线系统论基本教程

在系统与控制科学领域，线性系统是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了众多成果和重要进展，已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，诸如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的基础知识。有鉴于此，国内外许多大学都毫无例外地把线性系统理论列为系统与控制科学方向的一门最为基础的课程。

本书是面向工科人才培养，在《线性系统理论》（第2版）（清华大学出版社，郑大钟编著）基础上适当删减形成的。《线性系统理论》自1990年出版第1版，2006年出版第2版以来，被国内百余所大学采用作为高年级本科生和研究生教材，受到相关院校师生欢迎，更由台北儒林图书有限公司出版发行繁体字版本
。1996年2月，该书曾获国家电子工业部第三届全国工科电子类专业优秀教材一等奖。 1997年7月，获国家教育委员会国家级教学成果奖二等奖。1997年经国务院学位委员会有关学科组审议通过，列入首批由国家教育研究生工作办公室推荐的“研究生教学用书”。
本书在保持《线性系统理论》（第2版）体系结构和基本特色的前提下，借鉴 10多年来课程改革和课程教学上的成果和经验，吸纳工科学生在教材使用中的反馈意见和有关建议，对全书理论推导部分进行了较大幅度的删减，只保留了绝大部分结论和若干基本结论的证明，在降低工科背景读者学习难度的同时，重点描述基本理论中各结论的正确内涵、直观意义和需要满足的条件，引导读者正确和灵活运用理论去解决现实世界中的问题。 
本书以大学工科高年级本科生和研究生为读者对象，系统地、有重点地阐述分析和综合线性多变量系统的理论框架和主要结论。在内容选择和取舍上，力求以少而精的原则论述线性系统理论的基本概念、基本方法和基本结论。全书内容包括线性系统时间域理论和线性系统复频率域理论两部分，前者以状态空间描述和方法为核心，后者以传递函数矩阵的矩阵分式描述和多项式矩阵理论为基础。这两部分既有一定的内在联系和相互衔接，又具有一定程度的相对独立性。线性系统理论中，这两种方法在理论上最具基础性，而在工程上最富实用性。

本书可供工科高年级本科生和研究生作为教材或参考书使用，也可供系统与控制以及相关领域的广大工程技术人员和科学工作者自学和参考。本书所需的数学基础是微分方程和矩阵运算的基本知识。对于高年级本科生，可选学本书的第一部分，即前5章和第6章的前半部分，作为一个学期课程的教学内容。对于已具有状态空间法基本知识的研究生，则可略去第1章到第5 章，以第6章大部分内容和整个第二部分内容，组成一个学期课程的教学内容。
感谢清华大学出版社王一玲编辑，感谢她为本书的编辑和出版做了很多细致的工作并提供了很多重要的帮助。
限于作者水平，书中难免有不妥和错误之处，衷心希望读者不吝批评指正。

作者
2022年6月于清华大学

本书被教育研究生工作办公室推荐为全国研究生教学用书。 
线性系统理论是系统与控制学科领域的一门最为基础的课程，本书按照课程的定位和少而精的原则、以线性系统为基本研究对象，对线性系统的时间域理论和复频率理论作了系统而全面的论述。主要内容包括系统的状态空间描述和矩阵分式描述，系统特性和运动的时间域分析和复频率域分析，系统基于各类性能指标的时间域综合和复频率域综合等。 

郑大钟，自动控制理论专家，北京清华大学教授。曾任亚洲控制教授协会（ACPA）副主席，中国自动化学会理事、常务理事和控制理论专业委员会副主任，中国工业与应用数学学会系统与控制数学专业委员会副主任，国家“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革顾问组”成员，国家图书奖、国家科技图书奖、国家教学成果奖、国家科技进步奖等评奖委员会委员，《中国大百科全书·自动控制与系统工程卷》编委和自动控制理论分支副主编，《自动化学报》副主编，《亚洲控制杂志》（AJC）、《控制决策》、《信息与控制》编委等。

