傅里叶分析
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作者[美] 伊莱亚斯 M.斯坦恩（Elias M.Stein） 拉米·沙卡什
出版社机械工业出版社
ISBN9787111634843
出版时间2020-06
装帧精装
开本16开
定价78元
货号28979599
上书时间2024-12-21
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商品详情
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前言
从2000年春季开始，四个学期的系列课程在普林斯顿大学讲授，其目的是用统一的方法去展现分析学的核心内容.我们的目的不仅是为了生动说明存在于分析学的各个部分之间的有机统一，还是为了阐述这门学科的方法在数学其他领域和自然科学中的广泛应用.本系列丛书是对讲稿的一个详细阐述.
虽然有许多优秀教材涉及我们覆盖的单个部分，但是我们的目标不同：不是以单个学科，而是以高度的互相联系来展示分析学的各种不同的子领域.总的来说，我们的观点是观察到的这些联系以及所产生的协同效应将激发读者更好地理解这门学科.记住这点，我们专注于形成该学科的主要方法和定理（有时会忽略掉更为系统的方法），并严格按照该学科发展的逻辑顺序进行.
我们将内容分成四册，每一册反映一个学期所包含的内容，这四册的书名如下：
Ⅰ傅里叶分析.
Ⅱ复分析.
Ⅲ实分析.
Ⅳ泛函分析.
但是这个列表既没有完全给出分析学所展现的许多内部联系，也没有完全呈现出分析学在其他数学分支中的显著应用.下面给出几个例子：册中所研究的初等（有限的）Fourier级数引出了Dirichlet特征，并由此得到等差数列中有无穷多个素数；X射线和Radon变换出现在册的许多问题中，并且在第三册中对理解二维和三维的Besicovitch型集合起着重要作用；Fatou定理断言单位圆盘上的有界解析函数的边界值存在，并且其证明依赖于前三册书中所形成的方法；在册中，θ函数首次出现在热方程的解中，接着第二册使用θ函数找到一个整数能表示成两个或四个数的平方和的个数，并且考虑ζ函数的解析延拓.
对于这些书以及这门课程还有几句额外的话.一学期使用48个学时，在很紧凑的时间内结束这些课程.每周习题具有不可或缺的作用，因此练习和问题在我们的书中有同样重要的作用.每个章节后面都有一系列“练习”，有些习题简单，而有些则可能需要更多的努力才能完成.为此，我们给出了大量有用的提示来帮助读者完成大多数的习题.此外，也有许多更复杂和富于挑战的“问题”，特别是用*号标记的问题是难的或者超出了正文的内容范围.
尽管不同册之间存在大量的联系，但是我们还是提供了足够的重复内容，以便只需要前三册书的极少的预备知识：只需要熟悉分析学中初等知识，例如极限、级数、可微函数和Riemann积分，还需要一些有关线性代数的知识.这使得对不同学科（如数学、物理、工程和金融）感兴趣的本科生和研究生都易于理解这套书.
我们怀着无比喜悦的心情对所有帮助本套书出版的人员表示感激.我们特别感谢参与这四门课程的学生.他们持续的兴趣、热情和奉献精神所带来的鼓励促使我们有可能完成这项工作.我们也要感谢Adrian Banner和José Luis Rodrigo，因为他们在讲授这套书时给予了特殊帮助并且努力查看每个班级的学生的学习情况.此外，Adrian Banner也对正文提出了宝贵的建议.
我们还特别感谢以下几个人：Charles Fefferman，他讲授周的课程（成功地开启了这项工作的大门）；Paul Hagelstein，他除了阅读一门课程的部分手稿，还接管了本套书的第二轮的教学工作；Daniel Levine，他在校对过程中提供了有价值的帮助.后，我们同样感谢Gerree Pecht，因为她很熟练地进行排版并且花了很多时间和精力为这些课程做准备工作，诸如幻灯片、笔记和手稿.
我们也感谢普林斯顿大学的250周年纪念基金和美国国家科学基金会的VIGRE项目的资金支持.
伊莱亚斯·M斯坦恩拉米·沙卡什于普林斯顿2002年8月
导语摘要
机 械 工 业 出 版 社本书是美国数学家伊莱亚斯·M斯坦恩等人著的《Fourier Analysis：An Introduction》的中译本.内容包括：Fourier级数的起源、基本性质、收敛性，Fourier变换及其基本应用.此外，本书每章均配备了一定数量的练习和问题.Fourier分析是既古老又现代的一门学科，其特点是思想深刻，方法新颖，应用广泛.它是现代数学分析学中一门重要的基础课，其自身也一直在不断地丰富和发展着.
本书阐述由浅入深，定理证明严谨、缜密、丝丝入扣，对初学者极富启发性，它不仅是学习现代数学分析的一本入门书，而且也是一本能引导读者进入这一领域研究前沿的读物.
本书可作为数学专业的大学生、研究生以及研究人员的参考书.
