• 工程数学 线代数(第2版)
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工程数学 线代数(第2版)

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天津武清
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作者主编 纪德云 关凯 副主编 罗蕾 马鸿

出版社清华大学出版社

ISBN9787302479048

出版时间2017-09

装帧平装

开本16开

定价29元

货号25155706

上书时间2024-12-22

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品相描述:全新
商品描述
前言

前    言

随着科学技术的不断发展以及交叉学科的进一步融合,线性代数涉及的许多内容,如行列式、矩阵、线性方程组的解、特征值与特征向量及二次型等,在理、工、农、医、经济、管理等领域的理论研究与实际应用中都发挥着重要的作用。

第2版是对2015年4月第1版的修订。修正了第1版的一些错误与不妥之处,基本保持了第1版的风格与体系。“线性代数”课程是普通高校各专业大学生必修的一门数学基础理论课程,本课程不仅可为学生进一步学习提供必要的数学基础,而且能使学生的抽象思维能力得到进一步训练,同时它还可为后续专业课程的学习奠定理论基础。通过学习本课程,学生能够不断增强创新意识,全面提高学生运用数学方法分析问题、解决问题的能力。

本书根据*《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求,总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成。编写中本着重视概念、侧重计算、强调应用的指导思想,力求做到结构严谨、概念准确、由浅入深、简洁明白、通俗易懂、适于自学。

本书在第1版的基础上进行了修改,参加第2版修订工作的有,关凯老师(执笔第1章、第4章),罗蕾老师(执笔第2章、第3章),马鸿老师(执笔第5章),纪德云老师(执笔第6章),后由纪德云老师修改定稿。在修订过程中,承蒙马毅老师的大力帮助,在此表示衷心感谢!

由于编者水平有限,书中难免还有不妥之处,敬请读者批评指正。

 

 

编  者  



导语摘要

“线性代数”课程是理工科学生的公共课程。本书内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量、矩阵的相似及二次型等。编写中强调实用性和通用性,力求概念准确,内容易懂。在例题的选取上注重典型性、代表性和实用性。

本书可作为各高等院校工、农、医等专业本、专科学生的学习教材,也可作为研究生、教师和科技人员的学习参考书。



目录


第1章  行列式.... 1


1.1  二阶与三阶行列式... 1


1.2  排列... 4


1.3  n阶行列式... 5


1.4  行列式的性质... 8


1.5  行列式按行(列)展开... 14


1.6  克莱姆法则... 19


习题... 22


第2章  矩阵及其运算.... 25


2.1  矩阵的概念... 25


2.2  矩阵的运算... 27


2.2.1  矩阵的加法... 27


2.2.2  数与矩阵的乘法... 28


2.2.3  矩阵与矩阵的乘法... 28


2.2.4  矩阵的转置... 31


2.2.5  矩阵的行列式... 32


2.3  可逆矩阵... 33


2.4  矩阵的分块... 37


习题... 42


第3章  矩阵的初等变换与线性方程组.... 47


3.1  矩阵的初等变换... 47


3.2  初等变换和矩阵的逆矩阵... 53


3.3  矩阵的秩... 56


3.4  线性方程组... 59


习题... 64


第4章  向量组的线性相关性.... 71


4.1  向量组及其线性组合... 71


4.2  向量的线性相关性... 74


4.3  极大无关组与向量组的秩... 78


4.4 线性方程组解的结构... 83


4.5  向量空间... 88


习题... 89


第5章  特征值和特征向量  矩阵的相似.... 93


5.1  矩阵的特征值和特征向量... 93


5.2  相似矩阵... 97


5.3  实对称矩阵的对角化... 99


习题... 102


第6章  二次型.... 105


6.1  二次型及其矩阵表示法... 105


6.2  标准形... 107


6.3  规范形... 113


6.4  正定二次型与正定矩阵... 114


习题... 118


习题参考答案.... 120


参考文献.... 135



内容摘要

“线性代数”课程是理工科学生的公共课程。本书内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量、矩阵的相似及二次型等。编写中强调实用性和通用性,力求概念准确,内容易懂。在例题的选取上注重典型性、代表性和实用性。


本书可作为各高等院校工、农、医等专业本、专科学生的学习教材,也可作为研究生、教师和科技人员的学习参考书。



主编推荐

随着科学技术的不断发展以及交叉学科的进一步融合,线性代数涉及的许多内容,如行列式、矩阵、线性方程组的*解、特征值与特征向量及二次型等,在理、工、农、医、经济、管理等领域的理论研究与实际应用中都发挥着重要的作用。


