偏微分方程数值解

上海交通大学数学科学学院教授、博士生导师。主要研究方向为：有限元方法与应用、快速算法设计与分析，以及机器学习算法设计与应用，发表学术论文100余篇。主要讲授“微分方程的高性能计算”“微分方程数值解”“科学计算”和“中国传统文化中的数学算法”等课程。2006年获教育部新世纪优秀人才称号，2016年获上海市育才奖，2017年获上海市教学成果一等奖（排名第4），两次受邀在世界华人数学家大会做45分钟邀请报告。先后主持和承担国家自然科学基金面上项目和其他国家与省部级项目多项。

第一章 绪论

1.1 解方程是数学应用于实践的魅力所在

1.2 微分方程数值解(科学计算) 的必要性

1.2.1 微分方程数值解(科学计算) 的广泛应用

附录: KdV 方程(1.1) 行波解(1.2) 的导出

习题1

参考文献

第二章椭圆型方程的差分方法

2.1 从一个简单例子谈起

2.2 求解线性代数方程组的几类基本迭代法

2.3 求解矩形域上Poisson 方程的五点差分格式

2.3.1 五点差分格式

2.3.2 理论分析

2.3.3 离散后线性方程组的基本求解方法

2.4 求解五点差分格式的快速DST 方法

2.4.1 矩阵方程

2.4.2 矩阵方程的求解

2.4.3 离散正弦变换及应用

2.4.4 求解五点差分格式的快速DST 方法和其他方法的计算效果

2.5 求解矩形域上Poisson 方程的紧致差分格式

2.5.1 两点边值问题(2.1) 的紧致差分格式

2.5.2 Poisson 方程紧致差分格式的构造

2.5.3 求解Poisson 方程紧致差分格式的快速算法

2.6 求解椭圆型方程一般差分格式的极值原理

2.6.1 椭圆型差分格式的一般形式

2.6.2 极值原理I 与最大模估计

2.6.3 极值原理II 与最大模估计

习题2

参考文献

第三章发展方程有限差分法的基本概念和理论

3.1 有限差分法的构造

3.1.1 解域的离散

3.1.2 用数值微分法建立差分格式

3.2 构造差分格式的有限体积法

3.3 差分格式的截断误差、相容性和构造差分格式的待定系数法

3.4 差分格式的收敛性与稳定性

3.5 判别差分格式稳定性的Fourier 方法

3.6 Von-Neumann 条件及在差分格式稳定性分析中的应用

3.7 差分格式稳定性的其他研究方法

附录差分格式的抽象框架与Lax 等价性定理

习题3

参考文献

第四章双曲型方程的差分方法

4.1 一阶线性常系数双曲型方程初值问题

4.2 CFL 条件

4.3 利用特征线构造差分格式

4.4 差分格式的耗散、色散与余项效应分析

4.4.1 耗散与色散

4.4.2 差分格式的修正偏微分方程(MPDE)

4.4.3 基于修正偏微分方程的耗散和色散分析

4.4.4 基于修正偏微分方程构造改进的差分格式

4.5 一阶变系数双曲型方程初值问题

4.5.1 解的存在、唯一性

4.5.2 差分方法及稳定性分析

4.6 一阶双曲型方程的初边值问题

4.7 二阶双曲型方程

附录 Hadmard 定理的证明

习题4

参考文献

第五章抛物型方程的差分

5.1 一维常系数抛物型方程初值问题

5.2 一维变系数抛物型方程初值问题

5.3 初边值问题

5.4 对流扩散方程

5.5 Richardson 外推法

5.5.1 外推法与_ 的高效计算

5.5.2 差分方程的外推法

5.6 二维抛物型方程的差分方法

5.7 算子分裂方法

5.7.1 从一个简单例子谈起

5.7.2 分裂格式的半群理解

5.7.3 算子分裂方法在抛物型方程差分方法中的应用

习题5

参考文献

第六章变分方法

6.1 历史背景

6.2 变分问题解的必要条件

6.3 二次函数极值问题

6.4 一维区域上的Sobolev 空间

6.5 一维变分问题

6.6 二维变分问题

6.7 变分问题的近似计算

附录 高维Sobolev 空间初步

习题6

参考文献

第七章有限元方法的构造与理论基础

7.1 一维椭圆问题的有限元方法——线性元

7.1.1 有限元空间的构造

7.1.2 有限元方程组的形成

7.2 一维椭圆问题线性有限元方法的理论分析

7.2.1 可解性分析

7.2.2 收敛性分析

7.3 后验误差估计及自适应有限元方法

7.3.1 网格剖分的重要性

7.3.2 后验误差估计

7.3.3 自适应有限元方法

7.4 二维椭圆问题的有限元方法

7.4.1 单元划分及试探函数空间的形成

7.4.2 有限元方程的形成

7.4.3 约束条件处理

7.4.4 单元积分的计算

习题7

参考文献

第八章椭圆型方程有限元方法的MATLAB 编程

8.1 模型问题

8.1.1 问题的Galerkin 离散

8.1.2 区域- 的剖分信息

8.1.3 刚度矩阵的组装

8.1.4 右端项的组装

8.1.5 Dirichlet 条件的处理

8.1.6 数值解的计算和显示

8.1.7 求解二维Poisson 问题的完整MATLAB 程序

8.2 数值实验

8.2.1 一维椭圆型方程的求解算例

8.2.2 二维椭圆型方程的求解算例

8.3 MATLAB 网格数据与区域描述

8.3.1 MATLAB 网格数据的使用

8.3.2 MATLAB 区域描述方法

习题8

参考文献

第九章二维问题有限元方法的误差分析

9.1 二维椭圆型方程有限元方法的误差估计I

9.1.1 抽象误差估计

9.1.2 插值算子误差估计-Taylor 展开方法

9.2 二维椭圆型方程有限元方法的误差估计II

9.2.1 仿射簇

9.2.2 局部插值算子误差估计

9.2.3 二阶问题的误差估计

9.2.4 L2 范数误差估计

9.2.5 非光滑解的收敛性

9.3 抛物型方程的有限元法

9.3.1 半离散有限元法

9.3.2 误差分析

9.3.3 全离散格式及其误差分析

9.3.4 二维抛物型方程的求解算例

9.4 双曲型方程的有限元法

9.4.1 误差分析

9.4.