数学和数学家的故事(第9册)

1. “众数归0”的狄非游戏——小学老师训练

孩子的一个游戏／ 1

狄非游戏／ 1

6次归0的正方形／ 5

安琪拉的三角形游戏／ 6

历史与推广／ 9

动脑筋想想看／ 10

2. 几何数列与级数／ 12

世界上*古老的数学趣题／ 18

函数的概念／ 18

动脑筋想想看／ 23

3. 魅力无穷的无字证明／ 25

平面几何的两个基本定理／ 26

勾股定理／ 28

其他一些有趣结果／ 31

与整数有关的结果／ 34

与三角比有关的定理／ 39

动脑筋想想看／ 40

4. 婆罗摩笈多定理／ 42

婆罗摩笈多的算术工作／ 43

婆罗摩笈多的几何工作／ 44

婆罗摩笈多面积公式更一般的形式／ 49

动脑筋想想看／ 51

5. 给一名害怕几何的学生的信／ 53

一名害怕几何的学生的来信／ 54

从托尔斯泰的一篇小说看几何的用处／ 60

6. 勾股弦幻方组的三种构造方法／ 66

引言／ 66

勾股定理的由来及用途／ 67

*早提出构造勾股弦幻方组的学者／ 71

斯潘塞的一个魔三角／ 75

我们的工作／ 76

埃马努伊利兹的勾股弦幻方组／ 78

EE型勾股弦幻方组的拓广／ 79

拓广勾股数组，6元2次勾股弦幻方组（4∶2型）／ 80

拓广勾股数组，4元3次勾股弦幻方组（3∶1型）／ 82

拓广勾股数组，5元3次勾股弦幻方组（4∶1型）／ 84

拓广勾股数组，7元5次勾股弦幻方组（6∶1型）／ 86

用4阶幻方为基图扩大倍数得到勾股弦幻方组的尝试／ 87

用4阶幻方构造7元5次勾股弦幻方组（6∶1型）／ 88

用LL法构造的勾股弦幻方组／ 89

勾3、股4、弦5幻方组／ 90

倍数勾股弦数组勾6、股8、弦10幻方组／ 92

勾股弦数组的拓广： A3、B4、C5、D6幻方组／ 93

构造勾股弦幻方组的三种方法大荟萃／ 95

对幻方远景展望／ 98

7. 速算那些事儿／ 100

我不知道我怎样变成了速算神童／ 100

速算大师威廉·克莱因／ 105

8. 笼罩在神奇面纱之下的不定方程／ 118

困扰人们长达358年的不定方程／ 119

中国是研究不定方程*早的国家／ 121

马克思解过的不定方程／ 124

民间流传的不定方程／ 125

如何求二元一次不定方程的整数解／ 128

挡板法／ 132

两个重要的二元二次不定方程／ 135

例题精解／ 137

一些优秀的不定方程的著作／ 146

动脑筋想想看／ 146

9. 有益大脑的数学思维游戏／ 151

数图／ 152

互素图的数学游戏／ 155

边互素图的数学游戏／ 159

10. 熊全治的回忆／ 163

我的家世／ 166

我的小家庭／ 167

我所受的教育／ 168

我大学毕业后的初期生活／ 170

办理留美手续／ 175

在印度和纽约／ 175

在密歇根／ 176

在威斯康星大学及西北大学／ 178

在哈佛大学／ 179

在理海大学／ 180

格罗夫教授之晚年／ 182

与邦皮亚尼教授之交往／ 182

与霍普夫教授之交往／ 183

与莫尔斯教授之交往／ 184

所担任过的职务及职业活动／ 185

我的研究及著作／ 187

11. 给《与小王子遨游不同的数学世界》读者的信／ 189

参考文献／ 196

不向人间怨不平，

相期浴火凤凰生。

柔蚕老去应无憾，

要见天孙织锦成！

——叶嘉莹《迦陵诗词稿》守榕姐在2015年8月15日电传她的好友陈文茜《今天的你比昨日的你慈悲、感恩》给我。

 看到陈文茜说：“自小我们学习许多课程，学数学‘1 1=2’‘9-5=4’，但我们没有学过人生何时该加、何时该减才会快乐；我们学英文、学历史、学地理、学化学、甚至学天文学……宇宙大爆炸，在某个点上创造了生命，偶然创造了我们。但人如何才能快乐？所有我们学习的‘课本’，都少了这门课。”心里有同感。