第2版是对2015年4月第1版的修订。修正了第1版的一些错误与不妥之处,基本保持了第1版的风格与体系。“线性代数”课程是普通高校各专业大学生必修的一门数学基础理论课程,本课程不仅可为学生进一步学习提供必要的数学基础,而且能使学生的抽象思维能力得到进一步训练,同时它还可为后续专业课程的学习奠定理论基础。通过学习本课程,学生能够不断增强创新意识,全面提高学生运用数学方法分析问题、解决问题的能力。


本书根据*《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求,总结作者多年讲授线性代数课程的实践经验编写而成。编写中本着重视概念、侧重计算、强调应用的指导思想,力求做到结构严谨、概念准确、由浅入深、简洁明白、通俗易懂、适于自学。



精彩内容

第1章  行  列  式

  初的行列式理论是人们从求解线性方程组的过程中建立和发展起来的,它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用。本章我们主要讨论以下几个问题。

  (1) 行列式的定义;

  (2) 行列式的基本性质及计算方法;

  (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)。

1.1  二阶与三阶行列式

  设有二元线性方程组

                                                                        (1.1)

  使用加减消元法求解该方程组未知数的值,当时,可得

                                                               (1.2)

  这就是求解二元线性方程组的一般公式。但这个公式很繁杂,不容易记忆。为此我们引入新的运算符号来表示式(1.2)这个结果,这就是行列式的起源。我们称

 

为二阶行列式。它含有两行两列。横排称为行,竖排称为列。

  数(i=1,2;j=1,2)为二阶行列式的元素,元素的个下标i表示这个元素所在的行数,称为行标;第二个下标j表示这个元素所在的列数,称为列标。

  从上述定义得知,二阶行列式是这样两项的代数和:是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积,取正号;是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积,取负号。可参考图1.1来记忆。

 

  图1.1

  根据二阶行列式的定义,式(1.2)中的两个分子也可写成二阶行列式,即

 

,,

当时,则方程组(1.1)的解的表达式(1.2)可以表示成

  ,                 (1.3)

  式(1.3)中分母的行列式是由方程组(1.1)中未知数的系数按其原有的相对位置排成的,称为系数行列式;的分子行列式可以看成是把系数行列式的第1列换成方程组(1.1)中的常数项得到的,而的分子行列式则可以看成是把系数行列式的第2列换成式(1.1)中的常数项得到的。

  例1.1  用二阶行列式解线性方程组

 

  解  由于                

 

 

因此 

 

对于三元一次线性方程组

                                            (1.4)

可引入三阶行列式的概念。我们称

      (1.5)

为三阶行列式。它有三行三列,共六项的代数和。这六项的和也可用对角线法则来记忆:从左上角到右下角三个元素的乘积取正号,从右上角到左下角三个元素的乘积取负号,如图1.2所示。

 

=

  图1.2

  对于三元一次线性方程组(1.4)的求解,也有类似二元线性方程组的解的表达式(1.3)的结论。

  设

,,,

  当时,方程组(1.4)有解,且解可简单地表示成

  ,,                       (1.6)

  例1.2  计算

  解  由三阶行列式的定义得

 

 

 

例1.3  解线性方程组

 

  解

,    

,     

由式(1.6)得

 

  例1.4  满足什么条件时有

 (其中均为实数)

  解                         

  由题知,所以a、b须同时等于0。

  因此,当且时,给定的行列式等于0。

1.2  排    列

  为了研究更为一般的线性方程组的求解公式,我们需要引入n阶行列式的概念,为此先介绍排列的一些基本知识。

  定义1.1  由数码1,2,3,…,n组成的一个有序数组称为一个阶排列。

  例如,12345是一个五阶排列,32415也是一个五阶排列,而312是一个三阶排列。

  排列是有序数组,同一组数码的排列顺序不同就会得到不同的排列,例如由数码1,2,3组成的所有三阶排列为123、132、213、231、312、321,共有3!=6个。

  我们把数字由小到大的n阶排列1234…n称为自然序排列。

  定义1.2  在一个n阶排列中,如果有较大的数排在较小的数的前面,则称与构成一个逆序,一个阶排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为。

