初等几何研究

第一章 光辉灿烂的几何文化

§1．1 几何学的发展简史

§1．2 欧几里得的《原本》

§1．3 第五公设的试证

§1．4 希尔伯特的公理体系

§1．5 非欧几里得几何

§1．6 非欧几里得几何的应用与发展

§1．7 中国古代数学中的几何问题

§1．8 中国近现代数学家添彩几何文化

§1．9 笛卡儿的几何思想方法

习题

第二章 科学严谨的几何证明

§2．1 简明逻辑知识

§2．2 证题方法

§2．3 证题中的两大问题

§2．4 机器证明简介

习题

第三章 快捷准确的几何计算

§3．1 几何计算中常用的定理与公式

§3．2 面积方法与面积计算

§3．3 几何中的向量计算

§3．4 几何计算中的常见错误

习题

第四章 妙趣横生的几何变换

§4．1 图形的相等或合同

§4．2 平移和旋转变换

§4．3 轴反射变换

§4．4 平移、旋转、轴反射之间的关系

§4．5 相似变换

习题

第五章 现代技术的几何作图

§5．1 计算机辅助几何教学

§5．2 Word几何作图

§5．3 GeoGebra几何作图

§5．4 AutoCAD，Excel，MATLAB等作图软件简介

习题

第六章 各类考试中的几何问题

§6．1 中考几何问题

§6．2 高考几何问题

§6．3 竞赛几何问题

习题

第七章 广阔空间的几何应用

§7．1 生活中的几何问题

§7．2 生产中的几何问题

§7．3 科技中的几何问题

习题

第八章 数学课标中的几何新知

§8．1 几何教学中的新理念

§8．2 几何教学中的新内容

§8．3 几何教学中的新方法

习题

第九章 与时俱进的几何课程

§9．1 国际几何课程改革概述

§9．2 国内几何课程改革现状

§9．3 几何课程改革问题争鸣

§9．4 几种几何课程教材简介

§9．5 不同版本初中数学课标教材几何编排比较

习题

参考文献

第一章光辉灿烂的几何文化

S1.1几何学的发展简史

几何学的发展历经了四个基本阶段.

一、经验事实的积累和初步整理

在古埃及，尼罗河水年年泛滥，两岸田亩地界经常被淹，事后必须设法测量，重新勘定地界线，在这个实际的需求中，测量土地的方法自然应运而生.据考证，西方的几何学就起源于这种测地术.“几何学”这个名词是我国明朝徐光启译的，这个词的原义无论在拉丁文或希腊文里都包含测地术的意思.

众所周知，古埃及建有很多金字塔，这些金字塔的工程非常浩大，而它的精美造型，直到现在还令人十分叹服.由此可见，埃及人很早就已经知道很多几何知识了.大约公元前1650年，埃及人阿姆士（A’hmose)手抄了一本书，即后人所称的“阿姆士手册”，最早发现于埃及底比斯的废墟中.公元1858年该书由英国的埃及学者莱茵德(Rhind）购得，故又名“莱茵德纸草书”.此书中载有很多关于面积的测量法以及关于金字塔的几何问题.这本古老的数学书出于埃及并不是偶然的，应该说是埃及人智慧积累的结果.

在我国秦汉间成书的《周髀算经》和《九章算术》已记载了许多关于几何的问题，由这两部书可以知道“圆周率”及“勾股定理”很早就被中国古代数学家研究了.再推前一些，无论在石器时代的陶器上，还是在殷商的钟鼎上，都已经有了精美的几何图案所以，我国对几何学的研究也有悠久的历史.

由此可见，人们在实践过程中积累了丰富的几何经验，形成了一些粗略的概念这些概念反映了某些经验事实以及它们之间的联系，并逐步得到系统的整理.而且，在这个漫长的过程中，人们也进行过某些简单的推理和直观的论证.

二、理论几何的形成和发展

古埃及虽然积累了许多几何知识，但是还没有将其组织成一门系统的科学.后来希腊和埃及通商，当时希腊的许多学者先后来到埃及留学，于是几何知识渐渐传入希腊，此后，这些知识无论在实际材料方面，还是在某些理论基础的奠基方面，在希腊得到了辉煌发展.这样，几何学便成为一门独立的科学，这门科学后来传播到欧洲诸国，一直流传至今.

古希腊的许多数学家，如泰勒斯（Thales)、毕达哥拉斯（Pythagoras）、希波克拉底（Hippocrates）、柏拉图（Plato）、欧几里得（Euclid）等人，对几何学都有很大贡献.泰勒斯曾发现若干几何定理和证明的方法，这是理论几何的开端，他还利用几何定理来解决实际问题，如凭一根竹竿就可以测得金字塔的高度，毕达哥拉斯认为数学是一切学问的基础，他对几何有很多研究，著名的勾股定理在西方就叫做“毕达哥拉斯定理”希波克拉底是编著第一部初等几何教科书并首先使用“反证法”的人，他还与柏拉图等同为研究“几何三大问题”的人，并因此发现了许多几何定理.柏拉图首创证题利器“分析法”，而确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，这种思想也由柏拉图开其先河，欧几里得搜集当时所有已知的初等几何知识的材料（也包括他自己的发现)，按照严密的逻辑系统，编成《原本》13卷，这本书在历史上极负盛名，被后世誉为几何学的杰作.

在我国，战国时代的墨子及其弟子们著有《墨经》，其中所载科学文字、言论主张都极其精微深刻.就其所论的几何学的各条来说，较之西方近百年后欧几里得的论述，毫无逊色，如《墨经》上说：“圜，一中同长也，”这里的圜即是圆，是说圆有唯一的中心，而这个中心距圆上任何点都一样远，又如“方，柱隅四罐也”，其中的方指正方形，柱就是边，隅就是角，灌有相等的意思，是说正方形四边及四角分别相等，像这样对“圆”和“方”下的定义，字句简单而定义准确，欧几里得所下的“圆”和“正方形”的定义亦不过如此.其后又有荀子，在他及其弟子们所著《荀子》中说：“五寸之矩，尽天下之方也。”这和欧几里得的第四公设“凡直角都相等”意义完全相同，由此记录可以窥见我国古代几何的一斑.

本书是在中小学新的数学课程改革背景下，按照“跟上时代，力求创新”的原则编写的，凸显新的课程改革的新理念、新内容、新方法与新特点，努力做到与中小学新教材有机衔接。全书构思新颖、取材典型，既注重理论探究，又注重与教学实际相结合；既有一定的学术研究价值，又有较好的教学参考价值。全书共九章，内容既包括几何证明与计算，又包括几何作图与应用，还包括几何试题与课程等。本次修订增添了三节，更新了第五、六、八章的内容，调整了部分例题与习题，并在各章末增加部分习题参考解答，以二维码的形式呈现。