分方程的数学理论已十分完善,因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法,但仅限于一定的范围.当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐共振、内共振、跳跃和同步等现象作出解释，而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现，早在1940年,美国塔科马(Tacoma) 大桥因风载引起振动而坍塌的事故,就是典型的非线性振动引起破坏的例子，因此有必要发展非线性振动理论,建立对非线性系统的计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非线性振动问题.

参数振动是一种特殊的振动形式，它的数学模型也可能是线性微分方程,但系数不是常数，而是时间的周期函数.因此不属于常见的线性振动理论，也纳入非线性振动的研究范围。

$0.2非线性振动的研究方法

非线性振动理论的研究目的是基于非线性振动系统的数学模型,在不同参数和初始条件下,确定系统运动的定性特征和定量规律，非线性振动系统的数学模型为非线性微分方程.与线性微分方程不同,非线性微分方程尚无普遍有效的求解方法,很难得到精确的解析解.对于工程中的实际非线性振动问题，除采用实验方法进行研究以外，常用的理论研究方法为:几何方法、解析方法和数值方法。

几何方法是研究非线性振动的一种定性分析方法.传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动过程的直观描述.在常微分方程定性理论的基础上,根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质，利用相平面内的奇点和极……

本书第1版为教育部研究生工作办公室推荐的研究生教学用书。书中系统地叙述了非线性振动的基本理论、研究方法以及各种典型的非线性振动现象。本书采用研究方法与振动类型两种体系兼顾的叙述方式，注意兼顾传统的非线性振动理论与近代非线性动力学的最新发展。全书除绪论以外共分六章。第一章叙述非线性振动的定性分析方法，包括运动稳定性理论和相平面方法。第二章系统地叙述非线性振动的各种近似解析方法。第三章自激振动和第四章参数振动中，则综合应用上述两种研究方法讨论这两种重要的非线性振动类型。第五章分岔理论基础和第六章混沌振动是关于近代非线性动力学研究成果的系统介绍。各章的叙述以单自由度系统为主，也包含多自由度系统内容。书中的公式推导力求简练化，并注意解释各种非线性振动现象的物理意义，以及与实际工程技术问题的紧密联系。各章均附有例题和习题。在附录中给出一些重要定理和方法的数学证明。书中提供计算机辅助教学课件，读者可利用二维码下载这些课件。