度量空间的拓扑学
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作者杨忠强，杨寒彪编著
出版社科学出版社
ISBN9787030516176
出版时间2017-03
版次1
装帧平装
开本16开
纸张胶版纸
页数338页
字数428千字
定价128元
货号SC:9787030516176
上书时间2024-09-18
商品详情
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内容简介:
本书主要是以度量空间为基础进行拓扑学性质的探究.对于读者而言，以度量空间为基础可以降低拓扑学的入门难度.与此同时本书也介绍了对于拓扑学而言相对重要的结果，特别是其他中文书籍相对较少涉及的拓扑学维数论，无限维拓扑学等的相关结果也在本书中有所体现.此外，重视拓扑学和其他学科的结合是本书的一个特点.本书从基本的集合论知识起步，先介绍了度量空间、连续映射、度量空间的连通性和紧性，然后介绍了可分度量空间、完备度量空间、Baire空间，还包含了这些结论在分析学中的应用、Cantor集的拓扑特征及其万有性；进一步，本书定义了拓扑空间,并把度量空间的拓扑学知识推广到了更一般的拓扑空间中，并定义了仿紧性，证明了一些可度量化定理等.最后本书证明了Michael选择定理、Dugundji扩张定理、Brouwer不动点定理和Anderson定理.本教材主要面向数学专业本科生和低年级研究生，也可以作为对拓扑学有兴趣的研究者的参考书.
摘要:
靠前章 公理集合论简述
集合论是现代数学的基础.本章将给出本书所需要的基本集合论知识.按照现在的教材体系，集合论知识在高中数学课本中已经出现，在大学的各门课程中又进行了加深，特别是\实变函数"课程中定义了基数等.因此，我们希望，作为这些课程的后续课程，我们给出的集合论知识能在此基础上有所提高.我们选择一种介于公理化方法和朴素方法之间的方法介绍集合论知识.具体而言，我们没有给出逻辑知识，虽然，一般来讲，公理化集合论需要很强的逻辑知识.另外，对于一些如果用公理化方法将会很麻烦的地方，我们进行了朴素处理.当然，我们也兼顾公理化方法和朴素方法，一方面用公理的方法给出严格的陈述，另一方面又用朴素的语言给出解释.关于集合论的系统知识见[8]，[10]，[20].
读者如果不想学习公理集合论，你可以简单浏览一下1.1节，知道本书的一些记号，然后继续看1.2节—1.4节即可.对于大多数读者已经熟悉的一些集合论知识，我们放在了练习中，希望大家复习.
1.1 集合论公理
本节将给出集合论公理和一些基本概念.所谓公理化方法就是用公理(即被认为是正确的论断)给出一些概念的性质.集合论中两个很重要的不定义概念为:集合和集合的元素.也就是说，下面的两个论断不需要给出定义:
靠前，Z是一个集合;
第二，集合a是集合A的元素，记作，或者.
因为读者已经熟悉这两个概念的朴素说明，我们在此不再进一步地说明.本书中，几乎所有的研究对象都是集合，所以，小写的英文字母等，大写的英文字母等，花写的英文字母A，B，C等，带下标的字母等，希腊字母等都可以表示集合.注意，“元素”并不是一个集合论概念，更不是一个不定义概念.所以，你可以说，集合a是集合A的一个元素，但是，你不可以说，集合a是一个元素！在很多教科书中，为了强调，有时称一个由集合组成的集合为族.但是，按照一般公理化集合论的观点，所有的集合都是由集合组成的.本书中，为了和大家的习惯一致，我们有时也称一些集合为族，也就是说，族是集合的同义词.另外，对于个别不是集合的类，我们用多个黑体字母表示，例如，SET表示所有集合构成的类.
在本书中，用或者记不成立，表示a不是集合A的元素.以后，我们也用类似的方法表示否定，例如，3662，a6=b等.
下面我们用公理给出这两个概念的基本性质，这个公理体系被称为Zermelo-Fraenki选择公理系统，简记为ZFC系统.
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...
目录:
第1章公理集合论简述1
1.1集合论公理1
1.2集合上的几种特殊关系8
1.3序数与基数16
1.4选择公理26
第2章度量空间31
2.1度量空间的定义及例子31
2.2开集、闭集、基、序列36
2.3闭包、内部、边界41
2.4连续映射、同胚、拓扑性质45
2.5一致连续、等距映射与等价映射51
2.6度量空间的运算53
2.7Urysohn引理和Tietze扩张定理67
2.8Borel集和绝对Borel空间73
第3章度量空间的连通性76
3.1连通空间76
3.2连通分支与局部连通空间82
3.3道路连通空间87
第4章紧度量空间91
4.1紧度量空间的定义、等价条件91
4.2紧度量空间的运算I96
4.3紧度量空间的性质99
4.4局部紧度量空间102
4.5紧度量空间的运算II106
4.5.1超空间106
4.5.2函数空间111
4.6Cantor集的拓扑特征113
第5章可分度量空间118
5.1可分度量空间的定义及等价条件118
5.2嵌入定理123
5.3Cantor空间的万有性质129
第6章完备度量空间与可完备度量空间134
6.1完备度量空间134
6.2度量空间的完备化142
6.3可完备度量空间144
6.4Baire性质及其应用146
第7章拓扑空间与可度量化定理156
7.1拓扑空间的定义及例子1
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