数学与艺术

20世纪美国数学史家莫里斯·克莱因（Mor-risKline,1908—1992）认为,“文艺复兴是数学精神的复兴”。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认,“只有紧紧地依靠数学,才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵”。也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限,才使得接下来的17 世纪成为“天才的世纪”,且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海(AlfredWhitehead,1861—1947)在列举了诸多伟大发现之后感叹道,“这个世纪可以说是时间不够,没法把天才人物的重大事件摆布开来”。
相比之下,音乐与数学的关系更为隐秘,但历史却更加悠久,肇始于毕达哥拉斯时代。有一天,这位哲人走过一家铁匠铺,听到了叮叮当当的声音,他经过研究,发现了音程之间的数的关系,继而提出了“万物皆数”这一哲学论断,持续影响了后世的欧洲文明。而到了18 和19 世纪,德意志的名山哈茨山南北两侧,两座地理上对称的小城爱森纳赫和不伦瑞克,相继诞生了“音乐之父”巴赫和“数学王子”高斯。前者被誉为“音乐家中的数学家”,后者的数学发现和理论有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同时代的瑞士数学家欧拉则撰写了著作《音乐新理论的尝试》,他还提出了调性网络的概念,如今仍应用于和声学的研究。
高斯是非欧几何学的三位发现者之一,另一005位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名,但有一句话流传后世,“从虚无中,我开创了一个新的世界”。非欧几何学大大拓宽了数学的研究领域,它与欧氏几何主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。在黎曼几何中,球面上的直线是大圆(圆心在球心的圆),两点间的短距离是经过这两点的大圆上的弧线。例如,从上海飞纽约的短航线不是经过太平洋,而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此,引力源于时空弯曲,光沿着弯曲的弧线传播。
鲍耶去世七年以后,诞生了二元政体的奥匈帝国,而在他去世前四年,奥地利医生弗洛伊德已经出生,他后来创立了精神分析学,对现代主义艺术进行了细致的剖析。弗洛伊德与布洛伊尔合著的《癔病研究》是所谓的自动写作法的延伸,而他的《梦的解析》是一部具有划时代意义的巨著,书中分析了梦的工作和基本活动,认为梦是以扭曲的形式体验到的被禁止的欲望,所有的玩笑都有认真的成分。弗洛伊德还给出了力比多和本我、自我、超我等概念,为潜意识学说奠定了基础,堪称人类认识自身的里程碑。特别地,弗洛伊德的学说深刻地影响了超现实主义诗歌和绘画。
进入20 世纪以来,抽象化成为数学和艺术的共性,我们各举它们的两个主要分支———拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例,说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表,而抽象代数充斥着理性的符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中,也有两个有着颇为相似的风格特征,那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是,弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释了弗氏学说,还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。
说到数学和艺术的关系这个主题,有许多科学家(包括诺贝尔奖得主)和艺术家都曾做过不同程度的探讨。但我留意到,他们更关注数学和艺术的外在形式,比如对称之美(也有的在方法论上做过探究)。但从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性,似乎还没有人做过系统的阐释。本书是这方面的一次尝试。正如西班牙哲学家乔治·桑塔耶纳所言:“机智的特征在于深入到事物的隐秘深处,从中找寻到相互关系。”幸运的是,本人在数学和艺术两方面都做了长时间的实践和探索,有着手的经验和认识,加以适当的提炼和总结,写成了这本小书,期待得到各方读者的批评指正。
值得一提的是,1997 年元月,我获得机会申报霍英东教育基金会的高等学校青年教师基金项目,决定以“数学与艺术”为题并列好目录和写作计划,随后冒昧打电话给有一面之交的数学家吴文俊先生(中国科学院院士、首届国家科学技术奖得主),没想到吴老先生认为这是创新项目,值得一试,他欣然同意,并亲笔撰写了书。遗憾的是,那次申请没有成功,我也没有再见到吴老。20 多年过去了,设立人文社科专项科普基金,我以“数学与艺术”为题再次申报,终获成功,也算可以告慰吴先生在天之灵了.

本书沿着历史轨迹，探究了数学与艺术的相互关系。毕达哥拉斯提出“万物皆数”的命题，稍后亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《原本》分别建立起艺术和科学准则。文艺复兴时期，造型艺术与几何学紧密相连，中心人物有阿尔贝蒂、达·芬奇和丢勒。天才的世纪里，跨界人物频出，还有“音乐家中的数学家”巴赫和“数学王子”高斯。过去两个世纪以来，各种流派纷呈，涌现出了精神分析学和非欧几何学、超现实主义和表现主义、拓扑学和抽象代数，前一对体现出了理论上的契合，后两对则属于创作和研究实践。

蔡天新，浙江台州人，曾是少年大学生，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授、博士生导师，求是特聘学者。他提出形素数和加乘方程的概念，有关新华林问题的工作被英国数学家、菲尔兹奖得主阿兰·贝克赞为“真正原创性的贡献”。
读研期间，缪斯的偶然光顾催发了蔡天新的诗情，至今他已出版文学和学术著作30多部，外版著作20多部。近作有《小回忆》《经典数论的现代导引》《欧洲人文地图》《美洲人文地图》，主编《地铁之诗》《高铁之诗》，曾获国家科学技术奖和国家教学成果奖，以及贝鲁特Naji Naaman诗歌奖和达卡Kathak诗歌奖。

引言 
章 希腊数学与希腊艺术 
1. 毕达哥拉斯 
2. 《诗学》与《原本》 
第二章 文艺复兴时期的绘画与几何 
1. 斐波那契 
2. 阿尔贝蒂 
3. 达·芬奇与丢勒 
第三章 天才的世纪 
1. 德扎尔格与笛卡尔 
2. 费尔马与帕斯卡尔 
3. 牛顿与莱布尼茨 
第四章 数学与音乐 
1. 高斯
2. 巴赫 
第五章 梦幻与现实 
1. 非欧几何学
2. 精神分析学 
第六章 个性与共性 
1. 拓扑天使与代数魔鬼
2. 超现实主义与表现主义 

本书沿着历史轨迹，探究了数学与艺术的相互关系。毕达哥拉斯提出“万物皆数”的命题，稍后亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《原本》分别建立起艺术和科学准则。文艺复兴时期，造型艺术与几何学紧密相连，中心人物有阿尔贝蒂、达·芬奇和丢勒。天才的世纪里，跨界人物频出，还有“音乐家中的数学家”巴赫和“数学王子”高斯。过去两个世纪以来，各种流派纷呈，涌现出了精神分析学和非欧几何学、超现实主义和表现主义、拓扑学和抽象代数，前一对体现出了理论上的契合，后两对则属于创作和研究实践。

蔡天新，浙江台州人，曾是少年大学生，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授、博士生导师，求是特聘学者。他提出形素数和加乘方程的概念，有关新华林问题的工作被英国数学家、菲尔兹奖得主阿兰·贝克赞为“真正原创性的贡献”。
读研期间，缪斯的偶然光顾催发了蔡天新的诗情，至今他已出版文学和学术著作30多部，外版著作20多部。近作有《小回忆》《经典数论的现代导引》《欧洲人文地图》《美洲人文地图》，主编《地铁之诗》《高铁之诗》，曾获国家科学技术奖和国家教学成果奖，以及贝鲁特Naji Naaman诗歌奖和达卡Kathak诗歌奖。