数理逻辑引论

第0章 绪论

0.1 什么是数理逻辑

0.2 形式系统及其解释

第1章 命题与命题联结词

1.1 命题

1.2 命题联结词

1.3 真值函数

1.4 范式

1.5 范式与指派

1.6 命题联结词含量的完全性

习题与补充1

第2章 命题逻辑演算

2.1 命题逻辑的自然推理系统PN次的构造

2.2 命题逻辑的自然推理系统PN次的展开

2.3 命题逻辑的重言式系统PT次的构造

2.4 命题逻辑的重言式系统PT次的展开

2.5 PN次的简化及其与PT次的关系

习题与补充2

第3章 谓词与量词

3.1 命题的分解与谓词

3.2 量词与变元

3.3 函词与摹状词

3.4 指派与同真假性

3.5 永真性与可满足性

3.6 前束范式与Skolem范式3

习题与补充3

第4章 谓词逻辑演算

4.1 谓词逻辑的自然推理系统FN次的构造

4.2 谓词逻辑的自然推理系统FN次的展开

4.3 谓词逻辑的重言式系统FT次的构造

4.4 谓词逻辑的重言式系统FT次的展开

4.5 FN次的简化及其与FT次的关系

4.6 带等词或函词的谓词逻辑

习题与补充4

第5章 逻辑演算系统的整体特征

5.1 赋值与模型

5.2 可靠性与协调性

5.3 完备性

5.4 紧致性与可判定性

习题与补充5

附录

非经典逻辑纲要

参考文献

第0章绪论

在绪论中，主要讨论两个问题，其一是讨论究竟什么是数理逻辑这样一个问题.其二是谈谈与形式系统（即逻辑演算）及其解释相关的一些事情，对于上述问题一而言，我们将从数理逻辑历史发展的几个侧面加以分析讨论，并在综合各家所言之长的基础上表述我们的认识，主要围绕着数理逻辑的定义、研究对象、研究领域和学科归属等方面作些探讨也正因为这些探讨已经涉及了数理逻辑历史发展的几个侧面，因而在本书中，也就不再另辟专章去系统地阐述数理逻辑之历史概要了。

0.1什么是数理逻辑?

数理逻辑这个词，已经日趋频繁地出现在众多学科的文献与著作之中.不仅哲学家、逻辑学家、数学家和计算机专家的许多论著广为涉及数理逻辑的内容，甚至社会科学家和一些自然科学家，也在他们的某些工作中道及数理逻辑的这样或那样的内容.然而怎样来回答什么是数理逻辑这样一个问题呢？我们为此而查阅了一些辞海、辞典和数理逻辑教材或专著（参见文献[1]~文献[12])，首先觉得问题的全面回答应涉及数理逻辑的定义、研究对象、研究领域与学科归属等四个方面，当然，其中定义这个方面是最根本的.其次又深感对于数理逻辑这一学科，尚没有一个统一而被一致公认的定义.有的数理逻辑著作中完全不谈这个问题，而在文献[1]~文献[12]中，对于数理逻辑的研究对象的说法较为一致，即都认为数理逻辑以推理本身作为自己的研究对象，又对数理逻辑的研究领域的说法也较一致，都认为广义地说，数理逻辑的研究内容应包括逻辑演算、集合论、模型论、递归论和证明论等五个部分，其中逻辑演算(即命题演算与谓词演算）为基础部分.而狭义地说，数理逻辑仅指逻辑演算，至于学科归属方面，则有两种说法：其一说数理逻辑是数学的一个分支（J0]，其二说数理逻辑是逻辑学的一个分支[1].最后关于数理逻辑这一学科的定义，则往往因其侧重面不同而不尽一致，举例如下：“逻辑是研究推理的，数理逻辑则是研究数学家们所使用之推理的一门学问，”

“数理逻辑又称符号逻辑，用数学方法研究逻辑问题，特别是数学中的逻辑问题的科学.”(2]“数理逻辑亦称符号逻辑，数学的一门分科，主要研究推理、计算等逻辑问题，内容有模型论、公理集合论、递归论和证明论等，”3]“数理逻辑又名符号逻辑，它是逻辑学的一个分支，在其中使用数学

符号来研究数学各领域公共使用的逻辑推理”.4

“数理逻辑是研究推理，特别是研究数学中的推理的科学.本书叙述数理逻辑的基础性知识，包括逻辑演算(这里是指命题逻辑和一阶谓词逻辑)的基本内容，这些内容构成数理逻辑各个分支(模型论、证明论和构造性数学、递归论、集合论）的共同基础.”“什么是数理逻辑？它就是采用数学的方法来研究思维形式的逻辑结构及其规律的学问.”[6]

“研究推理的方法很多，用数学方法来研究推理就是数理逻辑。”

“数理逻辑亦称符号逻辑、理论逻辑、逻辑斯蒂.它是研究推理，特别是研究数学中的推理的科学.”[8]

“数理逻辑是形式逻辑与数学相结合的产物，也是一门数学，但数理逻辑研究的是各学科包括数学共同遵从的一般性逻辑规律，而各门学科只研究自身的具体规律.”[9]

“数理逻辑又称符号逻辑，是用数学的工具和方法研究推理、计算问题的一门科学，是数学的一个分支.它的主要内容有：命题演算、谓词演算、证明论、递归论、模型论和公理化集论等.”

“数理逻辑是逻辑和数学交织的一门边缘性科学，它的逻辑方面就是现代形式逻辑.狭义的数理逻辑是指用数学方法研究数学中的演绎思维和数学基础的学科，广义的数理逻辑也称为符号逻辑，包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论.数理逻辑一开始是用数学方法研究和处理形式逻辑，后来发展到研究数学思想方法和数学基础问题，目前它很大部分内容已经成长为数学的分支。

……

本书内容主要包括六部分, 分别是: 绪论、命题与命题联结词、命题逻辑演算、谓词与量词、谓词逻辑演算、逻辑演算系统的整体特征。具体内容包括: 什么是数理逻辑、形式系统及其解释、命题、命题联结词、真值函数、范式、范式与指派、命题联结词含量的完全性等。