高等数学 下册

本套书根据高等学校大学数学课程教学指导委员会的基本要求进行编写，在编写过程中充分吸取和借鉴国内外优秀教材的精华，结合南京邮电大学和南京邮电大学通达学院数学团队多年的教学经验，在配有课程思政内容的同时对教材的深度和广度进行了适当调整。全套书分为上、下两册。本书是下册，为多元函数微积分部分，共5章，包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分学及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。本书每节后配有节习题，每章后配有本章小结和总习题，书末附有习题答案与提示。
本书可作为高等院校理工科类各专业学生的教学用书，也可作为报考硕士研究生的人员和科技工作者学习高等数学知识的自学用书。

胡国雷，副教授，南京邮电大学理学院高等数学教学中心主任。多年从事本科及研究生的数学教学工作，主编和参编了多本数学类的教材及教学辅导书。

第7章 空间解析几何与向量代数………………………………………………1
7.1 向量及其线性运算………………………………………………………1
7.1.1 向量的概念………………………………………………………1
7.1.2 向量的加减法……………………………………………………2
7.1.3 向量与数的乘法…………………………………………………3
7.1.4 空间直角坐标系…………………………………………………6
7.1.5 向量的分解与向量的坐标………………………………………8
7.1.6 向量的投影、向量的模与方向角………………………………10
习题7.1 …………………………………………………………………14
7.2 向量的乘积 ……………………………………………………………14
7.2.1 向量的数量积 …………………………………………………14
7.2.2 向量的向量积 …………………………………………………17
7.2.3 向量的混合积 …………………………………………………21
习题7.2 …………………………………………………………………23
7.3 平面 ……………………………………………………………………23
7.3.1曲面方程与空间曲线方程的概念 ………………………………23
7.3.2 平面的点法式方程………………………………………………24
7.3.3 平面的一般式方程 ……………………………………………25
7.3.4 两平面间的位置关系 …………………………………………27
习题7.3 …………………………………………………………………30
7.4 空间直线 ………………………………………………………………31
7.4.1 直线的对称式方程与参数方程 ………………………………31
7.4.2 直线的一般式方程 ……………………………………………32
7.4.3 空间直线的位置关系 …… …………………………………33
7.4.4 空间直线与平面的位置关系 …………………………………35
7.4.5 平面束 …………………………………………………………37
习题7.4…………………………………………………………………42
7.5 曲面与空间曲线 ………………………………………………………43
7.5.1 曲面研究的基本问题 ………………………………………… 43
7.5.2 旋转曲面、柱面、锥面 ………………………………………44
7.5.3 二次曲面 ………………………………………………………49
7.5.4 空间曲线的方程 ………………………………………………53
7.5.5 空间曲线在坐标面上的投影 …………………………………55
习题7.5 …………………………………………………………………58
7.6 本章小结… ……………………………………………………………59
7.6.1 基本要求… ……………………………………………………59
7.6.2 内容提要 ……………………………………………………59
7.7 第7章 总习题……………………………………………………… 64
第8章 多元函数微分学及其应用……………………………………………68
8.1 多元函数概念 ………………………………………………………68
8.1.1 平面点集的有关概念……………………………………………68
8.1.2 多元函数的概念 ………………………………………………70
8.1.3 多元函数的极限 ………………………………………………72
8.1.4 多元函数的连续性……………………………………………75
习题8.1…………………………………………………………………76
8.2 偏导数与全微分 ………………………………………………………77
8.2.1 偏导数的概念 …………………………………………………77
8.2.2 偏导数的几何意义 ……………………………………………80
8.2.3 偏导数的经济意义 ……………………………………………81
8.2.4 高阶偏导数 ……………………………………………………82
8.2.5 全微分… ………………………………………………………84
8.2.6全微分在近似计算中的应用……………………………………88
习题8.2…………………………………………………………………89
8.3 多元复合函数求导法………… ………………………………………90
8.3.1 多元与一元复合的情形 ………………………………………90
8.3.2 多元与多元复合的情形 ………………………………………92
8.3.3其它情形…………………………………………………………93
8.3.4 多元复合函数的高阶偏导数……………………………………94
8.3.5全微分的形式不变性 ……………………………………………96
习题8.3 …………………………………………………………………97
8.4 隐函数求导法 …………………………………………………………98
8.4.1 一个方程的情形 ………………………………………………98
8.4.2 方程组的情形 …………………………………………………102
习题8.4…………………………………………………………………104
8.5 多元函数微分学的几何应用…………………………………………105
8.5.1 空间曲线的切线与法平面 ……………………………………105
8.5.2 曲面的切平面与法线 …………………………………………109
习题8.5 …………………………………………………………………113
8.6 方向导数与梯度 ………………………………………………………114
8.6.1 方向导数…………………………………………………………114
8.6.2 梯度 …………………… ………………………………………117
习题8.6 …………………………………………………………………121
8.7 多元函数的极值及其求法 ……………………………………………122
8.7.1 多元函数的极值…………………………………………………122
8.7.2 二元函数的*值与*小值……………………………………127
8.7.3条件极值 ,拉格朗日乘数法……………………………………128
习题8.7 …………………………………………………………………132
8.8 本章小结 ………………………………………………………………133
8.8.1 基本要求… ……………………………………………………133
8.8.2 内容提要 ……………………………………………………133
8.9 第8章 总习题…………………………………………………………135
