工程数学：数学物理方程

第一章数学物理方程概述

81偏微分方程举例和基本概念

1.1偏微分方程举例

1.2基本概念

82方程及定解问题的物理推导

2.1弦振动方程

2.2薄膜平衡方程

2.3热传导方程

2.4定解条件和定解问题

3两个重要原理

3.1杜阿梅尔原理

3.2叠加原理

习题一

第二章分离变量法和积分变换法

81齐次方程的第一初边值问题

1.1有界弦的自由振动

1.2解的物理意义

1.3热传导方程的第一初边值问题

2齐次方程的第二初边值问题·

2.1热传导方程的第二齐边值问题

2.2弦振动方程的第二初边值问题

§3二维拉普拉斯方程

3.1圆域内的第一边值问题

3.2圆域外的第一边值问题

§4非齐次定解问题的解法

4.1非齐次方程的求解

4.2非齐次边界条件的处理·

4.3特殊的方程非齐次项处理

5积分变换法

5.1 傅里叶变换法

5.2拉普拉斯变换法

习题二

第三章行波法

S1弦振动方程的初值问题

1.1达朗贝尔公式

1.2达朗贝尔解的物理意义

1.3二阶偏微分方程的分类

2高维齐次波动方程

2.1三维波动方程（平均值法）

2.2二维波动方程（降维法）

2.3泊松公式的物理意义

§3非齐次波动方程

习题三

第四章格林函数法

S1拉普拉斯方程边值问题的提法

2调和函数·

2.1格林公式

2.2拉普拉斯方程的对称解·

2.3调和函数的基本性质

3格林函数

3.1格林函数的定义

3.2格林函数的性质和物理意义

S4几类特殊区域问题的求解

习题四

第五章勒让德多项式

§1勒让德方程的导出

82勒让德方程的幂级数解

83勒让德多项式

§4勒让德多项式的母函数及其递推公式

4.1勒让德多项式的母函数

4.2勒让德多项式的递推公式

85勒让德多项式的正交性

86勒让德多项式的应用

习题五

第六章 贝塞尔函数

81贝塞尔方程的导出

82贝塞尔方程的级数解

2.1贝塞尔方程的求解

2.2贝塞尔方程的通解

§3贝塞尔函数的母函数及递推公式

3.1贝塞尔函数的母函数

3.2 贝塞尔函数的递推公式

84函数展成贝塞尔函数的级数

4.1贝塞尔函数零点的性质

4.2贝塞尔函数的正交性和归一性

4.3展开定理的叙述

55 贝塞尔函数的应用

习题六

第七章变分法

S1泛函和泛函的极值问题

1.1基本概念

1.2变分法基本引理

1.3泛函极值的必要条件

1.4泛函极值的充分条件

52泛函的条件极值问题

2.1泛函的条件极值及其必要条件

2.2应用举例

§3变分法应用

3.1泛函极值问题与边值问题

3.2泛函极值问题的近似解法

习题七

第八章数学物理方程的有限差分法

§1差分方程的构造

§2调和方程的差分格式

§3热传导方程的差分格式

§4波动方程的差分格式

习题八

第九章 定解问题的适定性

§1适定性的概念

§2古典解的存在性

3古典解的唯一性和稳定性

3.1能量积分

3.2古典解的唯一性·

3.3古典解的稳定性

习题九

附录I 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论

附录ⅡIT函数的定义和基本性质

部分习题参考答案

参考文献

本书在编写过程中注重以下几方面：1.体现现代数学方法；2.建立了后续数学方法的接口；3.考虑了专业应用和动手能力的培养；4.注重教材的系统性和简洁性。主要内容包括分离变量法和积分变换法、行波法、格林函数法、勒让德多项式、贝塞尔函数、数学物理的有限差分法、定解问题解的适定性。本书的特色在于：不仅介绍了求解数学物理方程的经典解法，还详细叙述了它们的物理意义。最后一章还介绍了偏微分方程的适定性理论。本书特色鲜明，风格显著，体系合理。各章均精心设计了适量习题，供读者练习。读者通过本书，可以较为系统地掌握数学物理方程的基础知识，体会数学解法与物理意义的结合。

本书适用于普通高等学校理工类学生，也可供工程技术人员参考。