数值分析简明教程（第2版）

数值分析是帮助科研人员了解和进行有效科学计算的桥梁，也是现代科学计算的基础，其理论性和实用性都很强。

数值分析的核心是算法构造和误差分析。与理论数学立足“准确、追求准确结果”不同，数值分析是“立足近似、追求可用结果”。它面对有误差的原始数据，采用近似方法来获得满足精度要求的近似结果。这种近似处理技术是解决实际问题的重要手段之一。

此外，数值分析含有丰富的科学研究方法和创新内容。了解科学研究方法论且熟悉数值分析的学者会发现整个数值分析的内容本身就是科学研究方法的实际应用，其每个算法的构造过程都是科学方法的具体实现。

本书第1版自出版以来以其编写结构新颖、易于学习的特点受到广大读者的欢迎。在这几年的教学和科研中，我们一直对数值分析课程教学进行改革研究，这些教改研究为我们对如何编写好数值分析教材提供了丰富的内容。为了满足当前教学改革的需要，方便读者更容易学习数值分析课程，并在科研工作中使用科学计算方法和技术，我们对第1版进行了修订。

第2版继续保留第1版突出数值分析课程的实用性、弱化数学理论、强调科学计算“立足近似、追求可用”特点的编写风格。为了更加适合读者自学数值分析知识和教师教学，第2版重写了第1版中一些概念论述不严格的内容，增加了一些新的例题并修改了第1版的印刷错误。此外，本书重新编写了每章的思考题、数值实验和习题，以帮助读者更容易学习科学计算知识。第2版的数值实验部分强调了算法的内容，以培养读者的算法表述能力，习题部分增加了习题的数量和题型，以便更好地帮助读者理解各章的知识点。

本书可以作为32学时、48学时和64学时的数值分析课程的教材：完成书中全部内容需要64学时，去掉书中的数值实验相关部分的内容需要48学时；去掉数值实验和第4章（求矩阵特征值和特征向量的方法）的内容需要32学时。 本书除了可以作为本科生和研究生的数值分析课程的教材外，也可以作为提高学生数学建模能力的培训教材。

为了方便读者学习，我们对所有习题都给出了完整解答（扫描二维码获取）。此外，以本书为授课教材的教学录像在中国*在线教育研究中心的研究交流和成果应用平台——— “学堂在线”播出。进入课程地址为：https://nextxuetangxcom/，在该网页右上角的搜索窗口输入“北京交通大学”即可。

本书在北京交通大学研究生院的资助下完成。此外，本书在编写过程中很多读者和教师提出了一些有益的建议，在此一并表示感谢！

由于水平有限，书中难免存在不妥之处，恳请读者指正。

王兵团

2020年8月

《数值分析简明教程（第2版）》包含数值分析绪论、方程求根、线性方程组解法、特征值特征向量求法、插值与拟合、数值积分与数值微分和微分方程数值解七部分内容，且每章配以大量的精选例题和习题，还有思考题、 数值实验和知识扩展阅读。每章的思考题和数值实验也是授课教师进行研究型教学的素材。此外，以此书为授课内容的作者教学录像已经由超星学术视频录制完成。 本书内容新颖，体例规范，结构严谨，具有很高的可读性，适合在经济、管理领域内学习和研究的师生及从业人员选用。

王兵团，*国家科技奖励评审专家，全国研究生数学建模竞赛组委会专家组成员，北京交通大学理学院教授，北京市优秀教师和北京市创新标兵，3次获得全国大学生数学建模竞赛优秀指导教师称号。主要研究方向为科学计算与数学建模，独著或主编9本教材，发表科研和教改论文30余篇。

