写给孩子的趣味几何学
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作者雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼
出版社武汉大学出版社
ISBN9787307210547
出版时间2019-11
装帧平装
开本16开
定价48.8元
货号30775561
上书时间2023-08-30
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作者简介
雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼（1882—1942）出生于俄国格罗德省别洛斯托克市，是享誉世界的科普作家、趣味科学的奠基人。17岁时，他开始在报刊上发表作品。1909年大学毕业以后，他开始全力从事科普写作和教育工作。别莱利曼一生共创作了105部作品，其中大部分是趣味科学读物，并且很多作品被翻译成数十种语言，对青少年的科学学习产生了深远影响，对世界科普事业的发展做出了卓越贡献。
目录
Chapter 1 树林中的几何学 / 001
1. 1 利用阴影测量物体的高度 / 003
1. 2 两个简单的方法 / 007
1. 3 儒勒·凡尔纳的巧妙测高法 / 008
1. 4 侦察兵的测高法 / 010
1. 5 笔记本测高法 / 012
1. 6 无须靠近大树的测高方法 / 013
1. 7 林业人员使用的测高仪 / 014
1. 8 利用镜子测量高度 / 017
1. 9 两棵松树 / 018
1. 10 树干形状 / 019
1. 11 万能公式 / 020
1. 12 如何测量未被砍倒的树木的体积和质量 / 022
1. 13 树叶中的几何学 / 024
1. 14 六条腿的 “小” 力士 / 026
Chapter 2 河畔几何学 / 029
2. 1 四种测河流宽度的方法 / 031
2. 2 利用帽檐测距离 / 035
2. 3 小岛的长度 / 037
2. 4 我们和对岸的人相隔多远 / 038
2. 5 最简易的测远仪 / 040
2. 6 河流巨大的能量 / 043
2. 7 测量河流流动速度 / 044
2. 8 河水流量的计算方法 / 046
2. 9 水中的涡轮 / 049
2. 10 油膜的厚度 / 050
2. 11 水上的圆圈 / 051
2. 12 船头形成的波峰 / 053
2. 13 炮弹的飞行速度 / 055
2. 14 诗歌中测水深 / 057
2. 15 水中可以看到多少星星 / 058
2. 16 两点间最近的桥 / 059
2. 17 两点间距离最短的两座桥 / 061
Chapter 3 旷野中的几何学 / 063
3. 1 看月亮的视角 / 065
3. 2 记住 “57” / 066
3. 3 和月亮一样 “大” 的盘子 / 067
3. 4 和月亮一样 “大” 的硬币 / 068
3. 5 虚假照片的小把戏 / 068
3. 6 可移动式测角仪 / 072
3. 7 雅科夫的测角方法 / 074
3. 8 钉耙测角方法 / 075
3. 9 炮兵使用的测角仪 / 076
3. 10 看不清的横纹图 / 078
3. 11 你能看清的最远距离 / 079
3. 12 天空中 “忽大忽小” 的月亮 / 081
3. 13 月球影子的长度 / 084
3. 14 云彩离我们有多远 / 085
3. 15 根据照片测塔高 / 088
3. 16 自测题 / 090
Chapter 4 路途中的几何学 / 091
