数学物理方程:模型、方法与应用

前言

第1章 绪论

 1.1 引入与基本概念

 1.1.1 引入

 1.1.2 基本概念和定义

 1.1.3 一些典型的偏微分方程

 1.2 典型方程的导出

 1.2.1 波动方程

 1.2.2 热传导方程

 1.2.3 位势方程

 1.2.4 流体力学基本方程组

 1.3 定解条件与定解问题

 1.3.1 初始条件

 1.3.2 边界条件

 1.3.3 定解问题

 1.3.4 例题

 1.4 定解问题的适定性

 1.4.1 定解问题的解

 1.4.2 解的专享性

 1.4.3 解的稳定性

 1.4.4 解的适定性

 1.4.5 不适定性问题的例子

 1.4.6 反问题和数值天气预报

 1.5 线性叠加原理

 1.5.1 引入

 1.5.2 线性定解问题

 1.5.3 叠加原理

 1.5.4 应用：将一个复杂问题化为较简单问题求解

 1.5.5 叠加原理不成立的一个例子

 1.6 应用：阿米巴变形虫的动力学建模与稳定性分析

 1.6.1 问题的提出

 1.6.2 模型的假设

 1.6.3 模型的建立

 1.6.4 稳定性分析

 1.6.5 结论与应用

 习题

第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型

 2.1 两个自变量方程的分类与化简

 2.1.1 方程的化简

 2.1.2 方程的分类

 2.1.3 例题

 2.1.4 常系数方程的进一步简化

 2.1.5 几类特定类型方程的通解

 2.2 多个自变量方程的分类与化简

 2.2.1 两个自变量情形的回顾

 2.2.2 多个自变量方程的分类

 2.2.3 常系数的多个自变量方程的化简

 习题

第3章 波动方程的初值问题与行波法

 3.1 一维波动方程的初值问题

 3.1.1 无界弦的自由振动

 3.1.2 波的传播

 3.1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理

 3.1.4 半无界弦的振动和延拓法

 3.1.5 端点固定的有界弦的振动

 3.1.6 解的先验估计

 3.2 三维波动方程的初值问题

 3.2.1 三维齐次波动方程的球对称解

 3.2.2 三维齐次波动方程初值问题的泊松公式和球平均法

 3.2.3 泊松公式的物理意义

 3.2.4 三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势

 3.3 二维波动方程的初值问题

 3.3.1 二维齐次波动方程的初值问题

 3.3.2 二维非齐次波动方程的初值问题

 3.3.3 泊松公式的物理意义

 3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥

 3.4.1 二维情形

 3.4.2 三维情形

 3.5 应用：系统的准确可控性——以弦振动方程为例

 3.6 拓展：正压大气的地转适应过程——以高维波动方程为例

 3.6.1 由正压方程组到三维波动方程

 3.6.2 地转适应过程特例分析

 习题

第4章 分离变量法

 4.1 正交函数系和广义傅里叶级数

 4.1.1 正交函数系

 4.1.2 广义傅里叶级数

 4.2 施图姆-刘维尔特征值问题

 4.2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解

 4.2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解

 4.2.3 施图姆-刘维尔问题

 4.3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题

 4.3.1 波动方程的初边值问题

 4.3.2 热传导方程的初边值问题

 4.3.3 拉普拉斯方程的边值问题

 4.4 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题

 4.4.1 波动方程的初边值问题

 4.4.2 热传导方程的初边值问题

 4.5 非齐次边界条件的处理

 4.5.1 变换的选取

 4.5.2 例题

 4.6 应用：量子力学中的一些思想

 4.7 拓展：局部观测资料下的变分同化问题——以热传导方程为例

 4.7.1 局部观测条件下初值反演问题的不适定性

 4.7.2 变分同化方法结合正则化思想的实施

 习题

第5章 傅里叶变换

 5.1 傅里叶变换的引入与定义

 5.1.1 傅里叶积分

 5.1.2 傅里叶变换的定义

 5.1.3 傅里叶正弦变换与余弦变换

 5.2 傅里叶变换的性质

 5.2.1 傅里叶变换的基本性质

 5.2.2 例子

 5.3 傅里叶变换的应用

 5.3.1 求解常微分方程

 5.3.2 求解热传导方程的初值问题

 5.3.3 求解波动方程的初值问题

 5.3.4 求解拉普拉斯方程的边值问题

 5.3.5 半无界问题——傅里叶正（余）弦变换法

 5.3.6 半无界问题——延拓法

 5.4 拓展：傅里叶变换在海洋学中的应用一例

 习题

第6章 拉普拉斯变换

 6.1 拉普拉斯变换的定义与性质

 6.1.1 拉普拉斯变换的定义

 6.1.2 拉普拉斯变换的性质

 6.1.3 拉普拉斯逆变换求解的例子

 6.2 拉普拉斯变换的应用

 6.2.1 求解常微分方程（组）的初值问题

 6.2.2 求解积分方程问题或微分积分方程问题

 6.2.3 求解波动方程的初边值问题

 6.2.4 求解热传导方程的初边值问题

 6.3 应用：拉普拉斯变换方法求解大气对流扩散方程

 习题

第7章 格林函数方法

 7.1 格林公式及其应用

 7.1.1 格林公式

 7.1.2 格林公式的应用——调和函数的基本性质

 7.2 格林函数及其性质

 7.2.1 格林函数的引入

 7.2.2 格林函数的

本书是结合作者多年的教学经验，根据理工科“数学物理方程”教学大纲的要求及数学类、大气科学类等专业的需要而编写的。本书以方法为主线，内容包括典型模型定解问题的建立、方程的分类与标准型、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等，在此基础上，介绍了研究偏微分方程定性理论的极值原理和能量方法，探讨了贝塞尔函数与勒让德函数的应用。最后，简要介绍了典型方程的数值解法与可视化。 本书叙述注重启发性、系统性与应用性，把较难的概念与尽量浅显的例子适当结合，将方法运用于各种应用驱动的偏微分方程模型中，并补充和扩展了相关知识到交叉应用领域。全书纸质内容与数字课程一体化设计，紧密配合，并配有较多的典型例题和习题，可供读者阅读与练习。 本书可作为数学与应用数学、信息与计算科学等数学类专业和大气科学类、海洋科学类及电子与信息类等理工科专业的本科生和研究生教材，也可作为相关研究人员的参考书或自学用书。