金融统与理金融：方法、模型及应用

前　　言本书系统而且深入地介绍了金融市场的量化所需的一些重要的数学理论，它包含了狭义的数理金融：为期权这种未定权益定价的套利理论及相关的数学理论，以及分析来自金融市场数据的统计方法与统计模型.这两个领域在发展过程中或多或少地相互分离了，而同时覆盖这两个领域的教材又非常缺乏，这是我写作本书的主要动机.我尝试着实现这一目的.本书适合硕士生、博士生、研究人员以及对上述两个领域感兴趣的实践工作者阅读.其中许多章节也适合已经学习了微积分、概率论及统计的本科生阅读.除了少数例外，所有的结果都给出了详细的证明，尽管可能与传统的证法有所不同.为了避免过多的概念、记号、模型和方法使得教材变得太复杂，也为了读者在首次阅读的时候就能跟随计算和推导快速地掌握本书的内容，我们尽可能地使本书的数学公式及记号初等化.在每章的结尾部分，我们都给出了所用参考文献的评注，这有助于更好地理解本书，也为进一步的学习提供了参考.第1章从介绍一些重要的概念，如期权、金融衍生品等金融工具及相关的交易策略开始.但本章的重点不是阐述衍生品的原理和基本结果，而是引入后续章节所需的各种金融术语.本章也给出了现金流、贴现和利率期限结构的初步介绍.在一段给定时期上的资产收益（通常是日均收益）是金融市场中非常重要的研究主体，因为资产可根据收益重新定价，评判投资的依据也是资产的收益.对于收益的预估、预估误差、扰动范围等量的统计学分析有着重要的经济意义，所以，本章对相关的统计估计方法作了详细的介绍.要对投资风险进行度量必须知道相关统计估计的性质.例如，波动率与投资收益的标准误差密切相关，而风险价值，顾名思义，需要研究风险的量化及它们的统计估计.第1章以初步介绍期权定价作结尾，引入了数理金融学中重要的一些概念，如无套利原理、风险中性定价原理，以及这些概念与概率演算（特别是等价鞅测度的存在性）的关系.事实上，通过基础的介绍或一些简单的实例，就可以迅速掌握以上概念和基本结论.第2章讨论套利理论和单期模型的未定权益的定价.设在0时刻，投资者建立了一个资产组合，需要讨论该资产组合在1时刻的收益状况.在一个简单的框架内，本章对第1章的结果作严格的数学处理，并将结果从有限概率空间（在该空间假设下，市场仅有有限种情况发生）推广到一般概率空间中去，使之更符合实际市场.空间分离定理表明，任意给定一个点，我们可以把它和指定的凸集分离.分离定理被用来证明套利机会消失及等价鞅测度的存在性，因此本章给出了分离定理的详细介绍，并给出了建立在Esscher变换下的等价鞅测度的构造方法.第3章详细地介绍了离散时间（时间序列）的随机过程，包括鞅、鞅差分序列、线性过程、ARMA过程、GARCH过程，以及长记忆序列.鞅是数理金融中的一个基本概念，研究结论表明，在任意无套利的金融市场中，均存在一个概率测度，使得风险资产的贴现价格过程在该测度下是一个鞅，而任意一项未定权益，均能在该测度下得到它的风险中性定价，鞅理论对得到这些成果起到了关键性的作用.但是本章仅限于介绍在后面各章中需要用到的鞅性质.对鞅过程取一阶差分，即鞅差分序列，白噪声是它的一种形式，通常用来代替金融随机模型甚至经济随机模型中误差项是独立同分布这种不符合现实的假定.统计分析表明，金融收益序列可以被假定为不相关的，但通常它们不是独立的.当然具有相关性的一些时间序列也需要纳入考虑.ARMA时间序列模型是一类适用范围较广的参数模型，它是一般的无限维线性过程，本章介绍了ARMA模型的参数和自协方差函数的估计方法.许多金融时间序列还有条件异方差性，为此引出了GARCH模型.本章的后介绍了分数阶差分和长记忆过程.第4章详细介绍了离散时间的多期模型的套利理论，在本章的模型中假设交易发生在一系列有限的时刻，在每个时刻，投资者均可以利用已知的市场信息来调整资产组合.可以应用第3章的离散时间的鞅理论来研究无套利金融市场上期权和其他衍生品的定价.本章详细研究了CRR二叉树模型，该模型是实际应用中的标准模型之一，由它可导出著名的欧式看涨期权的Black-Scholes定价公式.除此之外，本章还讨论了美式权益的定价方法，其中需要用到停时的高等数学理论.第5章介绍连续时间的随机过程.布朗运动是金融市场连续时间价格模型的主要随机源，为了使得内容简洁，本章仅限于讨论布朗运动的定义及重要的一些性质.布朗运动有一些令人惊讶的性质，比如：路径连续但处处不可微，或不存在有界变差.本章还分别介绍了布朗运动的推广模型——分数布朗运动和Lévy过程.Lévy过程保留了独立增量的性质，但是允许其增量是非正态分布的，包括其增量可能是厚尾分布并带有跳的.与布朗运动一样，分数布朗运动也是一个高斯过程，但分数布朗运动可能有长相依的增量，即相关性减少得非常慢.第6章介绍随机积分理论.在默认读者已经掌握Riemann积分和Lebesgue积分的基础上，本章从介绍Riemann积分的直接推广——Riemann-Stieltjes（RS）积分开始，这种积分相对来说比较容易，它为引入Ito积分作了铺垫.值得一提的是RS积分可以用来研究许多统计问题.可是如果没有I

