屋子里有位数学家

    我想请你读一读本书。本书中记载了许多故事，这些故事都融于 一个个有趣的数学小游戏中，既能让你动脑筋去思考，也能让你乐在 其中。你也会看到，不是所有的问题都那么复杂，也不是所有的难题 都那么难解。我不知道怎样把这些问题分出等级来，但我知道在过去 的三四十年里，在我参加过的关于如何解决数学问题的研讨会中，的 确有人想用一下子就引人入胜的方式把数学的魅力展现出来。我记得 有一门学科的一个分支叫作博弈论。对！就是博弈论！为什么要提到 它呢？因为我想说，难道我们就不能做些什么来表明数学是具有吸引 力、趣味性、挑战性和创造性的吗？

    如果我们花费更多的精力去钻研数学，就一定会找出更多赞美数 学的词语来。然而，事实恰恰相反，在我所看到的评价中甚至连中性 一点的都未曾有过。因为很少有人愿意与数学有瓜葛，很多人不是认 为它索然无味，就是认为平素所教的数学知识，特别是近几个世纪以 来流传下来的数学知识，似乎都毫无用处。

    说了这么多，我们能做些什么呢？我能做些什么贡献呢？我认为 在过去的很多年里，许多数学著作秉承的理念大多是数学很严肃，并 排斥它的趣味性。好吧，我们接受这个理念。我想象此时此刻你正在 读序章的这几行文字，可你或许不是数学专才，或许你会责怪和质疑 我：“如果你是我，会提出什么问题？”或者你会提出疑问：“你们这些数学家还能讲点别的什么吗？”

    这也是我的疑问：为什么我们不能把这个话题全部讲出来展现给 读者呢？我要举一些什么例子呢？

    在我筹备写本书中这些故事的过程中，我忽然想起有关数学的十 几个问题，我曾在不同的场合和时间提及过这些问题。作为趣味数学， 我把它们展现给刚入门数学的读者，献给那些对目前和未来的数学教 育尚未形成观念的人。对于初次接触趣味数学的读者来说，他们可能 未曾听过数学“很有魅力”或“很枯燥”之类的讨论。我该怎样把这 些故事向他们讲出来呢？

    我能猜测和推断的是阅读本书的你有思考能力，能用心去阅 读案头的任何资料，特别是有适宜的阅读环境，能让你在开始阅读本 书之前就心情舒畅。

    最后，借此机会，我要说的是，希望你乐意去做一做这些数学题， 不情愿就不要勉为其难。我只是希望能够通过做这些数学题引发你的 好奇心。我坚信，你会和我一样对这些数学题充满好奇！

    在探讨这些问题之前，我先声明一下：我始终不建议用这些思考 题替代当今的数学教学，这是不能被替代的，我只是想尝试让你 从不同的途径入门数学而不至于陷入困境。不管怎样，我建议你用其 他的思维方式去思考，想一想你自己会怎么去做。

    起初，我选出了 25 个问题，可后来感觉似乎太多了。事实上，我 已经把这些问题拓展成了一本书，书中每一章都先写故事，再写解题 方法。

    如果你对下面的 10 个小问题感兴趣，并更深入地去研究它们，就 会发现每一个问题的相关资料都很多，在同类的其他图书中也有收录。 如书中内容有不足之处，敬请查阅文献并斧正。

    我们现在就开始看看下面的几个问题吧。

你可能没有意识到，一切问题都可以通过数学思维解决。学习数学，能帮你揭开隐藏在万事万物背后的逻辑和规则。

这是一本给年轻人的数学思维能力养成书。本书讲述了生活中常见却鲜有人思考的数学问题（估计你会大吃一惊！）：为什么航空公司要超售机票；足球比赛点球规则中隐藏着哪些秘密；如何计算田径比赛中赢的概率；如何推算哪个学生在说谎；手机软件是如何窃取个人信息的？……

你将通过稀奇古怪的逻辑谜题与烧脑游戏，学习隐藏在生活中的数学智慧，培养受益一生的数学思维能力。

阿德里安·帕恩扎（Adrián Paenza）

1949年出生于阿根廷，布宜诺斯艾利斯大学数学博士，曾在布宜诺斯艾利斯大学和芝加哥大学任教，也曾是阿根廷《奥莱体育日报》和《23周刊》专栏撰稿人，分别在2006年和2018年初开始为阿根廷《十二页报》和El Cohete a la Luna网站供稿。阿德里安曾22次获得由阿根廷电视和广播记者协会（APTRA）颁发的马丁·费耶罗数字奖。因其在数学科普工作中做出的杰出贡献，2007年他被授予阿根廷人文体育艺术奖——科内克斯白金奖（Konex de Platino）。

序章

第1章　下午好，我可以和中位数对话吗

第2章　点球规则的提案

第3章　国家和动物

第4章　魔方

第5章　间谍（一）

第6章　间谍（二）

第7章　1783年的法国人口

第8章　索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的故事

第9章　为什么航空公司要超售机票

第10章　值得关注的田径比赛问题

第11章　公共知识和共有知识

第12章　未来

第13章　伴侣

第14章　八次方的力量

第15章　幽默

第16章　梅西和罗纳尔多

第17章　你撒谎，你撒谎

第18章　女士与老虎

第19章　字母代表数字：二加二等于三

第20章　诚实的学生和说谎的学生（一）

第21章　诚实的学生和说谎的学生（二）

第22章　胡安·巴勃罗·皮纳斯科的“小问题”

