生命系统的物理建模

图书标准信息

• 作者 [美]菲利普·纳尔逊
• 出版社 上海科学技术出版社
• 出版时间 2018-08
• 版次 1
• ISBN 9787547839836
• 定价 108.00元
• 装帧 其他
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸

【内容简介】

《生命系统的物理建模》源于菲利普•纳尔逊（Philip Nelson）教授在宾夕法尼亚大学授课数年的讲义，学员主要是2-3年级理工科学生，他们至少受过一年的物理和相关数学课程的训练,对合成生物学、超高分辨显微镜等有所了解，并希望有所作为。不同于先前的生物物理教材着眼于介绍生命系统的物理现象，本书侧重于从定量实验数据中通过物理建模的方式提炼出科学规律，为*终实现生命科学数学化提出了自己的方法。
  本书是为现代生物物理学作科学铺垫的基础课，也适合作为许多专业课的补充教材，包括物理学、生物物理学、各类工程学和应用数学。某些内容已经超越了本科范围，只要纳入教师自己的专业知识，本书很方便就成了研究生教材。

【作者简介】

菲利普•纳尔逊（Philip Nelson）：美国著名物理学家，宾夕法尼亚大学教授，著有《生物物理学：能量、信息、生命》、《生命系统的物理建模》等广受欢迎的大学及研究生教材。

【目录】

前言：HIV研究的突破得益于学科交叉 1

I 预备知识 7

1 病毒动力学 9

1.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 HIV 感染过程建模 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 生物背景 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 恰当的图表有利于揭示数据的关键特征 . .

. . . . . . . . . . 11

1.2.3 鉴别系统主因及其主要相互作用是物理建模的第一步 . . . . 12

1.2.4 数学分析可以预测一系列行为 . . . .

. . . . . . . . . . . . . 14

1.2.5 大部分模型都必须适用于数据拟合 . . .

. . . . . . . . . . . 15

1.2.6 过约束与过拟合 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 有关建模的几句忠告 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 18

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 21

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 23

2 物理学与生物学 27

2.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 交叉 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 量纲分析 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 29

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 31

II 生物学的随机性 33

3 离散型随机性 35

3.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 随机性事例 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

生命系统的物理建模

3.2.1 五个典型例子阐明随机性概念 . . . .

. . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 随机系统的计算机模拟 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3 生物和生化的随机性例子 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4 假象：流行病学中的聚簇 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 离散型随机系统的概率分布 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 概率分布描述了随机系统的可预测性 . .

. . . . . . . . . . . 41

3.3.2 随机变量是样本空间上的赋值函数 . . .

. . . . . . . . . . . 42

3.3.3 加法规则 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.4 减法规则 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 条件概率 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1 独立事件与乘法规则 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1.1 婴儿床死亡事件与检察官谬论 . . . .

. . . . . . . . 46

3.4.1.2 几何分布描述首次成功所需的等待时间 . .

. . . . 46

3.4.2 联合分布 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.3 医学检查的恰当解释需要条件概率为前提 .

. . . . . . . . . 49

3.4.4 贝叶斯公式精简了条件概率的计算 . . .

. . . . . . . . . . . 51

3.5 期望和矩 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.1 期望表达的是随机变量多次试验的平均值 .

. . . . . . . . . 52

3.5.2 随机变量的方差是其涨落的一种度量 . .

. . . . . . . . . . . 54

3.5.3 平均值的标准误差随样本数的增加而减小 .

. . . . . . . . . 56

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 57

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 60

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 64

4 实用离散分布介绍 71

4.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 二项式分布 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 溶液中取样的过程等同于伯努利试验 . .

. . . . . . . . . . . 71

4.2.2 多次伯努利试验的总和遵循二项式分布 . .

. . . . . . . . . . 72

4.2.3 期望和方差 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.4 如何计数细胞内的荧光分子数 . . . .

. . . . . . . . . . . . . 74

4.2.5 二项式分布的计算机模拟 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 泊松分布 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3.1 样本数趋于无穷时二项式分布变得简单 . .

. . . . . . . . . . 76

4.3.2 低概率的伯努利试验之和服从泊松分布 . .

. . . . . . . . . . 76

4.3.3 泊松分布的计算机模拟 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.4 单离子通道的电导测定 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.5 泊松分布的简单卷积运算 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 81

4.4 中奖分布及细菌遗传学 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.1 理论正确很重要 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.2 不可重复的实验数据仍然可能包含重要信息 .