4. 1 步测的方法 / 093
4. 2 神奇的目测 / 094
4. 3 铁路的坡度 / 097
4. 4 碎石堆的体积 / 099
4. 5 “骄傲的土丘” 的高度 / 100
4. 6 转弯 / 102
4. 7 铁路的弯道半径怎么计算 / 103
4. 8 大洋的底是凹还是凸 / 105
4. 9 “水山” / 106
Chapter 5 不用公式和函数的旅行三角学 / 109
5. 1 三角形的正弦值怎么求 / 111
5. 2 简单的平方根算法 / 115
5. 3 由正弦值计算角度 / 116
5. 4 用正弦求太阳的高度 / 117
5. 5 小岛离你有多远 / 118
5. 6 湖面有多宽 / 119
5. 7 已知三角形边长如何算角度 / 121
5. 8 赤手空拳算角度 / 123
Chapter 6 天与地在何处相接 / 125
6. 1 地球怎么看起来凹下去了 / 127
6. 2 消失不见的轮船 / 129
6. 3 地平线到底有多远 / 130
6. 4 果戈理不切实际的塔 / 133
6. 5 普希金骄傲的山丘 / 134
6. 6 铁轨交会在一起了 / 134
6. 7 海岸边的灯塔 / 135
6. 8 距离多远能看到闪电 / 136
6. 9 海中消失的帆船 / 137
6. 10 月球上也有地平线 / 138
6. 11 从环形山里看世界 / 138
6. 12 木星上 “地平线” 的距离 / 139
6. 13 自测题 / 139
Chapter 7 鲁滨孙的几何学 / 141
7. 1 星星 “告诉” 你所在的位置 / 143
7. 2 我们现在在哪里 / 145
7. 3 荒岛上的天文观测 / 147
Chapter 8 黑暗中的几何学 / 149
8. 1 黑暗的船舱 / 151
8. 2 木桶的容积 / 152
8. 3 制作木条尺子 / 152
8. 4 尺子上的刻度怎么弄 / 154
8. 5 少年的算法正确吗 / 155
8. 6 黑屋子里的奇遇 / 159
8. 7 蒙上眼睛你还能走直线吗 / 160
8. 8 天然的尺子———我们的双手 / 168
8. 9 少年测量方法中的直角 / 170
Chapter 9 圆的今昔 / 171
9. 1 古人的几何学 / 173
9. 2 π的精确度 / 173
9. 3 丢弃的田地 / 175
9. 4 用针测 π值 / 176
9. 5 圆周展开的误差 / 178
9. 6 方和圆之间的转化 / 179
9. 7 解决方圆问题的三角板 / 182
9. 8 头比脚走得多一些 / 183
9. 9 捆在赤道上的冷钢丝 / 184
9. 10 硬币自转了几圈 / 184
9. 11 女孩走的是直线吗 / 186
9. 12 飞机的飞行轨迹是什么样的 / 189
9. 13 传动皮带有多长 / 192
9. 14 乌鸦真的 “聪明” 吗 / 194
Chapter 10 无须测算的几何学 / 197
10. 1 不用圆规也能作出垂线 / 199
10. 2 不规则薄铁片的重心 / 200
10. 3 拿破仑感兴趣的题目 / 201
10. 4 自制简单的三分角器 / 202
10. 5 钟表三分角器 / 203
10. 6 等分圆周的方法 / 204
10. 7 打台球的技巧 / 205
10. 8 台球可以做题 / 207
10. 9 一笔画问题 / 211
10. 10 一次能走过七座桥吗 / 214
10. 11 几何学的 “大话” / 214
10. 12 如何知道这是正方形 / 215
10. 13 谁是下棋的赢家 / 216
Chapter 11 几何学中的大与小 / 217