第23章　我们是否找到了生成质数的公式

第24章　谁赢的概率

第25章　布雷斯悖论

第26章　看，那里有位数学家（一）

第27章　看，那里有位数学家（二）

第28章　少儿数学竞赛上的问题

第29章　总和与“另一个”数字

第30章　爱因斯坦问题的新版本

第31章　数学家的消遣时间

第32章　彩蛋

第33章　毒药

第34章　连通数

第35章　有这些数还不够吗

第36章　下雨天谁会赢得比赛

第37章　值的小值和小值的值

第38章　和的平方与平方差

第39章　能帮我个忙吗

第40章　生日：一个美妙的故事

第41章　约翰·康威一个不同寻常的问题

第42章　毕业旅行

第43章　这100名囚犯怎么出去

终　篇

你可能没有意识到，一切问题都可以通过数学思维解决。学习数学，能帮你揭开隐藏在万事万物背后的逻辑和规则。

这是一本给年轻人的数学思维能力养成书。本书讲述了生活中常见却鲜有人思考的数学问题（估计你会大吃一惊！）：为什么航空公司要超售机票；足球比赛点球规则中隐藏着哪些秘密；如何计算田径比赛中赢的概率；如何推算哪个学生在说谎；手机软件是如何窃取个人信息的？……

你将通过稀奇古怪的逻辑谜题与烧脑游戏，学习隐藏在生活中的数学智慧，培养受益一生的数学思维能力。

阿德里安·帕恩扎（Adrián Paenza）

1949年出生于阿根廷，布宜诺斯艾利斯大学数学博士，曾在布宜诺斯艾利斯大学和芝加哥大学任教，也曾是阿根廷《奥莱体育日报》和《23周刊》专栏撰稿人，分别在2006年和2018年初开始为阿根廷《十二页报》和El Cohete a la Luna网站供稿。阿德里安曾22次获得由阿根廷电视和广播记者协会（APTRA）颁发的马丁·费耶罗数字奖。因其在数学科普工作中做出的杰出贡献，2007年他被授予阿根廷人文体育艺术奖——科内克斯白金奖（Konex de Platino）。

德国的彩票

在德国，和世界上其他地方一样，玩彩票的方式有很多种。其中 一种是在前 50 个自然数 a 中选择 6 个数字，不分先后。例如，可以选 择这样的组合：7，11，16，17，48 和 50。请计算一下你“中奖”的 概率有多大。b

解答上述问题的同时，我建议你思考在以下两个例子中提出的 问题。

例 1：假设你在买完彩票后乘坐了一辆公交车。当时你很高兴，因 为你在买彩票时选择了自己喜欢的 6 个数字。这时，你发现车里已 经没有空座位了，外面又下起了瓢泼大雨，你只能在车里站着。公交 车到了下一站停了下来，一位坐着的女士看到车停下后立即起身下车。 因为走得着急，她忘记了带雨伞。当时，你没有来得及赶上去把雨伞 交给她。接着，你决定把这把雨伞带回自己家里。到家后，你便拿起 电话随意拨打了一串 7 位数的电话号码。

问题 1：那位女士能接听到你电话的概率和你手中彩票中奖的概率，哪一个更大呢？

例 2：请你拿出一副扑克牌，把它放在桌子上。测量得出这副扑克 牌的“厚度”约为 2.5 厘米。随后，你打电话给这副扑克牌的制造商， 让他们给你寄 27 万副扑克牌。收到这些扑克牌后，将所有的牌摞在 一起。通过计算得出这些扑克牌摞在一起的高度约为 7 千米（70 万厘 米）。现在，在其中一张牌上“做一个记号”。

问题 2：你能找到那张做了记号的扑克牌的概率和你彩票中奖的概 率，哪一个更大呢？

问题 1 的答案：那位女士接听到电话的概率更大。

问题 2 的答案：你能够找到做了记号的那张扑克牌的概率更大。

后给你的建议是：不要买彩票！

128 名网球运动员

在法国，每年都会有 128 名网球运动员参加“罗兰·加洛斯”法 国网球公开赛。举办方需要布置好场地以便比赛能够在两周内顺利完 成。众所周知，比赛是按单场淘汰制进行的。也就是说，如果参赛者 输掉一局，就意味着被淘汰出局。只有赢家才能继续进行下一轮比赛。

问题：整个公开赛总共会进行多少场比赛？

解答

我们来推算一下就明白了。轮会有 64 场比赛（因为需要 128 名参赛者两两进行比赛），随后一轮是 32 场比赛（需要在 64 场比赛后 每场的胜出者之间进行比赛）。依照这样的推理方式一直计算到后，你肯定能得出正确答案。

然而，我想向你提供思考这个问题的另一种方式。就像你所知道 的，在这 128 名参赛者中，只有 1 名胜出者一场都不会输。其他人， 无论怎样，都会被淘汰出局。那么，有多少人会被淘汰出局呢？答案 很明显，是 127 人。因此，这 127 名网球运动员都会输掉一场比赛。 那么，举办方可以轻松地知道答案：共 127 场比赛！不需要任何计算。

附言

如果是 100 万名网球运动员（任何一种运动或活动都可以）以单 场淘汰的方式进行比赛，总共会比多少场呢？通过了解上一个例子后， 这道题的答案也显而易见：999 999 场。