线代数及其应用
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河北沧州
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作者李小刚，刘吉定，罗进主编
出版社科学出版社
ISBN9787030444738
出版时间2015-06
装帧平装
开本16开
定价36.5元
货号8555860
上书时间2024-06-21
商品详情
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目录
目录
第1章线性方程组的消元法1
1.1二元和三元线性方程组的求解1
1.2n元线性方程组简介2
1.3高斯消元法解方程组的MATLAB实验6
习题一9
第2章矩阵10
2.1矩阵的基本概念10
2.2矩阵的运算12
2.3矩阵的逆20
2.4分块矩阵21
2.5矩阵的初等变换25
2.6初等矩阵27
2.7矩阵运算的MATLAB实验32
习题二37
第3章行列式46
3.1行列式的概念46
3.2行列式的性质50
3.3行列式的计算55
3.4逆阵公式60
3.5克拉默法则62
3.6行列式计算的MATLAB实验66
习题三68
第4章矩阵的秩与n维向量空间77
4.1矩阵的秩77
4.2n维向量82
4.3向量组的线性相关性83
4.4向量组的秩86
4.5向量空间89
4.6向量的内积与正交矩阵91
4.7秩的计算？向量的正交化的MATLAB实验94
习题四97
第5章线性方程组109
5.1线性方程组的可解性109
5.2线性方程组解的结构111
5.3解线性方程组的MATLAB实验117
习题五121
第6章特征值与特征向量及二次型135
6.1矩阵的特征值与特征向量135
6.2相似矩阵与矩阵的对角化141
6.3实对称矩阵的对角化144
6.4二次型147
6.5正定矩阵157
6.6特征值？特征向量的计算与矩阵对角化的MATLAB实验160
习题六164
第7章线性空间与线性变换176
7.1线性空间的定义与性质176
7.2线性空间的维数？基与坐标180
7.3基变换与坐标变换182
7.4线性空间的同构185
7.5线性变换188
7.6线性变换的MATLAB实验197
习题七198
第8章线性代数的应用204
8.1*小二乘法204
8.2线性规划207
8.3*小二乘法与线性规划求解的MATLAB实验219
习题八224
习题答案228
参考文献244
内容摘要
第1章 线性方程组的消元法
求解线性方程组是线性代数的一个核心内容，线性代数的许多理论来源于解线性方程组，在初等数学中，求解二元？三元线性方程组采用方程组之间的运算消元法，对于多个变元的情况这种方法就显得烦琐而不好操作.本章将介绍用高斯消元法求解线性方程组，初步引入矩阵概念，将方程组与矩阵一一对应，通过对矩阵的初等变换，达到方程组消元的目的，其方法对求解一般n 元线性方程组具有普遍的意义并切实可行.
1.1 二元和三元线性方程组的求解
对于二元和三元线性方程组，我们通常用消元法求解.
例1.1 解方程组
解由(1)- (2)，得4y =4，即y =1.再将y =1代入(1)，得x+1=3，解
得x =2.所以方程组的解为
例1.2 解方程组
解由(4)- (3)×3，得8y-4z =12，化简为
由(5)- (3)×2，得
由(7)×2- (6)，得
解得z =-1，代入(7)，解得y =1.再将y =1，z =-1代入(3)，解得x =3，所以
方程组的解为
以上两例，均是将方程组进行变形，逐步消去方程中未知变元的个数.当方程中未知变元只剩一个时，便可直接得到解，再将解依次代入方程，从而求得其他变元的解.
1.2 n 元线性方程组简介
对于n 元线性方程组，是否同样可以用消元法求解?
如果n 元线性方程组具有如下的形式:其中 均不为零，则可以由下到上依次得到方程组的解:
形如式(1-2)的方程组称为三角形方程组，这是n元线性方程组的一种特殊形式，求解比较容易;但对一般的形如式(1-1)的n元线性方程组，是否可以化为三角形方程组? 在例1.2中，把一个三元线性方程组化成了三角形方程组，从而得到了方程组的解，这种方法启发我们用某些变换将方程组化为三角形方程组以便于求解.但必须保证，对方程组进行变换所得到的新方程组，必须和原方程组有同样的解.以下的变换能保持方程组的解不变(由读者证明):
(1)将第i个方程与第j 个方程交换位置.
(2)将第i个方程乘以一个非零常数k.
(3)将第j 个方程加上第i 个方程乘以一个非零常数k.