  例如,在三阶排列312中,3与1、3与2各构成一个逆序数,所以,排列312的逆序数为2。同理,321的逆序数为3。

  显然,自然序排列的逆序数为0。

  定义1.3  如果排列的逆序数是奇数,则称此排列为奇排列;逆序数是偶数的排列则称为偶排列。

  例如,排列312是偶排列,排列321是奇排列,自然序排列123…n是偶排列。

  定义1.4  在一个阶排列中,如果其中某两个数与对调位置,其余各数位置不变,就得到另一个新的阶排列,这样的变换称为一个对换,记作。

  例如,排列312是偶排列,将排列中的1和2对换后,得到新的排列321,由前得知,321是奇排列;反之亦然。

  一般来说,有以下定理。

  定理1.1  任一排列经过一次对换后,其奇偶性改变。

  证明  略

  定理1.2  任一阶排列都可通过一系列对换与阶自然序排列123…n互变,且所作对换的次数与这个阶排列有相同的奇偶性。

  证明  略

1.3 n阶行列式

  为了引入阶行列式的定义。我们来观察1.1节中二阶、三阶行列式定义的特征。

  已知二阶与三阶行列式分别为

 

 

  通过仔细观察,从中可以发现以下规律。

  (1) 在二阶行列式的代数和中,项的个数是2!;在三阶行列式的代数和中,项的个数是3!。

  (2) 二阶行列式中的每一项都是取自不同的行和不同的列的两个元素的乘积,三阶行列式中的每一项都是取自不同的行和不同的列的三个元素的乘积。

  (3) 每一项的符号有如下规律:当这一项中元素的行标是按自然序排列时,如果元素的列标为偶排列,则取正号;为奇排列,则取负号。

  由二阶、三阶行列式定义进行推广,阶行列式的定义如下。

  定义1.5  由个元素排成行列,称

 

为n阶行列式。它是项的代数和,每一项是取自不同行和不同列的个元素的乘积,各项的符号有如下规律:每一项中各元素的行标排成自然序排列,如果列标的排列为偶排列,则取正号;为奇排列,则取负号。于是得

=           (1.7)

其中,表示对所有的阶排列求和。式(1.7)称为阶行列式按行标自然顺序排列的展开式,其中为自然数1,2,…,n的一个排列,为这个排列的逆序数,称为行列式的一般项。

  当时,这样定义的二阶、三阶行列式与前面1.1节中用对角线法则定义的是一致的。

  注  当时,一阶行列式为,此时不要与值符号混淆。

  例1.5  在五阶行列式中,这一项应取什么符号?

  解  这一项各元素的行标是按自然顺序排列的,而列标的排列为23514。这个排列的逆序数为4,故这一项应取正号。

  例1.6  写出四阶行列式中,带负号且包含因子的项。

  解  包含因子项的一般形式为。

  按定义,可取2或4,可取4或2,因此包含因子的项只能是或,但因1324这个排列的逆序数1为奇数,1342这个排列的逆序数2为偶数,所以此项只能是。

  例1.7  计算

  解  这是一个四阶行列式,按行列式的定义,它应有4!=24项。但只有

不为0。与上述四项相对应的列标的四阶排列分别为1234、1243、2134,2143,它们的逆序数分别为0、1、1、2,所以项和第四项应取正号,第二项和第三项应取负号,即

 

  例1.8  计算上三角形行列式

 

其中,。

  解由阶行列式的定义,D应有项代数和,其一般项为

 

  但由于中有许多元素为0,因此只需求出上述一般项中不为0的项即可。

  在中,第行元素除外,其余均为0,所以;在第行中,去除与同行及同列的元素后,不为0的元素只有。同理逐步上推,可以看出,在展开式中只有一项不等于0。而这项的列标所组成的排列的逆序数是0,所以取正号。因此,由行列式的定义可推出

 

即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。

  例1.9  计算 。

  解  方法同例1.8,中只有一项不等于0,且列标构成排列的逆序数为

 

  故。

  同理可推得以下结论:

 

 

         =

            =

  由阶行列式的定义可知,行列式中的每一项都是取自不同行不同列的个元素的乘积,所以如果行列式某一行(列)的元素全为0,则该行列式必等于0。

  数的乘法是满足交换律的,所以阶行列式的项也可以写成

                                          (1.8)

其中,是两个阶排列,它的符号由下面的定理来决定。

  定理1.3  阶行列式的一般项可以写成

                     (1.9)

  证明  若根据阶行列式的定义来决定式(1.8)的符号,就要把这个元素重新排列,使得它们的行标成自然顺序,也就是排成

                              (1.10)

于是它的符号就是。

  现在来证明式(1.7)与式(1.9)是一致的。我们知道从式(1.8)变到式(1.10)可经过一系列元素的对换来实现。每作一次对换,元素的行标与列标所组成的排列,就同时作一次对换,因而它的逆序数之和的奇偶性不改变。

  由此,阶行列式的定义又可叙述为

 

1.4  行列式的性质

  当行列式的阶数较高时,根据

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