本书讨论了金融中统计方法应用的方方面面以及金融应用中统计工具使用的多种途径。首先简要介绍了金融统计和数理金融的基础知识，接着阐释了经济和金融工程中统计方法的应用和重要性。后阐述了鞅理论、*过程、*积分等高级论题。本书适合统计学、金融数学、计量经济学、商务管理等专业的研究生和相关领域的从业者和研究人员阅读，许多章节也适合具有微积分和概率统计基础的本科生阅读。

Ansgar Steland是德国数理经济学会、计量经济学会、生物统计学会、社会政治联盟等学会的会士，现为德国名校亚琛工业大学的教授，研究领域包括时间序列分析、数理经济学、统计计算、应用数理统计和金融统计等。Steland于1996年从德国哥廷根大学博士毕业，师从Manfred Denker。Steland在学术上非常活跃，已发表几十篇学术论文，被广泛引用。曾应邀到世界各地做学术报告，包括美国斯坦福大学、奥地利因斯布鲁克大学、荷兰马斯特里赫特大学、捷克布拉格查理大学、德国哥廷根大学等。他是“随机模型及其应用研讨班”的学术委员，还组织“金融和工程中的时间序列”、“变点分析”、“统计模拟”等多种研讨班。

目　　录
译者序
前言
第1章　金融微积分基础1
　1.1　几个引例1
　1.2　现金流、利率、价格和收益2
　　1.2.1　债券和利率期限结构4
　　1.2.2　资产收益5
　　1.2.3　资产价格基本模型6
　1.3　收益的统计分析初步8
　　1.3.1　位测量10
　　1.3.2　离散程度和风险的度量12
　　1.3.3　偏度和峰度的度量16
　　1.3.4　分布的估计17
　　1.3.5　正态性检验21
　1.4　金融工具22
　　1.4.1　未定权益22
　　1.4.2　现货合约与远期合约23
　　1.4.3　期货合约23
　　1.4.4　期权24
　　1.4.5　障碍期权24
　　1.4.6　金融工程25
　1.5　期权定价基础26
　　1.5.1　无套利原理26
　　1.5.2　风险中性定价27
　　1.5.3　对冲与资产复制29
　　1.5.4　风险中性测度的不存在性30
　　1.5.5　Black-Scholes定价公式30
　　1.5.6　一些希腊字母表示的量32
　　1.5.7　模型校验方法、隐含波动率和波动率微笑33
　　1.5.8　期权价格与风险中性密度34
　1.6　评注与延伸阅读35
　参考文献35
第2章　单期模型的套利理论37
　2.1　定义与预备37
　2.2　线性定价测度38
　2.3　套利理论的进一步讨论41
　2.4　Rn空间上的分离定理42
　2.5　无套利与鞅测度的关系45
　2.6　未定权益的无套利定价51
　2.7　一般情形下鞅测度的构造56
　2.8　完备金融市场58
　     　评注与延伸阅读60
　参考文献61
第3章　离散时间的金融模型62
　3.1　离散时间的随机适应过程63
　3.2　鞅和鞅差序列66
　　3.2.1　鞅变换71
　　3.2.2　停时、可选抽样定理和极大不等式72
　　3.2.3　推广到Rd值过程78
　3.3　平稳序列79
　　3.3.1　弱平稳和严平稳79
　3.4　线性过程和ARMA模型85
　　3.4.1　线性过程和滞后算子86
　　3.4.2　逆算子89
　　3.4.3　AR(p)和AR(∞)过程91
　　3.4.4　ARMA过程93
　3.5　频域分析94
　　3.5.1　频谱94
　　3.5.2　周期图法96
　3.6　ARMA过程的估计100
　3.7　（G）ARCH模型101
　3.8　长记忆序列105
　　3.8.1　分数阶差分105
　　3.8.2　分整过程109
   　评注与延伸阅读109
　参考文献110
第4章　多期模型的套利理论111
　4.1　定义与预备111
　4.2　自融资交易策略112
　4.3　无套利与鞅测度114
　4.4　无套利市场的欧式未定权益116
　4.5　离散时间的鞅表示定理120
　4.6　Cox-Ross-Rubinstein二叉树模型120
　4.7　Black-Scholes公式124
　4.8　美式期权和美式未定权益129
　　4.8.1　无套利定价和期权执行策略129
　　4.8.2　美式期权的二叉树定价131