11. 1 27 × 1018个什么东西能够放进1立方厘米里面 / 219
11. 2 怎样压缩气体 / 220
11. 3 神奇的织女 / 222
11. 4 哪个的容量更大呢 / 224
11. 5 巨大的香烟 / 225
11. 6 鸵鸟蛋的体积有多大 / 225
11. 7 隆鸟蛋可以让多少人吃饱 / 226
11. 8 鸟蛋大小竟然相差700倍 / 226
11. 9 不打破蛋壳可以称出蛋壳的质量吗 / 227
11. 10 硬币的大小 / 227
11. 11 一层多楼高的硬币 / 228
11. 12 不要被图片所蒙骗 / 229
11. 13 你是标准的体重吗 / 231
11. 14 “大人” 和 “小人” / 231
11. 15 《格列佛游记》 中的几何学 / 232
11. 16 为什么尘埃和云可以浮在空中呢 / 234
Chapter 12 几何经济学 / 237
12. 1 托尔斯泰的题目: 帕霍姆的买地法 / 239
12. 2 怎样使四边形面积最大 / 242
12. 3 为什么正方形的面积最大 / 243
12. 4 还有面积更大的形状吗 / 244
12. 5 谁的面积最大 / 245
12. 6 难拔的钉子 / 247
12. 7 最大体积是什么形状 / 248
12. 8 两数之和不变的乘数的积 / 248
12. 9 面积最大的三角形是什么 / 249
12. 10 最重的方木梁怎么锯 / 250
12. 11 三角形中的矩形 / 251
12. 12 怎么做出最大的盒子 / 253
12. 13 圆锥体中的圆柱体 / 254
12. 14 拼接长木板的技巧 / 256
12. 15 哪条路线最短 / 258
内容摘要
在书中，科普大师别莱利曼不仅向小读者们讲述了几何学的常识和基础知识，还运用各种奇思妙想和让人意想不到的分析，为小读者解析几何学谜题、解析科幻故事，激发小读者对学习几何学知识产生更浓厚的兴趣，让小读者学会活学活用几何学知识。
通过阅读本书，读者不仅可以轻松爱上几何学学习，还能激活无穷的想象力，掌握科学思维的技巧。同时，对各种生活现象与几何学知识的内在联系也能产生深刻的认识。总之，这是一本通俗易懂、妙趣横生、引人入胜而又让人受益无穷的超级科普读物！
精彩内容
Chapter1树林中的几何学1.1利用阴影测量物体的高度在我还很小的时候，曾在树林中遇见一位秃顶的看林老人，只见他在一棵大松树下摆弄着一个四方木板样子的仪器，我很好奇地问他在干什么，他回答说他正在用仪器测量松树的高度。我原本以为他要带着那个小巧的仪器爬上树梢去量树高，然而他丝毫没有上树的意思，反而把那台小仪器放回自己的口袋中，然后对大家说他已经测量完毕。
那时的我对此感到十分惊奇，要知道，对于当时年幼无知的我而言，测量树高的方法应该只有把树砍倒或者费力爬上树梢测量这样的笨办法，但是这位秃顶的看林人仅仅用一个小仪器就测量出大松树的高度，这简直是神奇无比的魔术！
上学以后，我学习到了一些几何学基本原理，才终于明白小时候百思不得其解的奇妙魔术不过是对最基本原理的简单运用罢了。
运用几何学基本原理来测量物体高度的方法数不胜数，其中最古老的测高法便是古希腊哲学家泰勒斯利用阴影对金字塔进行测高的方法。
公元前6世纪特殊的一刻，人在太阳光投射下的影子长度与人的身高相等。正是这一刻，在埃及最高的金字塔脚下，在疑惑的法老和祭司们面前，泰勒斯完成了对宏伟金字塔测高的任务。因为在那个时刻，金字塔投下的阴影长度正好与其高度相等，泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。