Fourier Analysis:Introduction
Copyright 2003 by Princeton University Press
All rights reservedNo part of this book my be reproduced or transmitted in any form or by any means,eletronic or mechanicl,includingphotocopying,recording or by any information storage and retrieval system,without permission in writing from the Publisher
北京市版权局著作权合同登记：图字0120133816
This title is published in China by China Machine Press with license fromPrinceton University PressThis edition is authorized for sale in China only,excluding Hong Kong SAR,Macao SAR and TaiwanUnauthorized export of this edition is a violation of the Copyright ActViolation of this Law is subject to Civil and Criminal Penalties
本书由普林斯顿大学出版社授权机械工业出版社在中国境内（不包括香港、澳门特别行政区以及台湾地区）出版与发行。未经许可之出口，视为违反著作权法，将受法律之制裁。
目录
第1章Fourier级数的起源1
1.1弦振动1
1.1.1波动方程的导出4
1.1.2波方程的解6
1.1.3实例：拨弦11
1.2热传导方程12
1.2.1热传导方程的推导12
1.2.2圆盘上的稳态热传导方程13
1.3练习15
1.4问题18
第2章Fourier级数的基本性质19
2.1问题的例子和公式20
2.1.1主要的定义和一些实例22
2.2Fourier级数的性26
2.3卷积29
2.4好核31
2.5Cesro和Abel求和：Fourier级数的应用34
2.5.1Cesro平均和加和34
2.5.2Fejér定理35
2.5.3Abel平均与求和36
2.5.4Poisson核和单位圆盘上的Dirichlet问题37
2.6练习39
2.7问题44
第3章Fourier级数的收敛性47
3.1Fourier级数的均方收敛48
3.1.1向量空间和内积48
3.1.2均方收敛的证明52
3.2逐点收敛56
3.2.1一个局部的结果56
3.2.2具有发散Fourier级数的连续函数的例子57
3.3练习60
3.4问题66
第4章Fourier级数的一些应用70
4.1等周不等式70
4.1.1曲线、长度和面积71
4.1.2等周不等式的内容与证明72
4.2Weyl等分布定理73
4.2.1实数以整数取模74
4.3处处不可微的连续函数78
4.4圆上的热方程82
4.5练习83
4.6问题86
目录目录第5章R上的Fourier变换90
5.1Fourier变换的基本理论91
5.1.1实数域上函数的积分91
5.1.2Fourier变换的定义93
5.1.3Schwartz空间94
5.1.4S上的Fourier变换94
5.1.5Fourier反演98
5.1.6Plancherel公式99
5.1.7推广到适度下降函数情形100
5.1.8Weierstrass逼近定理101
5.2偏微分方程中的一些应用102
5.2.1实数域上的时间依赖性热传导方程102
5.2.2上半平面的稳态热传导方程104
5.3Poisson求和公式107
5.3.1Theta和Zeta函数109
5.3.2热核109
5.3.3Poisson核111
5.4Heisenberg不确定性原理111
5.5练习113
5.6问题120
第6章Rd上的Fourier变换125
6.1预备知识126
6.1.1对称性126
6.1.2Rd上的积分127
6.2Fourier变换的初等理论129
6.3Rd×R上的波动方程131
6.3.1解的Fourier变换表示131
6.3.2R3×R上的波动方程135
6.3.3R2×R上的波动方程：降维法138
6.4径向对称与Bessel函数140
6.5Radon变换及其应用141
6.5.1R2中的X射线变换141
6.5.2R3中的Radon变换143
6.5.3平面波的注记146
6.6练习147
6.7问题150
第7章有限Fourier分析155
7.1Z(N)上的Fourier分析155
7.1.1群Z(N)156
7.1.2群Z(N)上的Fourier逆变换定理和Plancherel等式157
7.1.3快速Fourier变换159
7.2有限Abelian群上的Fourier分析160
7.2.1Abelian群160
7.2.2特征163
7.2.3正交关系164
7.2.4特征集合165
7.2.5Fourier逆变换和Plancherel公式166
7.3练习167
7.4问题170
第8章Dirichlet定理171
8.1一些基本的数论知识171
8.1.1算术基本定理171
8.1.2素数的无穷性173
8.2Dirichlet定理178
8.2.1Fourier分析、Dirichlet特征和定理简化180
8.2.2Dirichlet L函数181
8.3Dirichlet定理的证明183
8.3.1对数183
8.3.2L函数185
8.3.3L函数的非消失性189
8.4练习196
8.5问题199
第9章积分201
9.1Riemann可积函数的定义201
9.1.1基本性质202
9.1.2零测集和可积函数的不连续性205
9.2多重积分207
9.2.1Rd上的Riemann积分207
9.2.2累次积分208
9.2.3变量替换公式209
9.2.4球坐标209
9.3反常积分、Rd上的积分210
9.3.1缓降函数的积分210
9.3.2累次积分211
9.3.3球坐标213
参考文献214
内容摘要
机 械 工 业 出 版 社本书是美国数学家伊莱亚斯·M斯坦恩等人著的《Fourier Analysis：An Introduction》的中译本.内容包括：Fourier级数的起源、基本性质、收敛性，Fourier变换及其基本应用.此外，本书每章均配备了一定数量的练习和问题.Fourier分析是既古老又现代的一门学科，其特点是思想深刻，方法新颖，应用广泛.它是现代数学分析学中一门重要的基础课，其自身也一直在不断地丰富和发展着.
本书阐述由浅入深，定理证明严谨、缜密、丝丝入扣，对初学者极富启发性，它不仅是学习现代数学分析的一本入门书，而且也是一本能引导读者进入这一领域研究前沿的读物.
本书可作为数学专业的大学生、研究生以及研究人员的参考书.
Fourier Analysis:Introduction
Copyright 2003 by Princeton University Press
All rights reservedNo part of this book my be reproduced or transmitted in any form or by any means,eletronic or mechanicl,includingphotocopying,recording or by any information storage and retrieval system,without permission in writing from the Publisher
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