第1章  绪论

1.1  学习数值分析的重要性

1.2  计算机中的数系与运算特点

1.2.1  计算机的数系

1.2.2  计算机对数的接收与计算处理

1.3  误差

1.3.1  误差的来源

1.3.2  误差的定义

1.3.3  数值计算的误差

1.3.4  计算机的计算误差

1.4  有效数字

1.5  数值分析研究的对象、内容及发展

1.6  数值分析中常用的一些概念

1.7  科学计算中值得注意的地方

思考题

数值实验

习题1

第2章  非线性方程的求根方法

2.1  引例

2.2  问题的描述与基本概念

2.3  二分法

2.3.1  构造原理

2.3.2  分析

2.4  简单迭代法

2.4.1  构造原理

2.4.2  简单迭代法的几何意义

2.4.3  分析

2.4.4  简单迭代法的误差估计和收敛速度

2.4.5  迭代法的加速

2.5  Newton迭代法

2.5.1  构造原理

2.5.2  分析

2.6  Newton迭代法的变形与推广

2.6.1  Newton迭代法的变形

2.6.2  Newton迭代法的推广

2.7  *不动点与压缩映射

简评

思考题

数值实验

习题2

第3章  线性方程组的解法

3.1  引例

3.2  问题的描述与基本概念

3.3  线性方程组的迭代解法

3.3.1  构造原理

3.3.2  迭代分析及向量收敛

3.3.3  迭代法的收敛条件与误差估计

3.4  线性方程组的直接解法

3.4.1  Gauss消元法

3.4.2  LU分解法

3.4.3  特殊线性方程组的解法

3.5  线性方程组解对系数的敏感性

3.5.1  解对系数敏感性的相对误差

3.5.2  有关残向量的注记

简评

思考题

数值实验

习题3

第4章  求矩阵特征值和特征向量的方法

4.1  引例

4.2  问题的描述与基本概念

4.3  幂法

4.3.1  构造原理

4.3.2  分析

4.4  Jacobi方法

4.4.1  构造原理

4.4.2  分析

4.5  QR方法

4.5.1  构造原理

4.5.2  分析

简评

思考题

数值实验

习题4

第5章  插值与拟合方法

5.1  引例

5.2  问题的描述与基本概念

5.2.1  插值问题的描述

5.2.2  拟合问题的描述

5.2.3  插值函数和拟合函数的几何解释

5.3  插值法

5.3.1  代数插值问题

5.3.2  Lagrange插值

5.3.3  Newton插值

5.3.4  Hermite插值

5.3.5  分段多项式插值

5.3.6  三次样条插值

5.4  曲线拟合法

5.4.1  构造原理

5.4.2  分析

5.4.3  可用线性*小二乘拟合求解的几个非线性拟合类型

5.4.4  曲线拟合法的推广

5.5  *内积空间与正交

简评

思考题

数值实验

习题5

第6章  数值积分与数值微分方法

6.1  引例

6.2  问题的描述与基本概念

6.3  插值型求积公式

6.3.1  构造原理

6.3.2  NewtonCotes求积公式

6.4  Gauss求积公式

6.5  复化求积公式

6.5.1  复化梯形公式

6.5.2  复化Simpson公式

6.6  Romberg求积方法

6.6.1  构造原理

6.6.2  分析

6.6.3  Romberg求积方法的计算过程

6.7  数值微分

6.7.1  利用n次多项式插值函数求数值导数

6.7.2  利用三次样条插值函数求数值导数

6.8  *MonteCarlo方法

简评

思考题

数值实验

习题6

第7章  常微分方程初值问题数值解法

7.1  引例

7.2  问题的描述和基本概念

7.2.1  问题的描述

7.2.2  建立数值解法的思想与方法

7.3  数值解法的误差、阶与稳定性

7.4  Euler方法的有关问题

7.4.1  Euler方法的几何意义

7.4.2  Euler方法的误差

7.4.3  Euler方法的稳定性

7.4.4  改进的Euler方法

7.5  RungeKutta方法

7.5.1  构造原理

7.5.2  构造过程

7.5.3  RungeKutta方法的阶与级的关系

7.6  线性多步法

7.6.1  基于数值积分的构造方法

7.6.2  基于Taylor展开的构造方法

7.7  步长的自动选取

7.8  一阶微分方程组和高阶微分方程初值问题的数值解法

7.8.1  一阶微分方程组

7.8.2  高阶微分方程初值问题

简评

思考题

数值实验

习题7

附录A数学符号及名词说明、人名对照

附录B数值分析试题

附录C数值分析中的部分算法参考文献

《数值分析简明教程（第2版）》包含数值分析绪论、方程求根、线性方程组解法、特征值特征向量求法、插值与拟合、数值积分与数值微分和微分方程数值解七部分内容，且每章配以大量的精选例题和习题，还有思考题、 数值实验和知识扩展阅读。每章的思考题和数值实验也是授课教师进行研究型教学的素材。此外，以此书为授课内容的作者教学录像已经由超星学术视频录制完成。 本书内容新颖，体例规范，结构严谨，具有很高的可读性，适合在经济、管理领域内学习和研究的师生及从业人员选用。

王兵团，*国家科技奖励评审专家，全国研究生数学建模竞赛组委会专家组成员，北京交通大学理学院教授，北京市优秀教师和北京市创新标兵，3次获得全国大学生数学建模竞赛优秀指导教师称号。主要研究方向为科学计算与数学建模，独著或主编9本教材，发表科研和教改论文30余篇。