泰勒斯巧妙利用三角形的一个特性，借助阴影解决了测量金字塔高度的难题。而关于三角形的其他特性，大约在公元前300年，被另一位希腊数学家欧几里得发现，并撰写出一部著作，成为两千年来人们学习几何学必不可少的教材。一些今天我们每一个中学生都熟知的定理，其实都来自这部书，也正是有了泰勒斯、欧几里得这样无数前人的努力，才使得我们现在能站在巨人的肩膀上去看待和思考这些问题。
对于现在的中学生来说，泰勒斯当年使用的方法其实非常简单，它包含了三角形的以下两个特性（泰勒斯发现了其中的第一个特性）：（1）等腰三角形的两个底角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的两边也相等。
（2）任意三角形的三个角的角度之和为180°。
依据这两个特性，泰勒斯推定出，当一个人的身影和他的身高等长时，太阳光应该正以45°角投射到平地上。因此，金字塔的塔尖顶点、塔底中心点和塔的阴影端点之间正好构成了一个等腰直角三角形。
这个方法在晴朗的日子里对独立的树木进行测量十分方便，但是有很大的局限性。一方面，如果在树木林立的树林里测量，树木的影子往往会与旁边树木的阴影重叠在一起，不便于测量。另一方面，在一些高纬度地区，太阳经常低垂于地平线上，很难等到合适的测量时机（此时人的影子长度与身高相等），只有等到夏季的正午时分，才可使用这个方法。
当然，只要将上面的方法略加改进，我们并不一定非得等到那个特殊时机才可测量。在测高时，先测量出所测物的阴影长度，然后测出自己的身影或者一根木杆的阴影长度。这样，根据它们之间的比例计算就可得到所测物的高度了（图1-1）：AB∶ab=BC∶bc这个式子之所以成立，正是利用了相似三角形ABC和abc的相似性原理，简单说来，就是树影长度是你身影长度的几倍，树高也就是你身高的几倍。
图1-1用阴影测量树的高度我们应该真正掌握这其中的几何学原理，而不是死记规则。因为在另外一种情况下，这个规则就不适用了。如图1-2所示，在路灯灯光投射出阴影的情况下，木柱AB比木桩ab大约高出2倍，然而木柱的阴影BC却要比木桩bc的阴影多出约7倍。这是因为太阳光线和路灯光线并不一样，路灯是点式光源，所以其光线是发散的，而太阳光线则是彼此平行的。
图1-2在什么情况下不适用这种测量方法你也许会疑惑，太阳光线在放射出的瞬间就已交织在一起，又怎么判断出太阳光线是平行的呢？的确，从理论精确的角度讲，太阳光线的确存在角度，只是这个角度小得几乎可以忽略不计。举这样一个简单的几何学计算就能证明。假设从太阳某点放射出的两道光线，落在了地球表面相距1千米的两个地点，有一把无限大的圆规，我们可以把圆规的一只脚放在发射光线的那个点上，另一只脚以日地距离（即150000000千米）为半径画一个圆。通过计算，两道光线半径之间的圆弧长度达到1千米。而画出的这个巨大的圆的周长应为2π×150000000≈940000000千米。该圆周每一度的弧长都是圆周的1360，长度约为2600000千米；一弧分是一度的160，也就是43000千米；而一弧秒则是一弧分的160，也就是720千米。而我们假设的圆弧长只有1千米，因此，与之对应的角只是1720弧秒。再精确的天文仪器，也难以测量如此微小的角度。所以，在测量的实践中，我们完全可以把太阳光线看作是彼此平行的直线。
不过，在运用这个方法进行实际测量的时候，还存在一个问题。由于太阳并不是一个点状光源，而是由无数点及其放射出的光线所组成的巨大发光体。所以太阳光投射出的阴影尽头总有一道轮廓模糊、颜色暗淡的半影，我们总是很难确定其界限，所以无法做到完全精确地测量出阴影的长度。如图1-3所示，树影BC段后面就有一段半影CD，而半影CD与树顶A形成的角度与我们平时看太阳圆面时所夹的角度其实是相等的，叫作半度。因此即便在太阳所处位置并不低的时候，有时因这两个阴影测量的不精确所带来的误差也可能达到5%及以上，有时再加上地面不够平坦等不可避免的因素，使得误差更大。因此，在一些诸如山区的地方，阴影测高法不建议采用。