第9章 重积分 …………………………………………………………………132
9.1 重积分的概念与性质 …………………………………………………138
9.1.1 重积分的定义……………………………………………………138
9.1.2 重积分的性质……………………………………………………140
习题9.1 ………………………………………………………………141
9.2 二重积分的计算法 ……… ……………………………………………142
9.2.1 利用直角坐标计算二重积分…………………………………142
9.2.2 利用极坐标计算二重积分……………………………………147
*9.2.3 二重积分的换元法 …………………………………………149
习题9.2…………………………………………………………………152
9.3 三重积分的计算法 ……………………………………………………154
9.3.1 利用直角坐标计算三重积分……………………………………154
9.3.2 利用柱面坐标计算三重积分……………………………………157
9.3.3 利用球面坐标计算三重积分 …………………………………159
习题9.3 …………………………………………………………………162
9.4 重积分的应用 …………………………………………………………163
9.4.1 曲面的面积 ……………………………………………………163
9.4.2 质心 ……………………………………………………………165
9.4.3 转动惯量… ……………………………………………………167
9.4.4 引力 …………………………………………………………168
习题9.4…………………………………………………………………169
9.5 本章小结 ………………………………………………………………170
9.5.1 基本要求… ……………………………………………………170
9.5.2 内容提要 ……………………………………………………170
9.6 第9章 总习题…………………………………………………………174
第 10章 曲线积分与曲面积分…………………………………………………176
10.1 曲线积分 ……………………………………………………………176
10.1.1 对弧长的曲线积分 ……………………………………………176
10.1.2 对坐标的曲线积分 ……………………………………………179
10.1.3 两类曲线积分之间的联系 ……………………………………184
习题10.1 ………………………………………………………………186
10.2 格林公式及其应用 …………………………………………………188
10.2.1 格林公式 ……………………………………………………188
10.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件…………………………191
10.2.3 全微分方程……………………………………………………195
习题10.2 ………………………………………………………………197
10.3 曲面积分………………………………………………………………199
10.3.1 对面积的曲面积分……………………………………………199
10.3.2 对坐标的曲面积分……………………………………………201
10.3.3 两类曲面积分之间的联系 ……………………………………204
习题10.3 ………………………………………………………………206
10.4 高斯公式 通量与散度 ……………………………………………208
10.4.1 高斯公式 ……………………………………………………208
10.4.2 通量与散度 …………………………………………………211
习题10.4………………………………………………………………213
10.5 斯托克斯公式 环流量与旋度 ……………………………………214
10.5.1 斯托克斯公式 ………………………………………………214
10.5.2 环流量与旋度 ………………………………………………216
*10.5.3 汉密尔顿算子 ………………………………………………217
习题10.5 ………………………………………………………………218
10.6 本章小结 ……………………………………………………………219
10.6.1 基本要求… …………………………………………………219
10.6.2 内容提要 …………………………………………………219
10.7 第 10章 总习题 ……………………………………………………222
第 11章 无穷级数…………………………………………………………………224
11.1 常数项级数的概念与性质……………………………………………225
11.1.1 常数项级数的概念 ……………………………………………225
11.1.2 收敛级数的基本性质 …………………………………………228
习题11.1 ………………………………………………………………231
11.2 常数项级数的审敛法…………………………………………………232
11.2.1 正项级数及其审敛法…………………………………………232
11.2.2 交错级数及其审敛法…………………………………………237
11.2.3 *收敛与条件收敛…………………………………………239
习题11.2 ………………………………………………………………241
11.3 幂级数 ………………………………………………………………242
11.3.1 函数项级数的概念……………………………………………242
11.3.2 幂级数及其收敛性……………………………………………243
11.3.3 幂级数的运算 ………………………………………………247
习题11.3 ………………………………………………………………250
11.4 函数展开成幂级数 ………………………………………………251
11.4.1 泰勒级数 ……………………………………………………251
11.4.2 将函数展开成幂级数 ………………………………………253
11.4.3 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用………………258
习题11.4………………………………………………………………260
11.5 傅里叶级数……………………………………………………………260
11.5.1 三角函数系的正交性………………………………………262
11.5.2 以 为周期的函数的傅里叶级数…………………………262
11.5.3 正弦级数与余弦级数………………………………………268
习题11.5………………………………………………………………272
11.6 一般周期函数的傅里叶级数………………………………………273
11.6.1 周期为 的周期函数的傅里叶级数 ………………………273
11.6.2 傅里叶级数的复数形式 ……………………………………277
习题11.6………………………………………………………………279
11.7 本章小结 ……………………………………………………………279
11.8.1 基本要求… …………………………………………………279
11.8.2 内容提要 …………………………………………………279
11.8 第 11章 总习题 ……………………………………………………282
习题参考答案与提示……………………………………………………………290
参考文献…………………………………………………………………………309