第1章绪论

1.1系统控制理论的研究对象

1.1.1系统

1.1.2动态系统

1.1.3线性系统

1.1.4系统模型

1.2线性系统理论的基本概貌

1.2.1线性系统理论的主要内容

1.2.2线性系统理论的发展过程

1.2.3线性系统理论的主要学派

1.3本书的论述范围

第一部分线性系统的时间域理论

第2章线性系统的状态空间描述

2.1状态和状态空间

2.1.1系统动态过程的两类数学描述

2.1.2状态和状态空间的定义

2.2线性系统的状态空间描述

2.2.1电路系统状态空间描述的列写示例

2.2.2机电系统状态空间描述的列写示例

2.2.3连续时间线性系统的状态空间描述

2.2.4人口分布问题状态空间描述的列写示例

2.2.5离散时间线性系统的状态空间描述

2.3连续变量动态系统按状态空间描述的分类

2.3.1线性系统和非线性系统

2.3.2时变系统和时不变系统

2.3.3连续时间系统和离散时间系统

2.3.4确定性系统和不确定性系统

2.4由系统输入输出描述导出状态空间描述

2.4.1由输入输出描述导出状态空间描述

2.4.2由方块图描述导出状态空间描述

2.5线性时不变系统的特征结构

2.5.1特征多项式

2.5.2特征值

2.5.3特征向量和广义特征向量

2.6状态方程的约当规范形

2.6.1特征值为两两相异的情形

2.6.2特征值包含重值的情形

2.7由状态空间描述导出传递函数矩阵

2.7.1传递函数矩阵

2.7.2G(s)基于(A,B,C,D)的表达式

2.7.3G(s)的实用计算关系式

2.8线性系统在坐标变换下的特性

2.8.1坐标变换的几何含义和代数表征

2.8.2线性时不变系统在坐标变换下的特性

2.8.3线性时变系统在坐标变换下的特性

2.9组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵

2.9.1子系统的并联

2.9.2子系统的串联

2.9.3子系统的反馈连接

2.10小结和评述

习题

第3章线性系统的运动分析

3.1引言

3.1.1运动分析的数学实质

3.1.2解的存在性和唯一性条件

3.1.3零输入响应和零初态响应

3.2连续时间线性时不变系统的运动分析

3.2.1系统的零输入响应

3.2.2矩阵指数函数的性质

3.2.3矩阵指数函数的算法

3.2.4系统的零初态响应

3.2.5系统状态运动规律的基本表达式

3.2.6基于特征结构的状态响应表达式

3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵

3.3.1状态转移矩阵和基本解阵

3.3.2基于状态转移矩阵的系统响应表达式

3.3.3状态转移矩阵的特性

3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵

3.4.1脉冲响应矩阵

3.4.2脉冲响应矩阵和状态空间描述

3.4.3脉冲响应矩阵和传递函数矩阵

3.5连续时间线性时变系统的运动分析

3.5.1状态转移矩阵

3.5.2系统的状态响应

3.5.3脉冲响应矩阵

3.5.4A(t)为周期阵的线性时变系统的状态运动分析

3.6连续时间线性系统的时间离散化

3.6.1问题的提出

3.6.2基本约定

3.6.3基本结论

3.7离散时间线性系统的运动分析

3.7.1迭代法求解状态响应

3.7.2状态响应的解析关系式

3.7.3脉冲传递函数矩阵

3.8小结和评述

习题

第4章线性系统的能控性和能观测性

4.1能控性和能观测性的定义

4.1.1对能控性和能观测性的直观讨论

4.1.2能控性的定义

4.1.3能观测性的定义

4.2连续时间线性时不变系统的能控性判据

4.2.1格拉姆矩阵判据

4.2.2秩判据

4.2.3PBH判据

4.2.4约当规范形判据

4.2.5能控性指数

4.3连续时间线性时不变系统的能观测性判据

4.3.1格拉姆矩阵判据

4.3.2秩判据

4.3.3PBH判据

4.3.4约当规范形判据

4.3.5能观测性指数

4.4连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据

4.4.1能控性判据

4.4.2能观测性判据

4.5离散时间线性系统的能控性和能观测性判据

4.5.1时变系统的能控性和能达性判据

4.5.2时不变系统的能控性和能达性判据

4.5.3时变系统的能观测性判据

4.5.4时不变系统的能观测性判据

4.6对偶性

4.6.1对偶系统

4.6.2对偶性原理

4.7离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件

4.7.1问题的提法

4.7.2能控性和能观测性保持条件

4.8能控规范形和能观测规范形： 单输入单输出情形

4.8.1能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性

4.8.2能控规范形

4.8.3能观测规范形