图1-3形成的半影1.2两个简单的方法除了利用阴影，我们还有其他办法可以简单快捷地测量出物体的高度吗？答案是当然有。只要掌握了几何学的基本原理，我们就可以组合出千变万化的测量方法，下面再介绍两种比较简单的方法。
第一种方法是自制简易测量仪。需要的材料有：一块一面光滑的木板，一张纸，一支笔，三枚大头针，一个小重物。这些材料十分简单，即使是野营时都不难找到。找齐材料以后，需要在木板光滑的一面上画一个等腰直角三角形。这时如果你身边并没有能画出直角的三角板或者可以画出等边的圆规，你可以把纸片对折两次，从而得到一个直角，再利用这张得到的纸三角量出相等距离。总之，开动你灵活的脑筋，办法总是多种多样的。当等腰直角三角形画好以后，就把三枚大头针分别钉在三角形的三个顶点上，测量仪的制作就算完成了（图1-4）。
图1-4大头针测高仪需要注意的是，应该在离被测树木有一定距离的地方，手持仪器，在a点上绑一根下端系有小重物的细线，使得三角形的直角边ab始终与地面平行。然后，人靠近或者远离树，通过移动找出点A（图1-5），使得当从点A经a和c朝树顶C方向望去时，刚好无法看到树顶C。这意味着此时直角三角形的斜边（也称作弦）ac的延长线通过了点C。即a、B、C构成直角三角形，而∠a=45°，所以aB=BC。
又因为AD=aB，所以你只需在平地上量出你与树木之间的距离AD，再加上与你身高相等的BD，就可得到树高CD了。
图1-5使用大头针测高仪测高如果制作仪器对你来说有点麻烦，下面还有一种更简单的方法。不用制作仪器，你只要找到一根长木杆，把它垂直插入地里，使其露在地面上的高度等于你的身高。但是你需要选择这样一个插杆地点，如图1-6所示，当你面朝上躺在地上时，应该可以看到树顶和木杆顶端在同一直线上。因为这时三角形Aba是等腰直角三角形，所以通过测量AB就可得到所求的树高了。
图1-6另一种测量树高的方法1.3儒勒·凡尔纳的巧妙测高法作家儒勒·凡尔纳曾在其著名小说《神秘岛》中，生动地介绍过一种巧妙的测高法。
工程师对哈伯特说：“走，我们今天得去量一下那个眺望岗的高度。”“需要带上什么工具吗？”哈伯特问。
“不需要，什么都不需要带。今天我们要用另外一种同样简便又准确的方法。”哈伯特是个好学的年轻人，他希望尽可能多地学些东西，于是他跟着工程师，走下了花岗岩壁，往岸边方向走去。
工程师用一根长的直木杆与自己比对，他要再确认一下木杆的长度是否与自己的身高相等，尽管他对自己12英尺（1英尺=0.3048米）的身高不可能不了解，但这也是为了测量能更加精确。
哈伯特拿着工程师之前让他拿着的一个悬锤，跟在工程师身后。说是悬锤，那其实就是一块系在绳子下端的小石块。
两个人走到离花岗岩壁大约还有500英尺的地方时，工程师把木杆插入沙土里，大约有2英尺深。在固定好木杆后，他又用悬锤调整木杆，使它垂直在地面上。
接着，他在离木杆有一段距离的沙地上躺下，眼睛正好可以看到木杆的顶端以及峭壁的边缘在同一直线上（图1-7）。在躺下的地方他仔细用木橛做了一个记号。
图1-7儒勒·凡尔纳小说里主人公在测量岩壁的高度“你知道几何学的基本常识吗?”工程师起身问哈伯特。