 现在的教育实际走偏了，缺少兴趣培养是中国基础数学教育中的失误。中国的教育只重视传授知识给学生，传授学生会做题、会猜题的能力，侧重在技术性训练，培养的是应试能力，鼓励的是拿了奖就是好学生。为在高考时得到高分，很多重点学校往往采取题海战术，训练学生的应试能力。孩子放学回家后，除了完成教师留的功课，还要在家长强逼下，做完规定数量的教辅书上的题。让学生感到读书是一件不快乐的事情，不少原本对数学很有兴趣的学生，变成了做题机器，在机械性的劳动中逐渐失去了对数学的兴趣，学生的创新能力被打压了，埋没了天赋很高的人才。

 丁肇中在2014年10月上海中欧国际工商学院大师课堂上谈从物理实验中获得的体会：“许多人认为，如果一个国家想要在技术和经济方面有竞争力，它必须集中于能有实际市场效益的实用性技术的发展，并使经济持续发展。从历史的观点来看，这观点是错误的。如果一个社会将自己局限于技术转化，显然，经过一段时间，基础研究不能发现新的知识和新的现象后，也就没有什么可以转化的。所以，技术的发展是生根于基础研究之中。”

 *总理在一次座谈会上讲道：“我们要搞原始创新，就必须更加重视基础研究，没有扎实的基础研究，就不可能有原始创新。国际数学界的*奖项菲尔兹奖，中国至今没有一人获得。现在IT业发展迅猛，源代码靠什么?靠数学!我们造大飞机，但发动机还要买国外的，为什么?数学基础不行……所以，大学要从百年大计着眼，确实要有一批坐得住冷板凳的人。”

 2016年2月11日，麻省理工学院、加州理工学院以及美国国家科学基金在华盛顿进行物理学界的一次历史性发布： 人类首次直接探测到引力波，爱因斯坦百年前预见的一种时空干扰波。麻省理工学院校长赖夫（L. Rafael Reif）就人类首次探测到引力波于12日致信全校，信中明确地指出：“我们今天庆祝的发现体现了基础科学的悖论： 它是辛苦的、严谨的和缓慢的，又是震撼性的、革命性的和催化性的。没有基础科学，*好的设想就无法得到改进，‘创新’只能是小打小闹。只有随着基础科学的进步，社会才能进步。”

 在圣何塞州立大学举办感谢教授服务餐会，轮到教书30年的我演讲，我让负责人念我提供的德隆古尔(Will Allen Dromgoole)写的诗歌《造桥者》：

在一个寒冷阴沉的夜晚，

一个老人走在孤独的路上，

不久来到一个巨大、深厚的裂口，

裂口下流着迟缓的水流。

他在微暗中走过去，

但是，当他安全到达彼岸时，

他回头在那里造了一座桥梁。

旁边一个旅人说：“老人家，

你是在浪费你的力气和精神，

因为这天结束时，你的旅程亦将结束，

你绝不会再经过这里，

而你已渡过这个巨大、深厚的裂口，

你却还要造一座桥，这是为了什么？”

造桥的老人抬起他那灰白的头，

说：“这位朋友，在我来的这条路上，

有个少年跟在我后面，

他必定也会来到这裂口旁。

这个地方对我是没构成烦恼，

但对那位少年却可能是个圈套。

因为他也必须在微暗中渡过这裂口，

我这座桥是为他而造的，这位朋友！”

 我只简单地说：“感谢圣何塞州立大学提供我机会从事教学和研究，我是为年轻一代造桥的人，如果有来生，我仍愿意从事教育的工作。”

 在我的散文集《梦里寻她千百度》中有一篇短文《我们都是造桥的人》，我写道：“有河，于是就应该有桥，于是就有造桥的人。我们现在所取得的一些成绩和成果，都是因为有许多人在我们的前面铺路造桥。当我们要走完人生道路时，不应该忘记还有后来人，我们应该给他们造路建桥。”

 俄罗斯和苏联有很好的科普传统，许多著名科学家十分重视科普工作。我小时候患有数学恐惧症，在初一时看到从苏联翻译的带有故事性的趣味数学书才对数学有兴趣，以后还成为数学工作者。让数学家把他们掌握的那些抽象生僻的词汇带进一般人的经验范围却是一件非常困难的事。我为了写高度通俗化的类似法国数学家庞加莱（H.Poincar）能够使工人、家庭妇女及教育水平不高的人看得懂的书，所费的时间比我写数学论文还要多十倍以上。