4.9能控规范形和能观测规范形： 多输入多输出情形

4.9.1搜索线性无关列或行的方案

4.9.2旺纳姆能控规范形

4.9.3旺纳姆能观测规范形

4.9.4龙伯格能控规范形

4.9.5龙伯格能观测规范形

4.10连续时间线性时不变系统的结构分解

4.10.1按能控性的系统结构分解

4.10.2按能观测性的系统结构分解

4.10.3系统结构的规范分解

4.11小结和评述

习题

第5章系统运动的稳定性

5.1外部稳定性和内部稳定性

5.1.1外部稳定性

5.1.2内部稳定性

5.1.3内部稳定性和外部稳定性的关系

5.2李雅普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念

5.2.1李雅普诺夫第一方法和第二方法

5.2.2自治系统、平衡状态和受扰运动

5.2.3李雅普诺夫意义下的稳定

5.2.4渐近稳定

5.2.5不稳定

5.3李雅普诺夫第二方法的主要定理

5.3.1大范围渐近稳定的判别定理

5.3.2小范围渐近稳定的判别定理

5.3.3李雅普诺夫意义下稳定的判别定理

5.3.4不稳定的判别定理

5.4构造李雅普诺夫函数的规则化方法

5.4.1变量梯度法

5.4.2克拉索夫斯基方法

5.5连续时间线性系统的状态运动稳定性判据

5.5.1线性时不变系统的稳定判据

5.5.2线性时变系统的稳定判据

5.6连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能的估计

5.6.1衰减系数

5.6.2计算最小衰减系数ηmin的关系式

5.6.3自由运动衰减快慢的估计

5.7离散时间系统状态运动的稳定性及其判据

5.7.1离散时间非线性时不变系统的李雅普诺夫主稳定性定理

5.7.2离散时间线性时不变系统的稳定判据

5.8小结和评述

习题

第6章线性反馈系统的时间域综合

6.1引言

6.1.1综合问题的提法

6.1.2性能指标的类型

6.1.3研究综合问题的思路

6.1.4工程实现中的一些理论问题

6.2状态反馈和输出反馈

6.2.1状态反馈

6.2.2输出反馈

6.2.3状态反馈和输出反馈的比较

6.3状态反馈极点配置： 单输入情形

6.3.1问题的提法

6.3.2期望闭环极点组

6.3.3极点配置定理

6.3.4极点配置算法

6.4状态反馈极点配置： 多输入情形

6.4.1系统的循环性

6.4.2极点配置定理

6.4.3极点配置算法

6.4.4状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响

6.5输出反馈极点配置

6.6状态反馈镇定

6.7状态反馈动态解耦

6.7.1系统和假定

6.7.2问题的提法

6.7.3系统的结构特征量

6.7.4可解耦条件

6.7.5解耦控制综合算法

6.8状态反馈静态解耦

6.8.1问题的提法

6.8.2可解耦条件

6.8.3静态解耦控制综合算法

6.9跟踪控制和扰动抑制

6.9.1问题的提法

6.9.2参考输入和扰动的信号模型

6.9.3无静差跟踪控制系统

6.10线性二次型最优控制： 有限时间情形

6.10.1LQ问题

6.10.2有限时间LQ问题的最优解

6.11线性二次型最优控制： 无限时间情形

6.11.1无限时间LQ问题的最优解

6.11.2稳定性和指数稳定性

6.11.3最优调节系统的频率域条件

6.11.4最优调节系统的鲁棒性

6.11.5最优跟踪问题

6.11.6矩阵黎卡提方程的求解

6.12全维状态观测器

6.12.1状态重构和状态观测器

6.12.2全维状态观测器： 综合方案Ⅰ

6.12.3全维状态观测器： 综合方案Ⅱ

6.13降维状态观测器

6.13.1降维状态观测器的基本特性

6.13.2降维状态观测器： 综合方案Ⅰ

6.13.3降维状态观测器： 综合方案Ⅱ

6.14Kx函数观测器

6.15基于观测器的状态反馈控制系统的特性

6.15.1基于观测器的状态反馈系统的构成

6.15.2基于观测器的状态反馈系统的特性

6.15.3综合举例

6.15.4具有观测器状态反馈系统和具有补偿器输出反馈系统的
等价性

6.16小结和评述

习题

第二部分线性系统的复频率域理论

第7章数学基础： 多项式矩阵理论

7.1多项式矩阵

7.1.1多项式

7.1.2多项式矩阵及其属性

7.2奇异和非奇异

7.3线性相关和线性无关

7.4秩

7.5单模矩阵

7.6初等变换

7.6.1第一种初等变换

7.6.2第二种初等变换

7.6.3第三种初等变换

7.6.4单模变换和初等变换

7.7埃尔米特形

7.7.1埃尔米特形的形式

7.7.2埃尔米特形的算法

7.7.3埃尔米特形的性质

7.8公因子和最大公因子

7.8.1公因子和最大公因子的定义

7.8.2最大公因子的构造定理

7.8.3最大公因子的性质

7.9互质性

7.9.1右互质和左互质

7.9.2互质性的常用判据

7.9.3对最大公因子构造关系式性质的进一步讨论

7.10列次数和行次数