“嗯，知道。”“那你记得相似三角形的特性吗?”“它们的相对应的边成比例。”“对的！我正在试图构造两个相似的直角三角形来帮助我们完成测量。你看到没有，我把这根垂直的木杆作为小三角形的其中一条边，而木橛与杆脚之间的距离是另外一条边，至于弦则由我的视线充当，对了，我的视线还是大三角形的弦，它们两者在同一直线上。至于大三角形的另外两条边，分别是我们要测量的岩壁高度，还有从木橛到岩壁脚之间的距离。”“哦，我知道了！”哈伯特激动地大喊，“木杆和岩壁的高度之比，不正是木橛分别到木杆和岩壁脚之间的距离比吗！”“你说得完全没错，就是这样。所以我们根本不需要直接去测量岩壁的高度，只要我们通过测量得出比例算式中的前面三个项，也就是你刚刚说的两个距离，以及木杆的高度，我们完全可以通过计算得到我们所需要的岩壁高度，因为那正是比例算式中的第四个未知项。”两个水平距离测量的结果分别是：小三角形的一边为15英尺，而大三角形的一边为500英尺。
结束测量后，工程师记录如下：15∶500=10∶x500×10=50005000÷15≈3333所以计算可得岩壁高度约为333英尺。
1.4侦察兵的测高法上面我们介绍的几种测量高度的方法，都要求人必须躺在地上，有时并不太方便。在伟大的卫国战争时期的侦察兵就使用了一种不需要躺下就可以测量高度的方法。
在战争前线，当时的中尉伊万纽克的分队接到一个命令，必须如期在一条河上造出一座桥。造桥需要大量木材，然而河对岸已被法西斯占领，中尉只能派出由上士波波夫率领的侦查小组前往附近的一片树林去测量常见树木的直径及高度，以算出架桥所需要的树木总数。
侦察兵们选了一棵树，借助一根测量的木杆，就完成了测量（图1-8）。
图1-8使用测量杆测量高度在距离被测树木不远的地方，侦察兵把一根比自己稍高的木杆垂直插入地下。接着面朝大树沿着Dd的延长线往后退，直到自己面朝树顶刚好可以看到木杆顶端b与树顶B在同一直线上的A点为止。然后头部不动，眼睛望向水平直线aC的方向，在木杆和树干的c、C两点做好标记。
于是根据相似三角形abc和aBC的对应关系，列出比例式BC∶bc=aC∶ac计算出：BC=bc×aCac其中，bc、aC和ac的距离都可直接测出，进而计算得到BC值，再与可直接测得的CD相加，便得到树木的高度了。
正是依靠侦察兵这种简便准确的方法，得到了架桥所需的树高数据，中尉得以及时确定架桥地点和方式，架桥的战斗任务也得以如期顺利完成。
1.5笔记本测高法灵活利用一些日常生活用品进行测高，往往会有意想不到的效果。你有没有试过用那种可以装在口袋里的袖珍笔记本（笔记本沿边插有铅笔）进行测量呢？在这里运用的依然是相似三角形的原理。
如图1-9所示，把笔记本拿到一只眼睛前面，竖直放置，使插有铅笔的一侧朝向被测物体，然后把铅笔慢慢垂直往上推，直至从眼睛a点向上望时可以看见铅笔尖b与树顶B同在一条直线上。此时，三角形abc和三角形aBC相似，BC可以通过下列比例式计算求得：BC∶bc=aC∶ac在这几个数值中，bc、aC和ac的距离可以通过直接测量得出，要求树高BD还需要测量出CD的长度，又因为CD的距离与人眼到地面的距离相等，因此只要量出Aa即可。
图1-9使用笔记本测量树高我们再仔细想一下，就会发现，由于笔记本的宽不变，当你与被测物的距离总是一定时，树高就完全体现在铅笔被推出的bc部分上了。也就是说，如果你做个有心人，预先计算好铅笔被推出的不同长度分别对应了哪些高度值，并把它们标记在铅笔杆上，你就拥有了一部可以装在口袋里并带有刻度的测高仪！
1.6无须靠近大树的测高方法有时候，我们会遇到这样的情况：我们想测量一棵大树的高度，却由于某种原因无法靠近树木进行测量，上述的办法因此皆无法施行，这怎么办呢？
答案其实很简单，我们只要借助一部巧妙的仪器就可以解决难题，而这部仪器也并非运用了多么高端的技术，同样通过自制就可以完成。如图1-10所示
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