算术探索

图书标准信息

• 作者 [德]高斯 著；潘承彪、张明尧 译
• 出版社 哈尔滨工业大学出版社
• 出版时间 2012-07
• 版次 1
• ISBN 9787560334097
• 定价 158.00元
• 装帧 精装
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸
• 页数 490页
• 字数 740千字
• 正文语种 简体中文
• 原版书名 Disquisitiones Arithmeticae

【内容简介】

《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的第一部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版，这是一部用拉丁文写成的巨著，是数论的最经典及最具权威性的著作。在随后的200年时间中被翻译成多国文字，如德文、英文、俄文等。这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位，只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比，因为高斯有一句名言：“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇。”这部著作共七篇。
第一篇讨论一般的数的同余：并首次引进了同余记号，这是现代数学中无处不在的等价和分类概念出现在代数中的最早的意义重大的例子。
第二篇讨论一次同余方程：其中严格证明了算术基本定理。
第三篇讨论幂的同余式：此篇详细讨论了高次同余式。
第四篇“二次同余方程”意义非同寻常：因为其中给出了二次互反律的证明，有人统计到21世纪初，二次互反律的证明已经超过200种，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、刘维尔、库默尔、克罗内克、戴德金、瓦莱－布桑、希尔伯特、弗罗贝尼乌斯、斯蒂尔切斯、M·里斯、韦伊都给出了新证法，可见问题之重要。
第五篇是“二次型与二次不定方程”在这一篇中关于二次型的特征的研究，标志着群特征标理论的肇始，使高斯成为群论的先驱者之一。
第六篇把前面的理论应用到各种特殊情形，并引入了超越函数。
第七篇是“分圆方程”，不少人认为此篇是《算术研究》的顶峰。
《算术研究》当时对于数学家也很难读，它曾被称为“七印封严之书”（这是西方人对难解之书喜用的词，近于中国人所谓的“天书”，典出《圣经·启示录》第五章第一节：“我看见坐宝座的右手中有书卷，里外都写着书，用七印封严了”）后来迪利克雷作了详细注释。此书简洁完美的风格多少减慢了它的传播速度，而最终当富有才华的年轻人开始深入研读它时，由于出版商的破产，又买不到它了，甚至高斯最喜欢的学生艾森斯坦从未能拥有一本，有些学生不得不从头到尾抄录全书。

【作者简介】

潘承彪，1938年生于江苏省苏州市，1960年毕业于北京大学数学力学系数学专业，1961年起在北京农业机化学院（后改名为北京农业工程大学、中国农业大学）工作，从1977年起同时在北京大学数学系工作。主要从事数学，特别是数论的教学科研工作。与胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析数论基础》、《素数定理的初等证明》、《代数数论》、《初等数论》及《模形式导引》等。
张明尧，1945年12月生于山东省菏泽市，1967年毕业于安徽大学数学系，1981年获得硕士学位后在安徽大学工作；1987年获得博士学位后在中国科技大学工作；1994年调海南大学工作；1996年调上海华东理工大学工作。译著有《数论中未解决的问题（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《纯数学教程（纪念版）》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代数论（第六版）》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修订者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。

【目录】

第一篇数的同余第1～12目
1同余的数，模，剩余及非剩余第1～3目
2最小剩余第4目
3关于同余的若干基本定理第5～11目
4若干应用第12目

第二篇一次同余方程第13～44目
5关于素数、因数等的若干预备定理第13～25目
6一次同余方程的解第26～31目
7对若干个给定的模，求分别同余于给定的剩余的数的方法第32～36目
8多元线性同余方程组第37目
9若干不同的定理第38～44目

第三篇幂剩余第45～93目
10首项为1的几何数列的各项的剩余组成周期序列第45～48目
首先讨论素数模第49～81目
11当模为素数p时，周期的项数是p-1的除数第49目
12Fermat定理第50～51目
13对应的周期的项数等于p-1的给定的除数的数的个数第52～56目
14原根，基，指标第57目
15指标的运算第58～59目
16同余方程xn≡A的根第60～68目
17不同系统的指标间的关系第69～71目
18为特殊应用选取基第72目
19求原根的方法第73～74目
20关于周期和原根的几个不同的定理第75～81目
（Wilson定理）第76～78目
合数模的讨论第82～93目
21模为素数幂第82～89目
22模为2的方幂第90～91目
23由若干个素数合成的模第92～93目

第四篇二次同余方程第94～152目
24二次剩余和非剩余第94～95目
25若模是素数，则在小于模的数中剩余的个数等于非剩余的个数第96～97目
26合数是否是给定素数的剩余或非剩余的问题依赖于它的因数的性质第98～99目
27合数模第100～105目
28给定的数是给定素数模的剩余或非剩余的一般判别法第106目
以给定的数为其剩余或非剩余的素数的讨论第107～150目
29剩余-1第108～111目
30剩余+2和-2第112～116目
31剩余+3和-3第117～120目
32剩余+5和-5第121～123目
33剩余+7和-7第124目
34为一般讨论做准备第125～129目
35用归纳方法来发现一般的（基本）定理及由其推出的结论第130～134目
36基本定理的严格证明第135～144目
37用类似方法证明第114目中的定理第145目
38一般问题的解法第146目
39以给定的数为其剩余或非剩余的全体素数的线性表示式第147～150目
40其他数学家关于这些研究的工作第151目
41一般形式的二次同余方程第152目