7.10.1列次数和行次数的定义

7.10.2列次表达式和行次表达式

7.11既约性

7.11.1列既约性和行既约性

7.11.2既约性判据

7.11.3非既约矩阵的既约化

7.12史密斯形

7.12.1史密斯形的形式

7.12.2史密斯形的特性

7.13波波夫形

7.13.1波波夫形的形式

7.13.2波波夫形的基本特性

7.13.3波波夫形的算法

7.14矩阵束和克罗内克尔形

7.14.1矩阵束

7.14.2克罗内克尔形

7.15小结和评述

习题

第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述

8.1矩阵分式描述

8.1.1右MFD和左MFD

8.1.2MFD的特性

8.2矩阵分式描述的真性和严真性

8.2.1真性和严真性

8.2.2真性和严真性的判别准则

8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述

8.3.1基本结论

8.3.2确定严真MFD的算法

8.3.3一类特殊情形的多项式矩阵除法问题

8.4不可简约矩阵分式描述

8.4.1不可简约MFD

8.4.2不可简约MFD的基本特性

8.5确定不可简约矩阵分式描述的算法

8.5.1基于最大公因子的算法

8.5.2基于最大公因子构造定理的算法

8.5.3由右可简约MFD确定左不可简约MFD的算法

8.6规范矩阵分式描述

8.6.1埃尔米特形MFD

8.6.2波波夫形MFD

8.7小结和评述

习题

第9章传递函数矩阵的结构特性

9.1史密斯麦克米伦形

9.1.1史密斯麦克米伦形及其构造定理

9.1.2史密斯麦克米伦形的基本特性

9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点

9.2.1极点和零点的基本定义

9.2.2极点和零点的推论性定义

9.2.3对零点的直观解释

9.3传递函数矩阵的结构指数

9.3.1结构指数

9.3.2对结构指数的几点讨论

9.4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点

9.4.1无穷远处的极点和零点

9.4.2无穷远处的结构指数

9.5传递函数矩阵的评价值

9.5.1传递函数矩阵在有限复平面上的评价值

9.5.2传递函数矩阵在无穷远处的评价值

9.5.3传递函数矩阵的史密斯麦克米伦形的合成表达式

9.6传递函数矩阵的零空间和最小多项式基

9.6.1零空间

9.6.2最小多项式基

9.6.3最小多项式基判据

9.7传递函数矩阵的亏数

9.7.1亏数

9.7.2亏数和极点零点不平衡性

9.7.3亏数和最小指数

9.8小结和评述

习题

第10章传递函数矩阵的状态空间实现

10.1实现的基本概念和基本属性

10.1.1实现的定义和属性

10.1.2能控类实现和能观测类实现

10.1.3最小实现

10.1.4实现的最小维数

10.2标量传递函数的典型实现

10.2.1能控规范形实现

10.2.2能观测规范形实现

10.2.3并联形实现

10.2.4串联形实现

10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现： 能控形实现和能观测形
实现

10.3.1能控形实现

10.3.2能观测形实现

10.4基于矩阵分式描述的典型实现： 控制器形实现和观测器形
实现 

10.4.1右MFD的控制器形实现

10.4.2控制器形实现的性质

10.4.3左MFD的观测器形实现

10.4.4观测器形实现的性质

10.5基于矩阵分式描述的典型实现： 能控性形实现和能观测性形
实现

10.5.1右MFD的能控性形实现

10.5.2左MFD的能观测性形实现

10.6不可简约矩阵分式描述的最小实现

10.6.1不可简约右MFD的最小实现

10.6.2不可简约左MFD的最小实现

10.6.3对不可简约MFD的最小实现的几点讨论

10.6.4不可简约规范MFD的最小实现

10.7小结和评述

习题

第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述

11.1多项式矩阵描述

11.1.1多项式矩阵描述的形式

11.1.2PMD和其他描述的关系

11.1.3不可简约PMD

11.2多项式矩阵描述的状态空间实现

11.2.1PMD的实现

11.2.2构造PMD的实现的方法

11.2.3PMD的最小实现

11.3多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能
观测性

11.3.1左互质性与能控性

11.3.2右互质性与能观测性

11.3.3几点推论

11.4传输零点和解耦零点

11.4.1PMD的极点

11.4.2PMD的传输零点

11.4.3PMD的解耦零点

11.4.4两点注记

11.5系统矩阵

11.5.1系统矩阵的概念

11.5.2增广系统矩阵

11.