应用数值分析

随着计算机发展而日益兴起的计算科学已经深入渗透到自然科学与工程技术等各个领域，并成为继牛顿与伽利略创立理论研究与科学实验两大科学方法后的第三种科学方法。许多工程应用问题的数学模型是无法求得解析解的，需要用数值计算方法在计算机上进行近似计算。因此数值分析的教材就应更多地面向应用，培养算法意识和计算能力，研究数学问题的数值解法，特别是常用工具软件的使用。
本书是结合编者多年来的教学实践，并汲取国内外同类教材的优点，通过多次试用、修改整理而成的。与同类其他教材不同，本书增加了应用性较强的内容，力求做到内容完整和算法实用，以适应工科硕士研究生少学时数值分析课程的学习特点。
本书编写时特别注重课程体系的完整性、应用性和内容的可读性。为此在系统介绍基础理论的同时，省略了一些烦琐艰深的证明过程，主要侧重于算法的叙述和算例分析。行文时注重通俗易懂，对专业术语尽量作通俗的解释，以增强可读性。学习本书所需的数学基础是微积分、线性代数和常微分方程，一般理工科大学生都已具备。为便于自学，各章后附有习题。并在本书的第2章介绍了功能强大的工具软件MATLAB，对书中涉及的大部分算法都编写了MATLAB程序或提供了相关命令。本书可作为工科类硕士研究生“数值分析”课程以及力学、信息与计算机等专业本科生“计算方法”课程的教材或参考书。
本书的总体策划及全书总撰由肖光强负责，吴松林负责主审全书。具体参与编写人员有: 肖光强、但琦、付诗禄、王丽萍、李玻、李明、杨辉跃、张钊。书末列出了参考书目，编者在此谨向这些书目的编者致以衷心的感谢。同时，编写本书得了陆军勤务学院研究生部门的大力支持，以及数学教研室的关心和帮助，并得到了学院教材立项建设经费的资助，对此我们表示由衷的感谢。
由于编者学识水平和编撰时间所限，书中定有疏漏或不足之处，恳望同行及使用本书的读者批评指正，以期修订时得以改进和提高。

编者2020年9月

本书系统地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法及有关理论分析和应用,力求内容完整和算法实用。内容包括数值线性代数,非线性方程(组)数值解法,矩阵特征值问题,数值逼近,数值微分和数值积分,微分方程数值求解。对于每种常用的数值解法,不仅给出具体步骤,而且还给出了MATLAB程序,便于读者调用。

肖光强，技术6级副教授。多年立足教学一线，承担多门研究生课程教学，深研教学艺术，曾多次获得院校级及军队级教学成果奖；主持或主研教科研项目、课程建设项目10余项；发表教研科研论文20余篇；主编及参编多部教材。目前主要从事化理论与应用方向的研究及应用数学教学工作。