. . . . . . . . 83

ii

目

录

4.4.3 抗性产生机制的两个模型 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 84

4.4.4 卢里亚–德尔布吕克假说对幸存数的分布做出可检验的预测 . 85

4.4.5 展望 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 89

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 91

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 94

5 连续分布 101

5.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 概率密度函数 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.1 连续随机变量概率分布的定义 . . . .

. . . . . . . . . . . . . 101

5.2.2 三个关键分布：均匀分布、高斯分布和柯西分布

. . . . . . 103

5.2.3 连续随机变量的联合分布 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.4 前述分布的期望和方差 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.5 概率密度函数的变换 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.6 特定分布的计算机模拟 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3 高斯分布 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.1 高斯分布起源于二项式分布的极限情形 . .

. . . . . . . . . . 110

5.3.2 中心极限定理解释高斯分布的普遍性 . .

. . . . . . . . . . . 111

5.3.3 高斯分布的局限性 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4 长尾分布 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 116

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 118

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 122

6 模型选择和参数估计 128

6.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2 最大似然 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2.1 模型好坏的评判 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2.2 不确定情况下的决策 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.2.3 贝叶斯公式给出新数据更新置信度的自洽方案

. . . . . . . . 131

6.2.4 计算似然的实用方法 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.3 参数估计 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3.1 直觉 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3.2 模型参数的最大可能值可以由有限数据集得出

. . . . . . . . 134

6.3.3 置信区间给出与当前数据一致的参数范围 .

. . . . . . . . . 135

6.3.4 小结 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4 生物学应用 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.4.1 卢里亚–德尔布吕克实验的似然分析 . .

. . . . . . . . . . . . 137

6.4.2 超分辨率显微镜 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.4.2.1 显微术 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 138

iii

生命系统的物理建模

6.4.2.2 纳米精度的荧光成像 . . . . . .

. . . . . . . . . . . 138

6.4.2.3 定位显微镜:PALM/FPALM/STORM

. . . . . . . 141

6.5 最大似然方法可以从数据推断函数关系 . .

. . . . . . . . . . . . . . 142

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 145

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 148

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 155

7 泊松过程 160

7.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2 单分子机器动力学 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.3 随机过程 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.3.1 重温几何分布 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.3.2 泊松过程可以被定义为重复伯努利试验的连续时间极限 . . . 164

7.3.2.1 连续等待时间是指数分布的 . . . .

. . . . . . . . . 165

7.3.2.2 计数分布 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3.3 泊松过程的有用特性 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3.3.1 稀释特性 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3.3.2 合并特性 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3.3.3 稀释和合并特性的意义 . . . . .

. . . . . . . . . . 170

7.4 更多例子 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.4.1 低浓度时酶转化 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.4.2 神经递质释放 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.5 多级过程的卷积 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.5.1 肌球蛋白-V是持续分子马达，步进时间显示出双头特性 . . . 172

7.5.2 随机度参数能揭示动力学中的子步 . . .

. . . . . . . . . . . 175

7.6 泊松过程的计算机模拟 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.6.1 简单的泊松过程 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.6.2 多事件的泊松过程 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 176

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 177 拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 179习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 181

III 细胞调控 187

8 细胞过程的随机性 189

8.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2 随机行走 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2.1 研究现状 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.2.1.1 方向随机的周期性步进 . . . . .

. . . . . . . . . . 189

8.2.1.2 不规则间隔的定向步进 . . . . .

. . . . . . . . . . 190

iv

目

录

8.2.2 等待时间和步进方向都随机的布朗运动模型 .

. . . . . . . . 190

8.3 分子群体动力学类似于马尔可夫过程 . .

. . . . . . . . . . . . . . . 191

8.3.1 生–灭过程描述细胞中化学物质群体数量的波动

. . . . . . . 192

8.3.2 生–灭过程在连续确定性近似中接近稳定总量水平 . . . . . . 193

8.3.3 Gillespie算法 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.3.4 稳态的生–灭过程也存在涨落 . . . .

. . . . . . . . . . . . . 196

8.4 基因表达 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.4.1 活细胞中的mRNA数量可以精确监测 . .

. . . . . . . . . . . 197

8.4.2 转录以阵发式生产mRNA . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 199

8.4.3 展望 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.4.4 远景：蛋白生产中的随机性 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 203

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 204

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 206

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 212

9 负反馈控制 214

9.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.2 机械反馈系统及其相图 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.2.1 细胞内稳态问题 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.2.2 负反馈可以将系统带入稳态并维持在设定点 .

