高等代数

第1章行列式

 行列式始于17世纪80年代，首先引入这一概念的是日本数学家关孝和，目前行列式记号由英国数学家凯莱（Cayley）于1841年给出。行列式的提出与求解线性方程组密切相关，由于其简洁的表达式和系统规律的运算性质，使它成为数学领域很好的表述和计算工具，在其他学科分支中也有重要应用。

 本章主要讨论行列式的定义与性质，行列式的计算和行列式在线性方程组求解中的一个应用——克拉默（Cramer）法则。

 1.1　2阶行列式和3阶行列式

 本节通过求解2元和3元线性方程组引入2阶行列式和3阶行列式，在此基础上讨论它们的性质以及二者之间的关系。

 1.1.1引言

 在线性代数中我们研究*简单的多变量方程是线性方程。一般而言，n个未知数的线性方程表示形式为。

 所谓线性是指:未知数，都是一次的，且系数，和常数项b都与未知数无关。多个这样的线性方程联立即为线性方程组。其中都是常数。

 线性方程组是经典代数学的一个重要课题，求解线性方程组是线性代数的一个重要任务。在中学曾经学习了如何求2元一次方程组和3元一次方程组，比较熟悉的方法是代入法。例如，对方程组第1个方程中解出。整理后，解得x=—1，并代入y=2-3x，得到原方程组唯一解x=—1，y=5。

 利用此法求解n元一次方程组，不难想象其麻烦程度，也很难得出一个规范化的求解公式。以下我们再了解一下消元法求解线性方程组。

 对于一般形式的2元一次线性方程组利用Gauss消元法（过程略）可得。

 由此看出，利用消元法得到了一个公式，尽管还不太复杂，但难以总结出规律性的东西。

 下面再看3元一次方程组

 这里姑且不论消元过程的烦琐性，单就上述表达式即知其复杂性，而且难以记忆。3元方程组尚且如此，3元以上方程组更可想而知。自然要问：能不能引入一个简明的记号，不仅使解的表示形式简单好记，而且省去消元过程以容易计算？

 1.1.2　2阶行列式和3阶行列式的定义

 仔细观察上述运算过程发现，2元一次方程组解的表达式中分子分母都是4个数组成的一个“新数”，由此我们将22=4个数ail，ai2，a21，a22所表示的新数。

 那么2元一次方程组解的表达式就简洁地表示为容易记忆的规范化形式

 （1）

 对于3元一次方程组解的表达式，其分子、分母都是9个数组成的一个“新数”，分母上个数所表示的新数。

 用一个很规范的记号表示。类似地，分子上的新数分别表示为。

 那么3元一次方程组解的表达式就可以简洁地表示为

 （2）

 显然，由⑴式和（2）式，引入新记号来表示2元、3元一次方程组解表达式要简明很多。相信读者借此可以猜想n元一次方程组解的简洁表示式（如果存在的话）。

 根据以上分析，下面就可以给出2阶行列式和3阶行列式的定义。

 定义1给定2个数，用表达式定的“新数”。

 （3）

 （3）式左端的表达式称为2阶行列式（可简记为Z）2），它所表示的就是（3）式右端的新数，其中“2阶”表示式（3）左端表达式的行数和列数是2。

 类似地，给定个数组成3阶行列式（3行3列）表示确定的“新数”，即

 （4）

 也就是（4）式中右端的新数用左端记号表示。3阶行列式可记为。

 由公式（3），2阶行列式“|x|”中的新数等于主对角线“\”上元素的乘积减去次对角线“/”线上元素的乘积。于是，2阶行列式不仅简单好记且容易计算。

 对于3阶行列式显然这是不可行的，它较2阶行列式要复杂得多。

 根据以上分析，直接计算得出2个结论。

 结论1　在2阶行列式D2中，如果两行（列）元素相同，则。

 结论2　在2阶行列式D2中，如果有一行（列）元素全为0，则。由定义1，这里要强调两点，一是由2阶和3阶行列式的定义可以看出的，们都是一个算式表示的“新数”；二是在2阶和3阶行列式中，元素叫第1下标字母i表示 “第i行”，第2个下标字母j表示“第j列”，也就是说，表示第i行第j列的元素。

 1.1.3　2阶行列式和3阶行列式的性质

 1.　2阶行列式的性质

 根据2阶行列式的定义和计算公式，容易验证如下性质（请读者自行完成）。

 性质1　行列式的行列互换位置（第1行（列）调换为第1列（行），第2行（列）调换为第2列（行），这称为行列式的转置），其值不变。

 性质2　行列式第1行与第2行互换位置，或第1列与第2列互换位置，其值变号。

 性质3　行列式中某行（列）有公因子k，可以提取公因子。

 性质4　行列式中两行（列）成比例，其值为0。

 性质5　行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列），其值不变。

 性质6　行列式某一行（列）的元素均为两个数之和，可以展开为2个行列式之和。

 根据性质6，下式计算是错误的：

 利用以上性质，再回看2元一次方程组求解:

 如果上式右端行列式不等于0，则方程组有唯一解，其表达式即为（1）式。

 2.　3阶行列式的展开定理

 先看3阶行列式与2阶行列式之间的关系 由（4）式及2阶行列式的定义，可得

 类似可以按列展开。如此可以发现：3阶行列式可以用2阶行列式表示，这种方法称为降阶法。为探求其中所蕴含的规律，下面引入余子式和代数余子式的定义。

 定义2在3阶行列式中，划去所在的第i行和第j列上的元素，余下来元素保持排序不变，构成一个2阶行列式，这个2阶行列式称为元素的余子式，记为。称财为元素的代数余子式，记为，即

 例如，在行列式中，元素的余子式和代数余子式分别为；元素a33=9的余子式和代数余子式分别为。

 根据定义2，余子式和代数余子式有这样的特点：它们都与元素所在的第行和第列上的元素无关。