　评注与延伸阅读132
　参考文献132
第5章　布朗运动和相关的连续时间过程133
　5.1　预备133
　5.2　布朗运动136
　　5.2.1　定义及基本性质136
　　5.2.2　布朗运动与中心极限定理141
　　5.2.3　路径性质143
　　5.2.4　多维布朗运动144
　5.3　连续性与可微性145
　5.4　自相似与分数布朗运动146
　5.5　计数过程148
　　5.5.1　泊松过程148
　　5.5.2　复合泊松过程149
　5.6　Lvy过程151
　5.7　评注与延伸阅读152
　参考文献153
第6章　Ito积分154
　6.1　全变差与二次变差154
　6.2　随机Stieltjes积分158
　6.3　Ito积分161
　6.4　二次协变差170
　6.5　Ito公式171
　6.6　Ito过程173
　6.7　扩散过程及遍历性179
　6.8　数值逼近与统计估计180
　    　评注与延伸阅读181
　参考文献182
第7章　Black-Scholes模型183
　7.1　模型和性质183
　7.2　Girsanov定理187
　7.3　等价鞅测度191
　7.4　无套利定价与对冲192
　7.5　delta对冲195
　7.6　与时间有关的波动率195
　7.7　Black-Scholes模型的推广196
　7.8　评注与延伸阅读199
　参考文献199
第8章　离散时间过程的极限理论200
　8.1　相关时间序列的极限定理200
　8.2　金融时间序列回归模型208
　　8.2.1　小二乘估计209
　8.3　鞅差阵列的极限定理211
　8.4　渐近性215
　8.5　密度估计和非参数回归218
　　8.5.1　多变量密度估计219
　　8.5.2　非参数回归225
　8.6　线性过程的中心极限定理230
　8.7　混合过程233
　　8.7.1　混合系数233
　　8.7.2　不等式235
　8.8　混合过程的极限定理239
　     　评注与延伸阅读246
　参考文献247
第9章　几个专题248
　9.1　copula和2008年的金融危机248
　　9.1.1　copula248
　　9.1.2　金融危机253
　　9.1.3　信用违约模型和CDO256
　9.2　局部线性非参数回归258
　　9.2.1　金融中的应用：鞅测度估计和Ito扩散估计259
　　9.2.2　方法和渐近讨论260
　9.3　变点检测和监测268
　　9.3.1　离线检测269
　　9.3.2　在线检测276
　9.4　单位根和随机游动278
　　9.4.1　平稳AR（1）模型的小二乘估计量280
　　9.4.2　整合度的非参数定义283
　　9.4.3　Dickey-Fuller检验284
　　9.4.4　检测单位根和平稳性287
        　评注与延伸阅读293
　参考文献294
附录A296
　A.1　（随机）Landau记号296
　A.2　Bochner引理297
　A.3　条件期望297
　A.4　不等式29

本书讨论了金融中统计方法应用的方方面面以及金融应用中统计工具使用的多种途径。首先简要介绍了金融统计和数理金融的基础知识，接着阐释了经济和金融工程中统计方法的应用和重要性。后阐述了鞅理论、*过程、*积分等高级论题。本书适合统计学、金融数学、计量经济学、商务管理等专业的研究生和相关领域的从业者和研究人员阅读，许多章节也适合具有微积分和概率统计基础的本科生阅读。

Ansgar Steland是德国数理经济学会、计量经济学会、生物统计学会、社会政治联盟等学会的会士，现为德国名校亚琛工业大学的教授，研究领域包括时间序列分析、数理经济学、统计计算、应用数理统计和金融统计等。Steland于1996年从德国哥廷根大学博士毕业，师从Manfred Denker。Steland在学术上非常活跃，已发表几十篇学术论文，被广泛引用。曾应邀到世界各地做学术报告，包括美国斯坦福大学、奥地利因斯布鲁克大学、荷兰马斯特里赫特大学、捷克布拉格查理大学、德国哥廷根大学等。他是“随机模型及其应用研讨班”的学术委员，还组织“金融和工程中的时间序列”、“变点分析”、“统计模拟”等多种研讨班。