对方程组实施上述变换时，方程组改变的仅仅是未知量的系数与常数项.因此，可以把方程组(1-1)的系数与常数项列一个表:
这个表和方程组(1-1)是对应的，称为对应方程组(1-1)的矩阵，方程组的特性都可以在这个矩阵中得到体现.当对方程组做出以上三种变换时，方程组所对应的矩阵也会有相应的变换.变换(1)相当于矩阵第i行与第j行对换，记为ri？rj;变换(2)相当于矩阵第i行的每一个元都乘以k，记为kri;变换(3)相当于矩阵第j行的所有元都加上第i行相应元的k 倍，记为rj +kri.矩阵的这三种变换称为矩阵的行初等变换，对方程组进行的三种变换就可视为对矩阵做行初等变换，而矩阵通过有限次行初等变换得到的矩阵所对应的方程组，与原矩阵所对应的方程组是同解方程组.我们只需解变换后的较为简单的方程组，就可得到原方程组的解.
方程组(1-2)所对应的矩阵为
其中， 均不为零.这种矩阵所对应的方程组是很容易求解的.由此推想，一般线性方程组所对应的矩阵，能否通过初等变换化为上面的矩阵形式? 或者得到其他所对应的方程组容易求解的矩阵形式? 用高斯消元法，我们可以将方程组化为*简形式.下面通过例题介绍高斯消元法.
例1.3 用高斯消元法求解方程组
解方程组对应的矩阵为
这就是方程组的解.
例中形如A1 的矩阵，称为行阶梯形矩阵，其特点是:可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的**个元素为非零元，也就是非零行的**个非零元.形如A2 的矩阵称为行*简形矩阵，其特点是非零行的**个非零元为1，所在列的其他元素都为零.
用高斯消元法解线性方程组，就是用行初等变换将方程组所对应的矩阵化为行*简形矩阵，从而得到方程组的解.
事实上，对于线性方程组(1-1)，我们并不能保证它一定有解，即使有解，也不能保证解是**的.
例1.4 解下列方程组:
解二元方程组的解的几何意义是直线的公共交点，分别绘出4个方程的直线图（如图1-1）
从图中可以看出，方程组(1)对应的两条直线有**交点，从而有**解x =3，y =2;方程组(2)对应的两条直线平行，无交点，从而没有解;方程组(3)对应的两条直线重合，直线上的点都是解，从而有无穷多个解;方程组(4)对应的3条直线没有共同的交点，也没有解.
方程组(1)对应的矩阵为1 -2 -1所以，方程组的解为
方程组(3)对应矩阵为1 -2 -1变换后的矩阵只对应一个方程x-2y=-1，即x =2y-1，y可取任意值.故方程组(3)有无穷多个解.
方程组(2)？(4)无解.
如果线性方程组(1-1)有**的解，称线性方程组是适定的;如有无穷个解，称线性方程组是欠定的;如没有解，称线性方程组是超定的.在第5章中，我们将解决线性方程组在什么样的情况下是适定的？欠定的或超定的.
1.3 高斯消元法解方程组的MATLAB实验
1.MATLAB 简介
MATLAB是美国TheMathWorks公司出品的计算机科学计算软件，从1984年推出以来，受到广泛的推崇，在很多领域里，MATLAB已成为科技人员**的计算机数学语言.MATLAB语言简洁，功能强大，几乎涵盖了所有的数学计算内容，人机交互性能好，其表达方式符合科技人员的思维习惯和书写习惯，使用简短的语句，便能完成许多复杂的计算.MATLAB是“矩阵实验室”(matrixlaboratory)的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，因此特别适于线性代数求解.线性代数是一门理论比较抽象？计算强度很大的数学学科，并具有广泛的应用.在传统教材给出的线性代数的计算方法，如用手工计算，只能解决一些低阶？变量较少的问题，而在实际中出现的大量的线性问题，都是高阶的和变量很多的，使用MATLAB语言辅助线性代数的教学，近几年来已成为流行的教学模式.本书将对MATLAB语言作简单的介绍，并在各章中都安排使用MATLAB语言的实验，以解决相应章节的计算问题.MATLAB是科技工作者得力的科学计算工具，读者可查阅有关的书籍对其进一步了解.
2.矩阵的表示
当运行MATLAB程序后，会出现一个命令窗，MATLAB语句可在命令窗中提示符“？”后键入.如要在MATLAB 中输入一个矩阵A = MATLAB提示符“？”后面键入: 按回车键，屏幕显示:
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