 这本书的对象是一般的读者——没有经过专业训练的人、一些害怕数学或者对数学误解的孩子。希望这套书能揭开数学神秘的面纱，让更多人能欣赏它的美貌。希望一些对数学鄙视、认为数学无用的人，能知道自己是多么无知和幼稚。因此我不要求读者是个有高深数学知识、了解各种数学符号和公式的人，只要读者能耐心看完，这套书能让读者了解科学工作者的想象力和人文情怀。对于有强烈求知欲的孩子，以及想在数学领域有创新工作的年轻人，我在这里介绍一些有深度的难题以及还未解决的问题，他们可以通过对这些问题的解决与探索提高自己的能力。我期盼着所有数学教师都能成为研究者，期盼着数学教学研究能真正在学校生根、开花、结果，这样才能提高学生研究性学习能力和素养。贫瘠深山里的老师们，不像在城市的数学老师容易取得参考资料和信息资讯，想到他们匮乏的情况，因此在写书过程中尽量搜罗一些资料和题目，让他们容易利用，让这套书成为一个小型图书馆。对于学数学专业的朋友们、数学爱好者阅读这套书也不会是浪费时间，你们会看到许多和你们专业不相关的数学家的故事，知道他们的研究方法，“他山之石可以攻玉”，或许得到启示另辟新天地。

 我想衷心感谢下面的朋友： 吴沛林、邵慰慈、高振滨、梁崇惠、梁培基、张福基、刘宜春、郑振勇、陈锦福、林节玄、林开亮、萧文强、钱永红、唐小明，李小露帮我把一些文稿打成文档校对，提供意见和资料，感谢上海科学技术出版社编辑包惠芳、田廷彦为这套书的出版而奔忙。

 2014年10月、11月、12月及2015年1月3日我进入急诊室9次，真是“大难不死”。觉得“时不我待啊！要赶快工作”。本来我计划在2015年10月时寄第6、7集的书稿给出版社，不幸在9月我的电脑坏了，我前几年写的书稿和研究论文及资料都没有了。我找朋友及大学电脑技工都没法使我的硬盘资料恢复。四个月只好恢复数学研究，用研究忘却失去文稿的悲伤。“屋漏偏逢连夜雨”，健康又出状况。13个月前我动了“食道裂孔疝”手术，把上升到横膈膜上的胃拉下去，把食道孔与胃连接的贲门缝小，结果不能吃东西，食欲下降，体重迅速下降38磅，几次因食物而呕吐。2016年1月14日又发生呕吐不止的情况，要进入急诊室。

 在病房，我试写了几十年不写的旧体诗： 

病房抒怀一首

风烛残年病魔摧，

形容枯槁似犯囚。

好事多磨折腾频，

电脑机毁文稿丢，

多年辛劳尽湮灭，

人无远虑近忧多。

枕戈达旦忍孤寂，

踟蹰蜗行从头越。

千难万苦何所惧，

欲将心血洒寰宇。

我祈天公悯愚志，

不惜怜爱降霖雨。

苍茫天地呈碧翠，

枯木逢春复苏生。

荣誉财富身外物，

生命终结万事空。

 年轻时写完第八集《数学和数学家的故事》时，我曾说：“希望我有时间和余力能完成第九集到第四十集的计划。”属于自己的日子已经不多，不愿让脑海中孕育出的众多新思想和自己一同离去，生命是经不起等待的，人生短暂，须只争朝夕。身体亏损不易恢复，终日无食欲。只要有力气，精神好，我就尽力把这套书写完，没有忘记华罗庚教授的心愿：“寸知片识献人民。”

 为促进中国科技和文化事业的发展起到积极作用，我希望读者如有兴趣可以发送电子邮件至： lixueshu2014@gmail.com，以和我交流。

2016.2.14于美国联合市

 《数学和数学家的故事》是一部具有一定规模的科普著作。相对目前同类作品，该作品内容更加丰富，语句更为生动，视角更为新颖。李学数以深厚功力，广博知识，创作热情，将一般人认为枯燥的数学问题和数学史、平淡的数学家生涯，深入浅出、趣味盎然地展现出来。第9册介绍了勾股弦幻方、速算、无字证明、熊全治等的故事。

 李学数，又名李信明，1945年出生于新加坡，毕业于南洋大学数学系，留学加拿大缅尼多巴大学，获得数学硕士学位。1973年起在法国南巴黎大学从事7年半研究工作。后到哥伦比亚大学攻读计算机硕士学位，1984年获得史蒂文斯理工大学数学博士学位。现为美国圣何塞州立大学计算机系退休教授，发表多篇论文。喜读中国史及文学名著。写过很多数学普及文章，《数学和数学家的故事》是其代表作。