. . . . . . . . 215

9.3 细胞内的湿件 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3.1 许多细胞状态变量可以被视为存量 . . .

. . . . . . . . . . . 217

9.3.2 生–灭过程存在负反馈的简单形式 . . .

. . . . . . . . . . . . 218

9.3.3 细胞可以通过变构修饰来控制酶活性 . .

. . . . . . . . . . . 218

9.3.4 转录因子可以控制基因的活性 . . . .

. . . . . . . . . . . . . 219

9.3.5 人工控制模块可以用在更复杂的生物体 . .

. . . . . . . . . . 221

9.4 分子存量动力学 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.4.1 转录因子通过许多弱相互作用的集体效应黏附到DNA

. . . . 223

9.4.2 两个速率常量控制结合概率 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 223

9.4.3 阻遏物结合曲线可由平衡常量和协同参数来描述

. . . . . . 224

9.4.4 基因调控函数定量描述基因对转录因子的响应

. . . . . . . . 227

9.4.5 稀释和清除可抵消转录物的生成 . . .

. . . . . . . . . . . . 228

9.5 合成生物学 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.5.1 网络图 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.5.2 负反馈可以稳定分子存量并缓和细胞的随机性

. . . . . . . . 230

9.5.3 有调控与无调控基因的内稳态的定量比较 .

. . . . . . . . . 232

9.6 天然回路示例：trp 操纵子 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.7 系统在恢复到稳定不动点过程中发生过冲 .

. . . . . . . . . . . . . 235

9.7.1 二维相图 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.7.2 恒化器 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.7.3 展望 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

v

生命系统的物理建模

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 242

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 245

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 250

10 基因开关 252

10.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.2 细菌行为 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.2.1 细胞可以感知其内部状态并产生类似开关的响应

. . . . . . 252

10.2.2 细胞可以感知其外部环境并与内部状态信息进行整合 . . . . 254

10.2.3 Novick 和 Weiner 在单细胞水平上对诱导的刻画

. . . . . . 254

10.2.3.1 全有或全无假说 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 254

10.2.3.2 Novick-Weiner 实验的定量预测 . . .

. . . . . . . . 257

10.2.3.3 全有或全无假说的直接证据 . . . .

. . . . . . . . . 259

10.2.3.4 小结 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10.3 正反馈导致双稳态 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10.3.1 机械切换装置 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10.3.2 电子开关 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.3.2.1 正反馈会导致神经元兴奋 . . . . .

. . . . . . . . . 263

10.3.2.2 锁存电路 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 264

10.3.3 二维相图存在分界线 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.4 大肠杆菌中合成切换开关网络 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.4.1 两个相互阻抑基因可以构建切换开关 . .

. . . . . . . . . . . 264

10.4.2 调节分岔可使开关复原 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 267

10.4.3 展望 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

10.5 天然开关 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10.5.1 lac 开关 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.5.2 λ开关 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 275

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 278

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 287

11 细胞振子 289

11.1 导读 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11.2 单细胞也存在昼夜或有丝分裂时钟 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 289

11.3 合成的细胞振子 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.3.1 延迟负反馈回路能提供振荡行为 . . .

. . . . . . . . . . . . 290

11.3.2 连环制约的三阻遏物也可以激发振荡 . .

. . . . . . . . . . . 290

11.4 机械时钟及相关装置也存在相图 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 291

11.4.1 负反馈环中添加切换开关可以改善其性能 .

. . . . . . . . . 291

11.4.2 弛豫振子的生物合成 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 296

11.5 自然振子 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

vi

目

录

11.5.1 蛋白质回路 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

11.5.2 非洲爪蟾的有丝分裂时钟 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 297

总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 300

拓展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 303

习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 308

后记 310

附

录 313

A 符号列表 315

A.1 数学符号 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

A.2 图形符号 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

A.2.1 相图 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

A.2.2 网络图 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

A.3 命名的量 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

B 单位和量纲分析 320

B.1 基本单位 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

B.2 量纲和单位 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

B.3 无量纲量 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

B.4 关于图 . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

B.4.1 任意单位 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

B.5 关于角度 . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

B.6 量纲分析的丰厚回报 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

C 基本常数和常量 326

致谢 327

引用说明 330

参考文献 332

索引 344