第1章绪论11.1算法1
1.1.1算法的表述形式1
1.1.2算法的基本特点1
1.2误差4
1.2.1误差的来源4
1.2.2误差的基本概念4
1.2.3误差的分析方法5
1.3数值计算时应注意的问题6
1.3.1避免相近数作减法运算6
1.3.2避免分式中分母的值远小于分子的值6
1.3.3防止大数“吃掉”小数6
1.3.4简化计算量7
1.3.5病态问题和算法的稳定性7
1.4小结8
1.5习题9
1.6数值实验题9
第2章MATLAB软件与数值计算112.1MATLAB的进入与运行方式11
2.1.1MATLAB的进入与界面11
2.1.2MATLAB的运行方式12
2.2变量与函数12
2.2.1变量12
2.2.2基本运算与函数13
2.2.3函数15
2.2.4函数的递归调用16
2.3矩阵与数组16
2.3.1数组17
2.3.2矩阵19
2.3.3常用的矩阵函数21
2.4MATLAB程序设计23
2.4.1关系和逻辑运算23
2.4.2控制流24
2.5MATLAB的绘图功能27
2.5.1二维图形27
2.5.2三维图形28
2.6MATLAB中常用函数介绍30
2.7习题33目录目录
第3章线性方程组的直接解法343.1引言34
3.2高斯消元法34
3.2.1高斯消元法的基本思想34
3.2.2高斯消元法公式35
3.2.3高斯消元法的条件37
3.3高斯主元素法37
3.3.1列主元消元法38
3.3.2高斯全主元消元法40
3.4矩阵的LU分解40
3.4.1杜利特尔分解42
3.4.2克劳特分解44
3.5平方根法45
3.5.1矩阵的LDU分解45
3.5.2楚列斯基分解45
3.5.3平方根法和改进的平方根法46
3.6追赶法49
3.7范数与矩阵的条件数51
3.7.1范数51
3.7.2矩阵的条件数与误差分析54
3.7.3线性方程组近似解可靠性的判别56
3.8小结57
3.9习题57
3.10数值实验题358
应用案例: 生产计划的安排58
应用案例: 运输定价问题59
第4章线性方程组的迭代解法614.1迭代法的一般形式61
4.2几种常用的迭代公式61
4.2.1雅可比方法62
4.2.2高斯—塞德尔迭代法64
4.2.3逐次超松弛法65
4.3迭代法的收敛条件67
4.4小结71
4.5习题72
4.6数值实验题73
应用案例: 薄板的热传导74
第5章方阵特征值和特征向量755.1幂法与反幂法75
5.1.1幂法75
5.1.2改进的幂法77
5.1.3反幂法79
5.2雅可比方法81
5.2.1平面旋转矩阵82
5.2.2n阶实对称矩阵的对角化82
5.2.3经典的雅可比方法83
5.2.4雅可比过关法85
5.3豪斯霍尔德方法86
5.3.1豪斯霍尔德变换86
5.3.2用豪斯霍尔德矩阵作正交变换约化矩阵87
5.4QR方法94
5.4.1矩阵的正交三角分解94
5.4.2QR方法95
5.5小结100
5.6习题100
5.7数值实验题101
应用案例: 弹簧—重物系统的频率计算101
第6章非线性方程（组）的求根1036.1二分法103
6.2迭代法106
6.2.1迭代法的收敛性108
6.2.2收敛速度109
6.3常用的迭代方法110
6.3.1牛顿法110
6.3.2简化牛顿法112
6.3.3牛顿下山法113
6.3.4割线法114
6.4非线性方程组的求根116
6.4.1解非线性方程组的一般迭代法116
6.4.2解非线性方程组的高斯—塞德尔迭代法117
6.4.3解非线性方程组的牛顿法118
6.5小结120
6.6习题121
6.7数值实验题122
应用案例: 空中电缆长度的计算122
第7章插值法1237.1插值问题123
7.1.1插值的基本概念123
7.1.2插值多项式的存在性124
7.2拉格朗日插值124
7.2.1拉格朗日插值多项式124
7.2.2插值余项125
7.3牛顿插值128
7.3.1差商及其性质128
7.3.2牛顿插值多项式129
7.4埃尔米特插值134
7.5分段插值139
7.5.1龙格振荡现象139
7.5.2插值多项式数值计算的稳定性140
7.5.3分段线性插值140
7.5.4分段三次埃尔米特插值141
7.6样条插值143
7.6.1样条插值的基本概念144
7.6.2三弯矩插值法144
7.6.3三转角插值法147
7.7小结151
7.8习题152
7.9数值实验题152
应用案例: 黄河小浪底调水调沙问题(一)153
第8章函数逼近与曲线拟合1568.1逼近的概念156
8.2一致逼近158
8.2.1一致逼近多项式的存在性158
8.2.2切比雪夫定理158
8.2.3一次逼近多项式161
8.3平方逼近161
8.3.1函数的平方逼近161
8.3.2平方逼近多项式162
8.3.3以正交函数族作平方逼近165
8.4正交多项式及性质166
8.4.1正交多项式166
8.4.2正交多项式的性质167
8.4.3常见的正交多项式168
8.4.4用正交多项式作平方逼近169
8.5数据拟合与小二乘法170
8.5.1问题的提出170
8.5.2一元函数的小二乘法170
8.5.3多元函数的小二乘法172
8.6多项式拟合172
8.6.1多项式的数据拟合172
8.6.2小二乘法求法方程存在的问题177
8.6.3正交多项式的数据拟合177
8.7小结179
8.8习题180
8.9数值实验题180
应用案例: 黄河小浪底调水调沙问题(二)181
第9章数值积分与数值微分1849.1数值积分概述184
9.1.1数值积分的基本思想184
9.1.2代数精度185
9.1.3插值型求积公式186
9.1.4求积公式的余项187
9.1.5求积公式的收敛性与稳定性188
9.2牛顿—柯特斯求积公式188
9.2.1牛顿—柯特斯公式188
9.2.2牛顿—柯特斯公式的代数精度190
9.3复化求积法191
9.3.1复化梯形公式191
9.3.2复化辛普森公式192
9.4龙贝格加速收敛法194
9.4.1理查森外推法194
9.4.2龙贝格求积公式196
9.5高斯求积公式198
9.5.1高斯求积公式及其性质199
9.5.2常见的高斯求积公式201
9.6数值微分206
9.6.1中点方法与误差分析206
9.6.2插值型的求导公式207
9.6.3数值微分的外推算法210
9.7小结211
9.8习题211
9.9数值实验题212
第10章常微分方程数值解法21310.1基本概念213
10.1.1常微分方程初值问题的一般提法213
10.1.2初值问题数值解基本概念215
10.2欧拉法216
10.2.1欧拉法的一般形式216
10.2.2欧拉法的几何意义217
10.2.3欧拉法的改进217
10.3龙格—库塔法220
10.3.1龙格—库塔法的一般形式220
10.3.2常用的低阶龙格—库塔法221
10.3.3步长的选取224
10.4收敛性和稳定性225
10.4.1收敛性225
10.4.2稳定性225
10.5线性多步法227
10.5.1线性多步法的一般公式227
10.5.2亚当斯方法228
10.6一阶微分方程组和高阶微分方程231
10.6.1一阶线性微分方程组231
10.6.2高阶微分方程233
10.7小结234
10.8习题235
10.9数值实验题236
应用案例: 放射性废物的处理236
应用案例: 重装空投问题239
参考文献241

本书系统地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法及有关理论分析和应用,力求内容完整和算法实用。内容包括数值线性代数,非线性方程(组)数值解法,矩阵特征值问题,数值逼近,数值微分和数值积分,微分方程数值求解。对于每种常用的数值解法,不仅给出具体步骤,而且还给出了MATLAB程序,便于读者调用。

肖光强，技术6级副教授。多年立足教学一线，承担多门研究生课程教学，深研教学艺术，曾多次获得院校级及军队级教学成果奖；主持或主研教科研项目、课程建设项目10余项；发表教研科研论文20余篇；主编及参编多部教材。目前主要从事化理论与应用方向的研究及应用数学教学工作。