第五篇二次型和二次不定方程第153～307目
42研究计划；型的定义及符号第153目
43数的表示；行列式第154目
44数M由型（a,b,c）来表示时所属的表示式2-ac（modM）的值第155～156目
45一个型包含另一个型，或包含在另一个型之中；正常及反常变换第157目
46正常等价及反常等价第158目
47相反的型第159目
48相邻的型第160目
49型的系数的公约数第161目
50给定的一个型变为另一个型的所有可能的同型变换之间的关系第162目
51歧型第163目
52与同时既是正常地又是反常地包含在另一个型中的型有关的定理第164目
53由型表示数的一般性研究以及这些表示与变换的联系第166～170目
54行列式为负的型第171～181目
55特殊的应用：将一个数分解成两个平方数，分解成一个平方数和另一个平方数的两倍，分解成一个平方数和另一个平方数的三倍第182目
56具有正的非平方数行列式的型第183～205目
57行列式为平方数的型第206～212目
58包含在另一个与之不等价的型之中的型第213～214目
59行列式为零的型第215目
60所有二元二次不定方程的一般整数解第216～221目
61历史注记第222目
关于型的进一步研究第223～265目
62给定行列式的型的分类第223～225目
63类划分成层第226～227目
64层划分成族第228～233目
65型的合成第234～244目
66层的合成第245目
67族的合成第246～248目
68类的合成第249～251目
69对给定的行列式，在同一个层的每一个族中都有同样多个类第252目
70不同的层中各个族所含类的个数的比较第253～256目
71歧类的个数第257～260目
72对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不能适合于任何正常本原（当行列式为负数时，还是定正的）族第261目
73基本定理以及与剩余-1,+2,-2有关的其他定理的第二个证明第262目
74精确地确定不能适合于族的那一半特征第263～264目
75分解素数成两个平方数的特殊方法第265目
76三元型研究杂谈第266～285目
对于二元型理论的某些应用第286～307目
77怎样求一个型，由它的加倍可以得到主族中一个给定的二元型第286目
78除了在第263和264目中已经证明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都与某个族相对应第287目
79数及二元型分解为三个平方的理论第288～292目
80Fermat定理的证明：任何整数可以分解成三个三角数或者分解成四个平方数第293目
81方程ax2+by2+cz2=0的解第294～295目
82Legendre讲述基本定理的方法第296～298目
83由任意的三元型表示零第299目
84二元二次不定方程的有理通解第300目
85族的平均个数第301目
86类的平均个数第302～304目
87正常本原类的特殊算法；正则和非正则的行列式，等第305～307目

第六篇前面讨论的若干应用第308～334目
88将分数分解为若干个较简单分数第309～311目
89普通分数转换为十进制数第312～318目
90用排除法解同余方程x2≡A第319～322目
91用排除法解不定方程mx2＋ny2=A第323～326目
92A为负数时同余方程x2≡A的另一种解法第327，328目
93判别合数与素数及寻求合数的因数的两个方法第329～334目

第七篇分圆方程第335～366目
94讨论可归结为把圆分为素数份的最简单情形第336目
95关于弧（它由整个圆周的一份或若干份组成）的三角函数的方程；把三角函数归结为方程xn-1=0的根第337～338目
关于方程xn-1=0的根的理论（假定n是素数）第339～354目
96若不计根1，则全部其余的根（Ω）是属于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0第339～340目
97函数X不能分解为系数均为有理数的因式的乘积第341目
98进一步讨论的目的的说明第342目
99Ω中的所有的根可分为若干个类（周期）第343目
100关于Ω中根组成的周期的几个的定理第344～351目
101基于以上讨论解方程X=0第352～354目
进一步讨论根的周期第355～360目
102有偶数项的和是实数第355目
103把（Ω）中的根分为两个周期的方程第356目
104第四篇中提到的一个定理的证明第357目
105把（Ω）中的根分为三个周期的方程第358目
106把求Ω中的根的方程化为最简方程第359～360目
以上研究在三角函数中的应用第361～364目
107求对应于（Ω）中每个根的角的方法第361目
108不用除法从正弦与余弦导出正切，余切，正割及余割第362目
109逐次降低关于三角函数的方程次数的方法第363，364目
110利用解二次方程或几何作图方法可实现的圆周的等分第365，366目
补记

附表
译者注
附录高斯--数学王者科学巨人
1德国情势
2贫寒之家
3心算神童
4学院三载
5大学攻读
6出手不凡
7科学随记
8博士论文
9算术探索
10一算成名
11恋爱结婚
12公爵之死
13丧妻再娶
14天文著作
15辉煌十年
16大地测量
17曲面理论
18非欧几何
19物理研究
20教学工作
21政治风波
22晚年生活
23业余爱好
24人际关系
25工作风格
26溘然长逝
27高斯全集
注
人名索引
人名译名表
编辑手记