数学

第一章模型扔石头问题风轻云淡的一天，你站在水平地面上，手里拿着一块石头，想要扔得越远越好。已知你能用多大的力气扔出去，那么最重要的决策就是选择石头出手时与地面的夹角。如果夹角太小，那么尽管石头在水平方向的速度分量很大，也会很快落到地面上，因而飞不出太远；反之，若夹角过大，石头能在空中停留较久但掠过的水平距离却不远。很明显我们需要在这中间作一些权衡。利用牛顿物理学和微积分的一些初步知识，可以计算得到最佳的折中方案—-石头离手时应与地面呈45度夹角。就这个问题而言，这基本上是最简洁优美的答案了。同样的计算还可以告诉我们石头在空中的飞行轨迹是条抛物线，甚至还能得出脱手后在空中任意时刻的速度有多大。看起来，科学与数学相结合能够使我们预测石块飞出去直至落地之前的一切行为。然而，只有在我们作了许多的简化假设之后才能够如此。其中最主要的假设是，作用在石头上的只有一种力，即地球的引力，而且这种力的大小及方向在各处总是一样的。但实际上并非如此，因为它忽略了空气阻力、地球自转，也没有计入月球的微弱引力，而且越到高处地球引力越小，在地球表面上“竖直向下”的方向也随着具体位置的不同而逐渐变化。即使你能够接受上述计算，45度角的结果也基于另一个隐含假设：石头离手的初始速度与夹角无关。这也是不正确的：实际上夹角越小，人能使上的力气越大。上述这些缺陷的重要性各有不同，我们在计算和预测中应该采取怎样的态度来对待这些偏差呢？把所有因素全部考虑在内进行计算固然是一种办法，但还有一种远为明智的办法：首先决定你需要达到什么样的精确度，然后用尽可能简单的办法达到它。如果经验表明一项简化的假设只会对结果产生微不足道的影响，那就应当采取这样的假设。例如，空气阻力的影响相对来说是比较小的，因为石头很小很硬，密度大。假如在出手角度上有较大的误差，那么通过计入空气阻力来将计算复杂化就没有多大意义。如果一定要考虑进去的话，以下这条经验法则就足矣：空气阻力变大，则通过减小出手角度来弥补。何为数学模型当我们考察一个物理问题的解答时，十有八九能够就其中科学贡献部分和数学贡献部分划出一道清晰的界线。科学家在观察和实验的基础上，作一些简洁性与解释有效性的一般性考虑，建立一种理论。数学家，或者做数学的科学家，则研究理论的纯……

本书解释了高等数学与我们在中小学所学的数学知识之间的一些最为根本的、主要是哲学性的区别，让我们能更好地理解那些听起来带有悖论的概念，比如“无限”“弯曲空间”“虚数”等。从基本的观念，到哲学探究，再到与数学共同体相关的一般社会学问题，书中揭开了空间和数的神秘面纱之一角。